陕西省西安市电子科技教育集团第一中学2022年高二数学文上学期摸底试题含解析

陕西省西安市电子科技教育集团第一中学2022年高二数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知θ∈R，则直线的倾斜角的取值范围是

A．[0°，30°]

B．[150°，180°)

C．[0°，30°]∪[150°，180°)

D．[30°，150°]参考答案：C2.在△ABC中，如果a=4，b=5，A=30°，则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．无穷多解参考答案：B略3.过点M（1，1）的直线与椭圆=1交于A，B两点，且点M平分弦AB，则直线AB的方程为（）A．4x+3y﹣7=0 B．3x+4y﹣7=0 C．3x﹣4y+1=0 D．4x﹣3y﹣1=0参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程，两式相减，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可解出直线AB的斜率k，由点斜式方程可得直线AB的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得：+=1，+=1，两式相减可得：+=0，又x1+x2=2，y1+y2=2，=k，即为k=﹣=﹣，则直线AB的方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），化为3x+4y﹣7=0．故选：B．4.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为

（

）.A．3

B．2

C．

D．参考答案：解析：，，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A。5.已知为常数，最大值为，最小值为，且，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.数学教研组开设职业技能类选修课3门，知识类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类选修课中各至少选一门，则不同的选法共有

()．A．30种

B．35种

C．42种

D．48种参考答案：A7.直线2x﹣y+k=0与4x﹣2y+1=0的位置关系是(

)A．平行 B．不平行C．平行或重合 D．既不平行也不重合参考答案：C【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系．【专题】计算题．【分析】化简方程组得到2k﹣1=0，根据k值确定方程组解的个数，由方程组解得个数判断两条直线的位置关系．【解答】解：∵由方程组，得2k﹣1=0，当k=时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当k≠时，方程组无解，两条直线平行，综上，两条直线平行或重合，故选C．【点评】本题考查方程组解得个数与两条直线的位置关系，方程有唯一解时，两直线相交，方程组有无穷解时，两直线重合，方程组无解时，两直线平行．8.已知，若g(x)存在两个零点，则m的取值范围是A.[－1,+∞)B.[－1,0)C. [0,+∞)

D.[1,+∞)参考答案：A9.已知集合，，则的子集个数为（

）

A．2B．4

C．6

D．8参考答案：B略10.已知函数是奇函数且是上的增函数，若满足不等式，则的最大值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1,0)对称，则a＋b＝________.参考答案：412.设，则的最大值为 参考答案：错解：有消元意识，但没注意到元的范围。解析：由得：，且，原式=，求出最大值为1。

13.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是

．参考答案：l∥A1C1【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，由线面平行的性质定理，得l∥A1C1．【解答】解：因为A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC?平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因为A1C1在底面A1B1C1D1内，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，根据线面平行的性质定理，得l∥A1C1．故答案为：l∥A1C1．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14.（10分）已知等差数列{an}的前三项为a,4,3a，前k项的和Sk＝2550，求通项公式an及k的值．参考答案：=-2n+4略15.已知曲线则曲线在点处的切线方程为

．参考答案：略16.两个平面将空间最多分成__________个部分.参考答案：4

略17.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,从该班中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是__________.参考答案：【分析】先计算出总的方法数，然后在每类选科人中各选一人，利用分步计算原理计算得方法数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】∵该班有50名学生则从班级中任选两名学生共有种不同的选法又∵15人选修课程,另外35人选修课程∴他们是选修不同课程的学生的情况有:故从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查分步乘法计数原理，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时就停止。设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，已知第二局比赛结束时停止的概率为，求：（1）求值；（2）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望参考答案：

【方法二】设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有所以，的分布列为X246P略19.（本题满分12分）如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点． （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，若直线绕点F任意转动，恒有,求的取值范围．参考答案：解法一：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，

所以,即1＝，解得 因此，椭圆方程为 （Ⅱ）设 （ⅰ）当直线AB与x轴重合时， （ⅱ）当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有，所以AOB恒为钝角． 即恒成立． 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立， 即a2b2m2>a2-a2b2+b2对mR恒成立． 当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0． a2<a2b2-b2,a2<（a2-1）b2=b4, 因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0, 解得a>或a<（舍去），即a>, 综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）．解法二： （Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时， x=1代入=1． 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2（1+yA2）<4yA2,yA2>1，即>1, 解得a>或a<（舍去），即a>． （ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）,B（x2,y2）． 设直线AB的方程为y=k（x-1）代入 得（b2+a2k2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0, 故x1+x2= 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以x21+y21+x22+y22<（x2-x1）2+（y2-y1）2, 得x1x2+y1y2<0恒成立． x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1-1）（x2-1）=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2 =（1+k2）． 由题意得（a2-a2b2+b2）k2-a2b2<0对kR恒成立． ①当a2-a2b2+b2>0时，不合题意； ②当a2-a2b2+b2=0时，a=; ③当a2-a2b2+b2<0时，a2-a2（a2-1）+（a2-1）<0，a4-3a2+1>0, 解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a． 综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）．20.已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5.(Ⅰ)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

参考答案：解：(Ⅰ)由题意，得＝5.＝5，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0.即(x－1)2＋(y－1)2＝25.∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段的长为2＝8，∴l：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆心到l的距离d＝，由题意，得()2＋42＝52，解得k＝.∴直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0.

略21.（本小题满分14分）已知函数，（）（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．参考答案：解：（1）…………………1分当时，即时，，在上递增；…………………3分当时，即或时，，由求得两根为…………………5分即在和上递增；在上递减，………………6分的单调递增区间是：当时，当或时，和的单调递减区间是：当或时，………………7分（2）（法一）由（1）知在区间上递减，∴只要∴

解得：．………9分

……………………12分

……………………14分略22.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，由勾股定理，我们易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，则DC⊥EF，进而由线面垂直的判定定理得到答案．（II）方法一（几何法）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，由三垂线定理及二面角的平面角的定义，易得∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角，解Rt△CEF，即可求出二面角A﹣EF﹣C的大小为60°时，AB的长．方法二（向量法）以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，设AB=a，分别求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夹角公式，由二面角A﹣EF﹣C的大小为60°，构造关于a的方程，解方程求出a值．【解答】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE解：（Ⅱ）方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角．在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，∴由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为6