信息论与编码试卷及答案分解

#110100H011010101001因为收到的序列10110为5位，而由(6,3)线性码生成的码字为6位，所以10110不是码字/[InkAk(nk)]H[Ak(nk)，k],则生成矩阵为：TOC\o"1-5"\h\z1 0 0 1 0 1G 0 1 0 1 1 00 0 1 0 11信息码元序列M=(101),由c二mGs得码c：字为cm100101m010110m001011101110第8章循环码已知(8,5)线性分组码的生成矩阵为000100010000100010001000000011000G0100001011101)证明该码是循环码；2)求该码的生成多项式g(x)。1)证明如下：11110000 11110000TOC\o"1-5"\h\z1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 001000100 ⑴⑵01000100 ⑵⑶0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 11000 10000 0(3)(4) (1)(5)g(x)x3x2 x100001110000111100001 1 10 1 0 0 000 1 1 1 1 0 000 0 1 1 1 1 000 0 1 0 0 0 111 1 110000 1 1 10 1 0 0 0⑷⑸ 001111000 0 0 1 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1 1由生成矩阵可知为(8、循环码。(2)生成多项式如下：证明：x10x8x5x4x2x1为(15,5)循环码的生成多项式，并写出信息多项式为m(x)x4x1时的码多项式(按系统码的形式)。由定理8-1可知(n,k)循环码的生成多项式g(x)为xn+1的因子，g(x)为n-k次多项式，本题目中知：g(x)x10x8x5x4x2x1为一个10次多项式，n-k=15-5=10并15108542且(x1)mod(xxxxxx1)0所且以：：x10x8x5x4x2x1是x151的一个因子，也是循环码的生成多项式。按系统码构造多项式如下：4m(x)xx1

nk410141110x4x2x1)bm((xx))(xm((xx)xnkx)1m)odx(x10xx8xx4x2x1)876xxxxnk141110876c(x)m(x)xb(x)xxxxxxxc(x)m(x)33已知(7,4)循环码的生成多项式为g(x)x3x1，信息多项式为m(x)x31，分别由编码电路和代数计算求其相应的码多项式C(x)。由题目可知代数计算求解过程如下：m(x)x31nk63m(x)xxxb(x)(m(x)xnk)mod(x3x1)x2xc(x)m(x)xnkb(x)x6x3x2xc(1001110)由编码电路进行求解：编码电路如下所示：编码过程或门如下：编码过程或门如下：时钟信息元寄存器码字输出码字D0DiD20000111101200110301110410111500116000170000可得：c(x)x6x3x2xnk410141110m(x)x(xx1)xxxx44.令(15,11)循环码的生成多项式为g(x)x4x1,计算1)若信息多项式为m(x)xi0X81,试求编码后的系统码字;2)求接收码组R(x)x14x4x1的校正子多项式。(1)解题过程如下：m(x)x10x81nk414124m(x)xm(x)xxxxb(x)x4x21c(1010000000010101)(2)校正多项式如下所示：(m(x)xnknk414124m(x)xm(x)xxxxb(x)x4x21c(1010000000010101)(2)校正多项式如下所示：(m(x)xnk)mod(x4x1)x21c(x)m(x)xnkb(x)x14x12S(x) Rg((xx))144xxxmod(g(x))x4x15.码长为n=15的本原BCH码，求不同纠错能力下的BCH码各自的生成多项式g(x)n2m115m4纠错能力：t2m18，所以最多能纠正7个错误码。有限域GF(24)，4次本原多项式f(x)X4x1，a为f(x)的一个根，可知:410，计算2t=14个连续幂次为对应的最小多项式：4m1(x)xx1, m2(x)m4(x) x4x1, m5(x)m7(x) x4x3 1,m8(x)m10(x)x2x1,m11(x)m12(x)x4x3x2 x1,4 4 32x x1, m3(x)xxxx1x2 x1, m6(x)x4x3x2x1x4x1,m9(x)x4x1x4x3 x2x1m13(x)x2x1, m3(x)x4x3(1)t=1的码字：(15，11)BCH码4g1(x)Lcm(m1(x))xx1(2)t=2的码字：(15，7)BCH码g2(x)Lcm(m1(x)m3(x))x8x7x6x41(3)t=3的码字：(15，5)BCH码g3(x)Lcm(m1(x)m3(x)m5(x))x10x8x5x4x2x1(4)t=4的码字：(15，1)BCH码141312111098765432g4(x)xxxxxxxxxxxxxx1(5)t=5的码字：(15，1)BCH码141312111098765432g5(x)xxxxxxxxxxxxxx1(6)t=6的码字：(15，1)BCH码14 13 12 11 10 9g6(x) x xx x x x(7)t=714 13 12 11 10 9g6(x) x xx x x x(7)t=7的码字：(15，1)BCH码14 13 12 11 10 97() 14 13 12 11 10 98 7 6 5x8 x7 x6 x54 3 2x4 x3 x2 x6.构造一个能纠正t=3个错误符号，码长为15,m=4的RS码，1并求其生成矩阵。码长：n=q-1，q2m16，m=4d2t17minn-k=2t=6k=n-2t=15-6=9可知RS码为：(5,9)码设a为本原多项式f(x)X4x1的根，即：41t=3,生成多项式g(x)有6个连续的根，g(x)(xxxxxx105 443629 6xxxxx15,9)的RS码的生成矩阵如下：1a10a14a4a6a9a60000000001a10a14a4a6a9