北京第九十五中学高三数学文期末试卷含解析

北京第九十五中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知y=f(x)是偶函数，而y=f(x+1)是奇函数，且对任意，都有，则的大小关系是（

）A.c<b<a

B.c<a<b

D.a<c<b

D.a<b<c参考答案：B2.下列函数中，有反函数的是（

）A．

B．

C．D．

参考答案：B略3.已知二次函数的导函数为，，f(x)与x轴恰有一个交点，则的最小值为()

A.2

B.

C.3

D.参考答案：A略4.设复数，则复数的实部与虚部的和为A．0

B．2

C．2

D．4参考答案：C5.在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，则焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．参考答案：D略6.若集合，且，则集合可能是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A因为，所以.又因为集合，所以集合可能是.选A7.若两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是A.

B.C.

D.参考答案：D，当且仅当，即时等号成立.由恒成立，则，，解得，故选D.8.关于直线与平面，下列说法正确的是（

）A．若直线平行于平面，则平行于内的任意一条直线B．若直线与平面相交，则不平行于内的任意一条直线C．若直线不垂直于平面，则不垂直于内的任意一条直线D．若直线不垂直于平面，则过的平面不垂直于参考答案：B对于，若直线平行于平面，则与内的任意一条直线平行或异面，错；对于，若直线与平面相交，则不平行于内的任意一条直线，正确；对于，若直线不垂直于平面，则可垂直于内的无数条直线，错；对于，若直线不垂直于平面，则过的平面可垂直于，错，故选B.

9.集合，，则下列结论正确的是(

)A．

B．C．

D．参考答案：D10.设是定义在R上的函数，都有，且当时，,若函数在区间（-1,2014]内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知||＝3，||＝，⊥，点R在∠POQ内，且∠POR＝30°，＝m＋n(m，n∈R)，则等于_____________．参考答案：1略12.已知θ∈（0，π），且sin（θ﹣）=，则tan2θ=

．参考答案：﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答： 解：∵sin（θ﹣）=（sinθ﹣cosθ）=，∴sinθ﹣cosθ=，①∴1﹣2sinθcosθ=，2sinθcosθ=＞0，依题意知，θ∈（0，），又（sinθ+cosθ）2=1+sin2θ=，∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣，∴tan2θ==﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查同角三角函数间的关系式的应用，考查二倍角的正弦、余弦与正切，属于中档题．13.已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=．参考答案：98【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a100．【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，∴，解得a1=﹣1，d=1，∴a100=a1+99d=﹣1+99=98．故答案为：98．14.一位同学种了甲、乙两种树苗各一株，分别观察了9次、10次得到树苗的高度数据的茎叶图如图（单位：厘米），则甲乙两种树苗高度的数据中位数和是

参考答案：52略15.椭圆的离心率是，则椭圆两准线间的距离为

。参考答案：16.设集合A=,函数，若,且,则的取值范围是_________．参考答案：17.非零向量，夹角为，且，则的取值范围为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，Tn为{bn}的前n项和，求T2n．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．可得a3=a4﹣2a2，a2q=a2（q2﹣2），解得q．进而得出a1，可得an．（II）n为奇数时，bn===．n为偶数时，bn=．分组求和，利用“裂项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得偶数项之和．【解答】解：（I）∵等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．∴a3=a4﹣2a2，可得a2q=a2（q2﹣2），∴q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∴a1+a2=2a2﹣2，即a1=a2﹣2=2a1﹣2，解得a1=2．∴an=2n．（II）n为奇数时，bn===．n为偶数时，bn=．∴T2n=++…+++…+=++…+=++…+．设A=+…+，则A=+…++，∴A=+…+﹣=﹣，∴A=﹣．∴T2n=+﹣．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、分类讨论方法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（本小题满分14分）已知函数的定义域为I，导数满足且，常数为方程的实数根，常数为方程的实数根．（1）若对任意，存在，使等式

成立．求证：方程不存在异于的实数根；（2）求证：当时，总有成立；（3）对任意，若满足，求证：．参考答案：证明：（1）假设方程有异于的实根m，即，

则有成立．

因为，所以必有，这与矛盾，因此方程不存在异于的实数根．

（2）令，

∴函数为减函数．又，∴当时，，即成立．

（3）不妨设，

为增函数，即．

又，∴函数为减函数，即．

．

即．

，

．20.某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这个k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为k+1次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p.（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（Ⅱ）设为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.①当，时，求的分布列；②是运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）①见解析，②当时，用分组的办法能减少检验次数.【分析】（Ⅰ）根据独立重复试验概率公式得结果;（Ⅱ）①先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.【详解】（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件：3人中恰有1人检测结果阳性，则其概率

（Ⅱ）①当，时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为

②分组时，每人检验次数的期望如下∴不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需即所以当时，用分组的办法能减少检验次数.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.21.设函数.（1）当时，求的图象与直线围成的区域的面积；（2）若的最小值为，求的值.参考答案：解：（1）当时，的图象与直线围成区域的面积为；（2）当，即时，，所以，当，即时，，所以，所以或.22.如图所示，有一块边长为的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为弧度（其中点分别在边上运动），设，。（1）试用表示出的长度，并探求的周长；（2）求