八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题05 全等三角形动点问题中的分类讨论（解析版）

专题05全等三角形动点问题中的分类讨论典例解析【知识点1：确定点的位置】例1-1．图中的小正方形边长都相等，若，则点Q可能是图中的（）A．点D B．点C C．点B D．点A【答案】A.【解析】解：观察图象可知△MNP≌△MFD．故答案为：A．例1-2．（2021·山东福山区期末）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，1），B（﹣2，1），C（﹣8，3），线段DE的两个端点的坐标分别为D（﹣1，6），E（﹣1，2）．若网格中有一点F，且以D，E，F为顶点的三角形与△ABC全等，则点F的坐标为________________．【答案】（﹣3，8）或（﹣3，0）.【解析】解：∵A（﹣6，1），B（﹣2，1），C（﹣8，3），∴AB＝﹣2+6＝4，∵D（﹣1，6），E（﹣1，2），∴DE＝6﹣2＝4，∴DE＝AB，设第三顶点为F，D，E，F为顶点的三角形与△ABC全等，分两种情况：①如果△DEF≌ABC，DF＝AC，点F的坐标为（﹣3，8）；②如果△DEF≌BAC，则EF＝AC，点F的坐标为（﹣3，0）；故答案为：（﹣3，8）或（﹣3，0）．【变式1-1】（2020·甘肃甘州区月考）如图，中点A的坐标为，点C的坐标为如果要使以点A、B、D为顶点的三角形与全等（非重合），那么点D的坐标可以是__________.【答案】（4，-1）、（-1,3）、（-1，-1）.【解析】解：如图，当点D在边AB上方时，坐标为（-1，-1）当点D在边AB下方时，坐标为（4，-1）或（-1,3）故答案为：（4，-1）、（-1,3）、（-1，-1）．【变式1-2】（2019·河南扶沟期中）在直角坐标系中，有点A（3，0），B（0，4），若有一个直角三角形与Rt△ABO全等且它们只有一条公共直角边，请写出这些直角三角形各顶点的坐标（不要求写计算过程）．（至少写出三个）【答案】（﹣3，4）；(-3,0)；（0，﹣4）；（3，﹣4）；（3,4）.【知识点2：动点与全等存在性】例2-1．（2020·武汉市月考）如图，已知线段AB＝20米，MA⊥AB于点A，MA＝6米，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为（）A．5 B．5或10 C．10 D．6或10【答案】A.【解析】解：由题意，BP=x，AP=20﹣x，BQ=3x，∠A=∠B=90°当△CAP≌△PBQ时，AP=BQ，则20﹣x=3x，解得：x=5；当△CAP≌△QBP时，AP=BP，则：20﹣x=x，解得：x=10，当x=10时，AC=BQ=30米，但MA=5米，故x=10不符合题意，舍去，故答案为：A．例2-2．（2020·广州市番禺期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（）s时，能够使△BPE与△CQP全等．A．1 B．1或4 C．1或2 D．3【答案】B.【解析】解：∵AB=20，AE=6，BC=16，∴BE=14，BP=2t，PC=16-2t，当△BPE≌△CQP时，有BE=PC，则14=16-2t，解得t=1，当△BPE≌△CPQ时，有BP=PC，则2t=16-2t，解得t=4．故答案为：B．例2-3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．【答案】4或6.【解析】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，∵P点的速度为4，BC=16∴BP=4t，PC=（16-4t）又∵AB=AC=24，点D为AB的中点∴BD=AB=12∵∠B=∠C∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况①当△BPD≌△CQP时，则有BD=CP，BP=CQ即12=16-4t，4t=xt由4t=xt得，x=4．②当△BPD≌△CPQ时，则有BD=CQ，BP=CP即12=xt，4t=16-4t∴t=2，x=6．故答案为：4或6．例2-4.（2020·黎平县期中）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以3厘米秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过___秒时，与全等．【答案】0，4，12，16.【解析】解：（1）设点E经过t秒时，△DEB≌△BCA，此时AE=3t，

①当点E在点B的左侧时，

BE=AC，∴AE=AB-BE=24-12=12，∴3t=12，

∴t=4；

②当点E在点B的右侧时，

BE=AC，∴AE=AB+BE=24+12=36，∴3t=36，

∴t=12；

（2）设点E经过t秒时，△EDB≌△BCA，此时AE=3t，

①当点E在点B的左侧时，

BE=AB，即24-3t=24，

∴t=0；

②当点E在点B的右侧时，

BE=AB，∴AE=AB+BE=24+24=48，∴3t=48，

∴t=16．综上所述，当点E经过0秒或4秒或12秒或16秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：0，4，12，16．【变式2-1】（2020·福建鲤城区期中）如图，AB＝8cm，AC＝5cm，∠A＝∠B，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向B运动，同时，点Q以cm/s的速度从点B出发在射线BD上运动，则△ACP与△BPQ全等时，的值为_____________【答案】2或.【解析】解：设动点的运动时间为t秒，则AP＝2t，BP＝AB－AP＝8－2t，BQ＝xt，∵∠A＝∠B，∴CP和PQ是对应边，当△ACP与△BPQ全等时，①AP＝BQ，即：2t＝xt，解得：x＝2，②AP＝PB，即：2t＝8－2t，解得：t＝2，此时，BQ＝AC，xt＝5，即：2x＝5，解得：x＝故答案为：2或．【变式2-2】（2021·江苏泰兴市期末）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点的运动速度为______厘米/秒时，能够使与全等．【答案】3或.【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t，CP=8-3t，∵点E为AB的中点，AB=10厘米，∴AE=BE=5厘米，∵∠B=∠C，∴①当BE=CP=5，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5=8-3t，解得t=1，∴BP=CQ=3，此时，点Q的运动速度为3÷1=3厘米/秒；②当BE=CQ=5，BP=CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t=8-3t，解得t=，∴点Q的运动速度为：5÷=厘米/秒；故答案为：3或．【变式2-3】（2020·湖南师大附中月考）如图，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝_____秒时，PEC与QFC全等．【答案】2或或6.【解析】解：由题意得，AP＝2t，BQ＝3t，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴CP＝6﹣2t，CQ＝8﹣3t，①如图1，当△PEC≌△CFQ时，则PC＝CQ，即6﹣2t＝8﹣3t，解得：t＝2，②如图2，当点Q与P重合时，△PEC≌△QFC全等，则PC＝CQ，∴6﹣2t＝3t﹣8．解得：t＝，③如图3，当点Q与A重合时，△PEC≌△CFQ，则PC=CQ，即2t-6=6，解得：t=6，综上所述：当t＝2秒或秒或6秒时，△PEC与△QFC全等，故答案为：2或或6．【变式2-4】（2020·辽宁望花区期末）如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为_____．【答案】2或．【解析】解：当△ACP≌△BPQ，∴AP＝BQ，∵运动时间相同，∴P，Q的运动速度也相同，∴x＝2．当△ACP≌△BQP时，AC＝BQ＝4，PA＝PB，∴t＝1.5，∴x＝＝故答案为2或．【知识点3：综合题型】例3-1．（2021·云南盘龙区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、两点的坐标分别为，，，且点从出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为．（1）点的坐标为；点的坐标为；（2）连接，当的面积等于的面积的一半时，求的值；（3）当在线段上运动时，在轴上是否存在点，使与全等？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）或；（3）存在，或或或.【解析】解：（1）∵，∴，，∴，，∴A的坐标是（0，4），C的坐标是（3，0）（2）∵B的坐标是（-5，0），A的坐标是（0，4），C的坐标是（3，0）∴，，①P在线段OB上，如图，∵，∴解得t=1②当P在射线OC上,∵，，∴解得t=9∴当t=1或t=9时，△POA的面积等于△ABC面积的一半；（3）存在.①当≌时，∴PO=AO，OC=OQ=3∴Q点的坐标为（0，3）或（0，-3）②当≌时，∴PO=CO，OQ=OA=4∴Q点的坐标为（0，4）或（0，-4）综上所述：Q点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，4）或（0，-4）.例3-2.（2021·山西实验中学期中）如图，是直角坐标系轴上一点，动点从原点出发，沿轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以为直角顶点在第一象限内作等腰．设点的运动时间为秒．（1）若轴，求的值；（2）如图2，当时，坐标平面内有一点（不与重合）使得以、、为顶点的三角形和全等，请直接写出点的坐标．【答案】（1）1.5；（2）（8，−3），（3，7），（11，1）.【解析】解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为长方形，∴AO＝BC＝3．∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，∴∠OAP＝90°−∠PAB＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝3．∴t＝3÷2＝1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t＝2时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，①如图，若△ABP≌△MBP，则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA＝DM＝3，OP＝PD＝4，∴M（8，−3）．②如图，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（3，7），③如图，若△ABP≌△MPB，则△AOP≌△PNB≌△MCB，同理可求得M（11，1）．综合以上可得点M的坐标为（8，−3），（3，7），（11，1）．【变式3-1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与△QFC全等？请说明理由．【答案】点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等，理由见解析【解析】解：设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等，∵△PEC与△QFC全等，∴斜边CP＝CQ，有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，∴6﹣t＝8﹣3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，∴t＝3.5；③P在BC上，Q在AC时，理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上，所以这种情况不存在.④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，∵CQ＝CP，CQ＝AC＝6，CP＝t﹣6，∴t﹣6＝6∴t＝12∵t＜14∴t＝12符合题意综上所述，点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等．【变式3-2】（2020·江苏江阴市月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．【答案】见解析．【解析】解：（1）①△BPD与△CQP全等，∵点P的运动速度是1cm/s，∴点Q的运动速度是1cm/s，∴运动1秒时，BP=CQ=1cm，∵BC=6cm，∴CP=5cm，∵AB=10，D为AB的中点，∴BD=5，∴BD=CP，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP．②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，∴点Q的运动速度是cm/