高考数学文一轮复习题第二章函数导数及其应用有解析2-92

05限时规范特训A级基础达标1．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利()A．25元 B．20.5元C．15元 D．12.5元解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．答案：D2．[2014·陕西五校模拟]台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A．0.5小时 B．1小时C．1.5小时 D．2小时解析：以点B为圆心，30为半径画圆，设截东北方向所在直线所得弦长为x，则(eq\f(x,2))2＋eq\f(402,2)＝302，得x＝20，故B城市处于危险区内的时间为eq\f(20,20)＝1(小时)．答案：B3．[2014·浙江温州月考]某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差()A．10元 B．20元C．30元 D.eq\f(40,3)元解析：依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，又sA(100)＝sB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元，选A.答案：A4．某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新墙所用材料最省时，堆料场的长和宽的比为()A．1 B．2C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,2)解析：设宽为x，长为kx，则kx2＝512，用料为y＝(k＋2)x＝(eq\f(512,x2)＋2)x＝2(eq\f(256,x)＋x)≥4eq\r(\f(256,x)·x)＝64(当且仅当x＝16时取“＝”)，所以k＝eq\f(512,x2)＝2.答案：B5．[2014·湖北三校联考]某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－eq\f(5,2)R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A．[4,8] B．[6,10]C．[4%,8%] D．[6%,100%]解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，需(30－eq\f(5,2)R)×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．答案：A6．[2014·唐山质检]某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10：00 B．中午12：00C．下午4：00 D．下午6：00解析：当x∈[0,4]时，设y＝k1x，把(4,320)代入，得k1＝80，∴y＝80x.当x∈[4,20]时，设y＝k2x＋b.把(4,320)，(20,0)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4k2＋b＝320，,20k2＋b＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝－20.,b＝400.))∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x，0≤x≤4，,400－20x，4<x≤20.))由y≥240，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,80x≥240，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4<x≤20，,400－20x≥240.))解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.答案：C7．[2014·苏州高三质检]某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为________．(保留一位小数，取1.15≈1.6)解析：第一年产值为1×(1＋10%)＝1.1，第二年产值为1×(1＋10%)2＝1.12，…，第五年的产值为1.15，故前5年总产值为eq\f(1.1×1－1.15,1－1.1)≈6.6.答案：6.68．[2014·常州模拟]里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10000倍．答案：6100009．[2014·长春模拟]一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：依题意有a·e－b×8＝eq\f(1,2)a，∴b＝eq\f(ln2,8)，∴y＝a·eeq\s\up15(－eq\f(ln2,8))·t，若容器中只有开始时的eq\f(1,8)时，则有a·eeq\s\up15(－eq\f(ln2,8))·t＝eq\f(1,8)a，解得t＝24.所以再经过的时间为24－8＝16min.答案：1610．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．解：(1)当甲户的用水量不超过4吨时，即x≤eq\f(4,5)，乙户的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；当甲户的用水量超过4吨，乙户的用水量不超过4吨时，即eq\f(4,5)<x≤eq\f(4,3)，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3×(5x－4)＝20.4x－4.8，当乙户的用水量超过4吨时，即x>eq\f(4,3)，y＝8×1.8＋3×(8x－8)＝24x－9.6，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(14.4x，0≤x≤\f(4,5)，,20.4x－4.8，\f(4,5)<x≤\f(4,3)，,24x－9.6，x>\f(4,3).))(2)由(1)可知y＝f(x)在各段区间上均为单调递增，当x∈[0，eq\f(4,5)]时，y≤f(eq\f(4,5))＝11.52<26.4；当x∈(eq\f(4,5)，eq\f(4,3)]时，y≤f(eq\f(4,3))＝22.4<26.4；当x∈(eq\f(4,3)，＋∞)时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5，所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．11．[2014·宝鸡检测]某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．(1)把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；(2)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q(x)与产品件数x有如下关系：Q(x)＝170－0.05x，试问生产多少件产品时，总利润最高？(总利润＝总销售额－总成本)解：(1)P(x)＝eq\f(12500,x)＋40＋0.05x，由基本不等式得P(x)≥2eq\r(12500×0.05)＋40＝90.当且仅当eq\f(12500,x)＝0.05x，即x＝500时，等号成立．∴P(x)＝eq\f(12500,x)＋40＋0.05x，每件产品成本的最小值为90元．(2)设总利润为y元，则y＝xQ(x)－xP(x)＝－0.1x2＋130x－12500＝－0.1(x－650)2＋29750.当x＝650时，ymax＝29750.答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．12．[2014·中山高三期末]某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15—0.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋eq\f(10,5)＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15－0.1x>0，,x>0，))解得0<x<150.依题意，单套丛书利润P＝x－(30＋eq\f(10,15－0.1x))＝x－eq\f(100,150－x)－30，∴P＝－[(150－x)＋eq\f(100,150－x)]＋120.∵0<x<150，∴150－x>0，由(150－x)＋eq\f(100,150－x)≥2eq\r(150－x·\f(100,150－x))＝2×10＝20，当且仅当150－x＝eq\f(100,150－x)，即x＝140时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100.∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．B级知能提升1．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数y＝kax，若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约为100h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约为80h，那么在10℃时保鲜时间约为()A．49h B．56hC．64h D．72h解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100＝ka0,80＝ka5))得k＝100，a5＝eq\f(4,5)，所以当10℃时，保鲜时间为100·a10＝100·(eq\f(4,5))2＝64，故选C.答案：C2．已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg(nA)来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，则下列判断中正确的个数为()①PA≥1；②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5<PA<5.5.A．0 B．1C．2 D．3解析：当nA＝1时PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；设B菌的个数为nB＝5×104，∴nA＝eq\f(1010,5×104)＝2×105，∴PA＝lg(nA)＝lg2＋5.又∵lg2≈0.3，∴5<PA<5.5，故③正确．答案：B3．[2014·武汉模拟]我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量p与关税的关系近似满足p(x)＝(其中t为关税的税率，且t∈[0，eq\f(1,2))，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝eq\f(1,8)时的市场供应量曲线如图所示．(1)根据图象，求b，k的值；(2)记市场需求量为a，它近似满足a(x)＝，当p＝a时的市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格控制在不低于9元时，求关税税率的最小值．解：(1)由题图知，t＝eq\f(1,8)时，有解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝6，,b＝5.))(2)当p＝a时，得，解得t＝eq\f(1,6)[1－eq\f(22－x,