高中数学必修4(必修四)全套课件(最新整理)

§1.1任意角和弧度制1.1.1任意角明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.明目标、知重点1.角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内

绕着

从一个位置

到另一个位置所成的图形.一条射线填要点·记疑点端点旋转类型定义图示正角按

形成的角负角按

形成的角零角一条射线

，称它形成了一个零角逆时针方向旋转(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类顺时针方向旋转没有作任何旋转2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是

.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝

}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与

的和.第几象限角α＋k·360°，k∈Z整数个周角探要点·究所然情境导学过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角.如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1080°”、“踺子后手翻转体180°接前直空翻540°”等这样的解说.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.探究点一角的概念的推广思考1我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？答一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.思考2

如图，已知角α＝120°，根据角的定义，则β、－α、－β、γ分别等于多少度？答－240°；－120°；240°；480°.思考3经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角.答经过10小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形成的角是－3600°.探究点二象限角与终边落在坐标轴上的角思考1象限角定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？答

不行，因为始边包括端点(原点).思考2是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.答不是，因为一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.终边所在的位置角的集合x轴正半轴

x轴负半轴

y轴正半轴

y轴负半轴

{α|α＝k·360°，k∈Z}{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}思考3

下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.α终边所在的象限角α的集合第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}探究点三终边相同的角思考1在同一直角坐标系中作出390°，－330°，30°的角，并观察这三个角终边之间的关系和角的大小关系.答

终边相同，并相差360°的整数倍.思考2对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？答所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.思考3

集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角－30°终边相同的角，其中最小的正角是多少度？已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在坐标系中的什么位置？答

330°；第一或第三象限的角平分线上.例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解

(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.反思与感悟解答本题可先利用终边相同的角的关系β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角.跟踪训练1判断下列角的终边落在第几象限内：(1)1400°；(2)－2016°.解

(1)1400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1400°也是第四象限角.(2)－2016°＝－6×360°＋144°，∴－2016°与144°终边相同.∴－2016°是第二象限角.例2写出终边在y轴上的角的集合.解所有与90°终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}.所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}.反思与感悟利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.跟踪训练2写出终边落在x轴上的角的集合S.解

S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.例3写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.解直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}.∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.反思与感悟当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并的尽量合并，注意把最后角的集合化成最简的形式.跟踪训练3求终边在直线y＝－x上的角的集合S.解由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.当堂测·查疑缺12341.－361°的终边落在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限D12342.下列各角中与330°角终边相同的角是(

)A.510°

B.150° C.－150° D.－390°D12343.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.解析由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°(k∈Z).又180°<α<360°，所以2<k<4，又k∈Z，所以k＝3，所以α＝270°.270°4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.1234呈重点、现规律1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同的角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少.§1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.明目标、知重点1.度量角的单位制(1)角度制用

作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的

.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于

的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.以

作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.度填要点·记疑点

半径长弧度②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个

；负角的弧度数是一个

；零角的弧度数是

.③角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝

.正数负数零

角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝

180°＝

radπrad＝

1°＝

rad≈0.01745rad1rad＝

≈57.30°2.角度制与弧度制的换算(1)2π360°π180°度0°1°30°45°60°90°弧度0

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

度120°135°150°

270°360°弧度π2π

度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝

扇形的面积S＝S＝

＝

3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则

探要点·究所然情境导学

探究点一弧度制思考1

1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.思考2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.

AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数0没旋转

顺时针方向

πr逆时针方向

2πr顺时针方向

00°

－90°π180°－2π－360°（

逆时针方向

r逆时针方向

2r顺时针方向

1°1－2

思考3角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝

180°＝

radπrad＝

1°＝

rad1rad＝2π360°π180°例1

(1)把67°30′化成弧度；反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以

即可.

288探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式.(设半径为r，圆心角弧度数为α).例2已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，所以当扇形的圆心角为2rad，半径为10cm时，扇形的面积最大为100cm2.反思与感悟灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.

探究点三利用弧度制表示终边相同的角导引在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度.思考1利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合.终边所在的位置角的集合x轴

y轴

坐标轴

{α|α＝kπ，k∈Z}思考2利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

解

(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用.跟踪训练3

(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.又β∈[－4π，0]，当堂测·查疑缺12341.时针经过一小时，时针转过了(

)解析时针经过一小时，转过－30°，B12342.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是(

)A.1 B.1或2 C.1或4 D.2或4解析设扇形半径为r，中心角弧度数为α，C12343.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为__________________.解析设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，1234呈重点、现规律1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.§1.2任意角的三函数1.2.1任意角的三角函数(二)明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.明目标、知重点1.三角函数的定义域正弦函数y＝sinx的定义域是R；余弦函数y＝cosx的定义域是R；正切函数y＝tanx的定义域是

.填要点·记疑点2.三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段

、

、

分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作：sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.MPOMATMPOMAT探要点·究所然情境导学角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，前面我们学习了任意角的三角函数，主要从数上研究了它们，能否用几何方式来表示三角函数呢？这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一三角函数线的概念及其作法

思考2

若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？如何给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？答过角α的终边与单位圆的交点P，过点P向x轴作垂线，垂足为M，则，－|MP|＝y＝sinα，－|OM|＝x＝cosα.我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.即规定当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标.这样，无论哪种情况都有OM＝x＝cosα.同理，当角α的终边不在x轴上时，以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样，无论哪种情况都有MP＝y＝sinα.小结我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.思考3

当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？答

如下图：探究点二三角函数线的应用导引三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负.思考1

若α为任意角，则sinα，cosα的取值范围是多少？答根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得－1≤sinα≤1，－1≤cosα≤1.思考2

设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？答设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，则sinα＝MP，cosα＝OM，OP＝1.在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OM>OP，即sinα＋cosα>1.思考3

若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin2α＋cos2α与1的关系？答当α的终边落在x轴上时，sinα＝0，|cosα|＝1，sin2α＋cos2α＝1；当α的终边落在y轴上时，|sinα|＝1，cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1；当α的终边不落在坐标轴上时，sinα＝MP，cosα＝OM.在Rt△OMP中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1.∴sin2α＋cos2α＝1.综上所述，对于任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解

反思与感悟作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处.解析

分别在单位圆中作出它们的三角函数线，由图可知：例2在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：

①

②反思与感悟利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sinx≥m或sinx≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用.跟踪训练2已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围.探究点三利用三角函数线求函数的定义域思考任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集.根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y＝sinx的定义域是

；余弦函数y＝cosx的定义域是

；正切函数y＝tanx的定义域是

.在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域.例如：RR{x|x∈R，且x≠kπ

{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}解由题意，得自变量x应满足不等式组则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，反思与感悟求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题.利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法.解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分.

如图所示.当堂测·查疑缺12341.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为(

)D12342.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(

)A.正弦线PM，正切线A′T′B.正弦线MP，正切线A′T′C.正弦线MP，正切线ATD.正弦线PM，正切线ATC1234

B4.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：12341234答案

(1)>

(2)>

(3)<呈重点、现规律1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.2.三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解容易了.§1.2任意角的三函数1.2.1任意角的三角函数(一)明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等.明目标、知重点1.任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的

，记作

，即

；②x叫做α的

，记作

，即

；正弦填要点·记疑点sinαsinα＝y余弦cosαcosα＝x对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.正切tanα2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3.诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值

，即：sin(α＋k·2π)＝

，cos(α＋k·2π)＝

，tan(α＋k·2π)＝

，其中k∈Z.相等sinαcosαtanα探要点·究所然情境导学在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，

角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一锐角三角函数的定义思考1如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值.思考2如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？思考3

如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.yx探究点二任意角三角函数的概念

yyxx

思考2对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？答

由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上点P的位置无关.思考3

在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？答

(1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.

(3)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终计算出三角函数值.

解

在直角坐标系中，

∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.跟踪训练1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝

则y＝

.所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.－8探究点三三角函数值在各象限的符号

三角函数值在各象限内的符号，如图所示：记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.例2判断下列各式的符号：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；解

(1)∵α是第二象限角.∴sinα>0，cosα<0，∴sinα·cosα<0.(2)sin285°cos(－105°)；解

∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，∴sin285°·cos(－105°)>0.∴sin3>0，cos4<0.反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.跟踪训练2已知cosθ·tanθ<0，那角θ是(

)A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角

D.第一或第四象限角∴角θ为第三或第四象限角.C探究点四诱导公式一思考1诱导公式一是什么？答由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：sin(k·360°＋α)＝sinα，cos(k·360°＋α)＝cosα，tan(k·360°＋α)＝tanα，其中k∈Z，或者：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，其中k∈Z.思考2诱导公式一的作用是什么？答

把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值.例3求下列各式的值.(2)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°.解原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.跟踪训练3求下列各式的值：(2)sin630°＋tan1125°＋tan765°＋cos540°.解原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin270°＋tan45°＋tan45°＋cos180°＝－1＋1＋1－1＝0.当堂测·查疑缺12341.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于(

)D12342.如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则cosα的值等于(

)A1234D4.tan405°－sin450°＋cos750°＝

.1234呈重点、现规律1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.§1.2任意角的三函数1.2.2同角三角函数的基本关系明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.明目标、知重点1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：

.(2)商数关系：

.sin2α＋cos2α＝1填要点·记疑点

1－cos2α1－sin2αcosαtanα

探要点·究所然情境导学大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题.

sinαcosαtanαsin2α＋cos2α30°

探究点一同角三角函数的基本关系式思考1

写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？145°

60°

150°

11111

1111tan30°tan45°tan60°tan150°正切1

思考2

如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？答设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合.P到原点的距离为r＝

探究点二三角函数式的求值思考已知某角的一个三角函数值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解.类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解.类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论.例如：已知cosα＝m，且|m|<1，求sinα，tanα.答∵cosα＝m，且|m|<1，当α终边在y轴上时，sinα＝±1，tanα不存在.

如果α是第三象限角，那么cosα<0.反思与感悟同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用.

又sin2α＋cos2α＝1，

②又α是第三象限角，探究点三三角函数式的化简三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累.反思与感悟解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解.

跟踪训练2已知tanα＝3，则1(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝

.1探究点四三角恒等式的证明证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：①直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；②综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想；

∴原等式成立.方法二∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α.∴cos2α＝(1－sinα)·(1＋sinα).∴原等式成立.∵左边＝右边，∴原等式成立.反思与感悟证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简.证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.常用技巧：切化弦、整体代换.∴原式成立.∴左边＝右边，原式成立.当堂测·查疑缺1234cos40°－sin40°1234

1234解

∵α是第三象限角，∴sinα<0，由三角函数线可知－1<cosα<0.12341234∴原等式成立.呈重点、现规律

2.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.在应用平方关系求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象写公式.3.在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.§1.3三角函数的诱导公式(二)

明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.明目标、知重点1.诱导公式五～六cosα填要点·记疑点以－α替代公式五中的α，可得公式六.sinαcosα－sinα

异名锐角时原函数值的符号函数名改变，符号看象限探要点·究所然情境导学

探究点一诱导公式五思考1如图，在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有根据上述结论，你有什么猜想？

从而得诱导公式五探究点二诱导公式六

＝－sinα，思考3

你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？探究点三诱导公式的理解、记忆与灵活应用

∴左边＝右边，故原等式成立.＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ反思与感悟解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分别化简，再利用sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系求值.解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式.解∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又B，C为△ABC的内角，∴C＝B.∴△ABC为等腰三角形.当堂测·查疑缺1234D12342.已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m表示为(

)解析sin(α－180°)－sin(270°－α)＝－sin(180°－α)－sin[180°＋(90°－α)]＝－sinα＋sin(90°－α)＝cosα－sinα＝m，1234sin(180°＋α)sin(270°＋α)＝－sinα·(－cosα)＝sinαcosα答案C12343.代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是

.解析

原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.1123412341234呈重点、现规律

2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.§1.3三角函数的诱导公式(一)

明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.明目标、知重点相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于

对称－α与α关于

对称π－α与α关于

对称1.设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系如表原点填要点·记疑点x轴y轴2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝

，cos(α＋2kπ)＝

，tan(α＋2kπ)＝

，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝

，cos(π＋α)＝

，tan(π＋α)＝

.(3)公式三：sin(－α)＝

，cos(－α)＝

，tan(－α)＝

.(4)公式四：sin(π－α)＝

，cos(π－α)＝

，tan(π－α)＝

.sinαcosαtanα－sinα－cosαtanα－sinαcosα－tanαsinα－cosα－tanα探要点·究所然情境导学在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？这就是本节学习的内容.探究点一诱导公式二思考1

设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？

角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？答

角π＋α与角α的终边关于原点O对称；P2(－x，－y)思考2

根据三角函数定义，sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，诱导公式二sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.思考3

公式二有何作用？答第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：探究点二诱导公式三思考1

设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？答角－α的终边与角α的终边关于x轴对称；角－α的终边与单位圆的交点为P2(x，－y).

即诱导公式三sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.思考3

诱导公式三有何作用？答

将负角的三角函数转化为正角的三角函数.思考1

利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？答

由诱导公式二和诱导公式三可得：sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sinα，cos(π－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－cosα.tan(π－α)＝tan[π＋(－α)]＝tan(－α)＝－tanα.探究点三诱导公式四即sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.即诱导公式四sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.思考2

诱导公式四有何作用？答将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.思考3

公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？

答2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”！例1

利用公式求下列三角函数的值：(1)cos225°；解

(1)cos225°＝cos(180°＋45°)(4)cos(－2040°).

反思与感悟利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再转化到

范围内的角的三角函数值.跟踪训练1求下列三角函数值.(3)tan(－855°).解

tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.解

sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]＝－sin(180°＋α)＝－(－sinα)＝sinα，cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]＝cos(180°＋α)＝－cosα，反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.反思与感悟对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.

∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cosα)＝－sinα－cosα＝－(sinα＋cosα)当堂测·查疑缺12341.求下列三角函数的值.(1)sin690°；

12341234(3)tan(－1845°).解

tan(－1845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.12341234解当k＝2n(n∈Z)时，1234当k＝2n＋1(n∈Z)时，综上，原式＝－1.1234证明当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，1234右边＝(－1)2kcosα＝cosα，∴左边＝右边.当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，1234右边＝(－1)2k－1cosα＝－cosα，∴左边＝右边.呈重点、现规律1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π之间的角求值公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.§1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.明目标、知重点1.正弦曲线、余弦曲线正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象分别叫

曲线和

曲线.正弦填要点·记疑点余弦2.“五点法”画图画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是

；画余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是

.3.正弦、余弦曲线的联系依据诱导公式cosx＝sin，要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向

平移

个单位长度即可.左探要点·究所然情境导学遇到一个新函数，它总具有许多基本性质，要直观、全面了解基本特性，自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看看它有什么特殊点，并借助它的图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最值等.我们今天就学习正弦函数、余弦函数的图象.探究点一几何法作正弦曲线思考1在直角坐标系中，如何用正弦线比较精确地画出y＝sinx，x∈[0,2π]内的图象？答①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示.②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于 2π等角的正弦线.③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份.④找纵坐标：将正弦线对应平移，即可得到相应点的纵坐标.⑤连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得y＝sinx，x∈[0,2π]的图象.思考2

如何由y＝sinx，x∈[0,2π]的图象得到y＝sinx，x∈R的图象？答因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sinx，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是我们只要将函数y＝sinx，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象.探究点二五点法作正弦曲线思考1同学们观察，

在y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的点有几个？思考2

如何用描点法画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象？小结描点法画正弦函数y＝sinx图象的关键：(1)列表时，自变量x的数值要适当选取①在函数定义域内取值；②由小到大的顺序取值；③取的个数应分布均匀；④应注意图形中的特殊点(如：端点，交点，顶点)；⑤尽量取特殊角.(2)描点连线时应注意：①两坐标轴上的单位长度尽可能一致，以免改变图象的真实形状；②变量x，y数值相差悬殊时，也允许采用不同长度单位；③连线时一定要用光滑的曲线连接，防止画成折线.探究点三余弦曲线思考如何快速做出余弦函数图象？例1

利用“五点法”作出函数y＝1－sinx(0≤x≤2π)的简图.解(1)取值列表：x0π2πsinx010－101－sinx10121(2)描点连线，如图所示.反思与感悟作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sinx或y＝cosx的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1

利用“五点法”作出函数y＝－1－cosx(0≤x≤2π)的简图.解(1)取值列表如下：x0π2πcosx10－101－1－cosx－2－10－1－2(2)描点连线，如图所示.结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).反思与感悟一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，