专题19 导数的同构思想（解析版）

专题19导数的同构思想一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将条件变形为，然后由的单调性可得，然后可得，然后利用导数求出的最小值即可.【详解】由得即，构造，即因为在上单调递增，所以，所以所以，令，则所以在上单调递减，在上单调递增所以，所以，即又，即所以的取值范围是故选：B2．（2021·安徽·合肥一中高三月考（理））设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把不等式成立，转化为恒成立，设函数，进而转化为恒成立，得出恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得，当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数m的取值范围是.故选：A.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.3．（2021·宁夏·石嘴山市第一中学高二月考（理））若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，则，得；当时，，恒成立；当时，令，求导分析单调性得在恒成立，通过分离参数即可求解参数范围．【详解】解：令，则，∴．不等式恒成立，①当时，，恒成立；②当时，令，，在单调递增，即等价于，在恒成立．即，在恒成立.令，则，可得，∴在递增，在递减，∴，∴，∴的取值范围为．故选：B．【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．4．（2021·全国·高三专题练习）已知函数若时，恒成立，则实数的最小值为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，可等价为，再利用的单调性转化为求最值即可求解.【详解】由可得，所以，设，则上式等价于对于恒成立，因为，所以在单调递增，所以对于恒成立，即，因为，所以对于恒成立，令，则，，由可得，由可得，所以在单调递增，在单调递减，所以，可得，所以实数的最小值为.故选：D.【点睛】思路点睛：不等式恒成立（或能成立）求参数由不等式恒成立（或能成立）求参数，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.5．（2020·安徽·高三月考（文））已知函数，当时，恒成立，则m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】不等式不恒成立，确定此时，恒成立，着重考虑的情形，不等式变形为，再变形为，因此引入函数，利用导数证明它在上是增函数，不等式又变形为，，又引入函数，由导数求得其最大值即得的范围．【详解】由题意，若显然不是恒大于零，故.（由4个选项也是显然可得），则在上恒成立；当时，等价于，令在上单调递增.因为，所以，即,再设，令，时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，从而，所以.故选：D．【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题，解题关键是问题的化简与转化，首先确定，其次确定恒成立，在时，把不等式变形，通过新函数的单调性逐步转化，最终分离参数转化为求函数的最值．6．（2022·全国·高三专题练习）设实数，若对任意的，不等式成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把不等式成立，转化为恒成立，设函数，进而转化为恒成立，得出恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】因为，不等式成立，即成立，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得，当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，函数取得最大值，最大值为，所以，即实数m的取值范围是.故选：D.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.7．（2020·河北·正定中学高三月考）已知，不等式对任意的实数都成立，则实数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把不等式变形为，设，则不等式对任意的实数恒成立，转化为对任意恒成立，根据函数的单调性，得出对任意恒成立，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.【详解】由题意，不等式变形为，即，设，则不等式对任意的实数恒成立，等价于对任意恒成立，又由，则在上单调递增，所以，即对任意恒成立，所以恒成立，即，令，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以当时，取得最小值，所以，即，所以的最小值是.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．8．（2020·辽宁·模拟预测（理））若不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】当时，，，显然成立；当时，不等式，化为，两边取对数得到，进而转化为恒成立，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，当时，，可得，①当时，，则，不等式显然成立；②当时，不等式，可化为，两边取对数，可得，令，可得，又由函数单调递增，所以只需，即在恒成立，令，有，，由，即，解得，由，即，解得，所以函数的增区间为，减区间为，所以当时，函数取得最大值，综上可得，实数的取值范围为.故选：B.【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．9．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（理））设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根据二阶导数的符号判断的单调性，由零点存在性定理易知使，此时，进而讨论的单调性可知，要使题设不等式恒成立，即成立，构造利用导数研究其单调性确定的区间，进而求的范围.【详解】令，只需要上恒成立，∵且，∴，即在上单调递增，∵，，∴，使，即，∴时，，单调递减；时，，单调递增；故只需，令，∴，故在上递减，而，∴时，恒成立，可知.故选：C【点睛】关键点点睛：利用导数研究的单调性并确定极小值点范围，根据有，结合构造新函数，求成立时的区间，进而求参数范围.10．（2021·湖北·汉阳一中二模）若对任意，恒有，则实数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可.【详解】由题意可知，不等式变形为.设，则.当时，即在上单调递减.当时，即在上单调递增.则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.所以，即在上单调递增.若使得对任意，恒有成立.则需对任意，恒有成立.即对任意，恒有成立，则在恒成立.设则.当时，，函数在上单调递增当时，，函数在上单调递减则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.所以，即，则实数的最小值为.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.11．（2021·江苏·公道中学高二月考）已知不等式对恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将不等式变形,通过构造函数,求导数后,结合函数的单调性即可得解.【详解】不等式对恒成立可变形为,即对恒成立设则当时,,即在时单调递增当时,,即在时单调递减因而在上恒成立即可当时,而当时(因四个选项都小于0,所以只需讨论的情况)因为在时单调递减,若只需不等式两边同取自然底数的对数,可得当时,化简不等式可得只需令,则,令解得当时,,则在内单调递增当时,,则在内单调递减所以在处取得最大值,故所以实数的最小值为故选:C【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.二、填空题12．（2021·福建省泉州第一中学高二期末）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.【答案】【分析】先将不等式变形为，再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为，然后求出函数的最小值，即解出．【详解】由题意，不等式可变形为，得对任意恒成立.设，则对任意恒成立，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递增.当时，，因为求实数的最小值，所以考虑的情况，此时，因为函数在上单调递增，所以要使，只需，两边取对数，得上，由于，所以.令，则，令，得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以实数的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.13．（2021·河南郑州·二模（理））已知，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____．【答案】【分析】令，可将不等式变形为，然后由的单调性可得，然后可得，然后求出右边的最小值即可.【详解】不等式对任意的恒成立，令，则，所以不等式等价于对恒成立，变形可得不等式对恒成立，令，，则不等式等价于对恒成立，，当时，，故单调递增，所以不等式转化为对恒成立，即对恒成立，令，所以，令，解得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得最小值，所以，又，所以实数的取值范围为．故答案为：．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，将其变形为.14．（2021·河南平顶山·高二期中）不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________．【答案】【分析】先将原不等式化为对于任意恒成立，由于在递增，故得，分离参数得，求解的最小值即可．【详解】，，令，易知在递增，，∴，又∵，，即对任意恒成立，设，则当时，；当时，所以在递减，在上递增，，则故答案为：．【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围．15．（2020·全国·高三月考（理））已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】先将不等式变形为，令，，由与互为反函数得只需要即可，即，然后用导数求出左边的最小值即可.【详解】显然，由，得，则令，，因为与互为反函数，所以只需要即可，即，令，则，所以可得在上单调递减，在上单调递增所以，即.故答案为：【点睛】互为反函数的两个函数的图象关于对称.16．（2021·全国·高三专题练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．【答案】【分析】首先不等式变形为，经讨论不成立，当时，不等式变形为，通过设函数，转化为不等式恒成立，通过函数的单调性，和正负区间，讨论求的取值范围.【详解】解：若，时，，，∴，此时不恒成立，∴，，令，，时，，，，在单调递减，单调递增，∴，，时，，，原不等式恒成立；时，令，，，时，，时，，在单调递减，在单调递增，∴，∴，∴，即，∴，∴．故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，第一个关键是说明不恒成立，第二个关键是时，不等式的变形，构造函数，第三关键是证明.17．（2021·河南·高三月考（理））若关于的不等式对于任意恒成立.则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】利用同构将不等式转化为，再构造函数设，研究函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到答案；【详解】易知，将原不等式变形可得：，设，则，当时，原不等式显然成立；当时，因为在上递增，设，则，所以在递减，递增，所以的最小值为，故.故答案为：18．（2021·河南南阳·高二期末（理））若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】首先设函数，转化为，利用单调性得，参变分离后，转化为求函数的最小值，从而求得的取值范围.【详解】设，则，所以在上单调递增，由已知得，因为，，，所以，，，所以在上单调递增，，由在单调递增，得到，所以，因为，所以，令，则，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，参数问题，本题的关键是利用指对变形，通过构造函数，不等式转化为，利用函数的单调性，解抽象不等式后，后面的问题迎刃而解.19．（2021·浙江·高二期中）若对任意的实数，不等式恒成立，则正数k的取值范围是__________．【答案】【分析】对给定不等式等价变形，构造函数借助其单调性转化成新函数最值即可得解.【详解】，，，令，，即在上单调递增，则，令，，时，时，在上递增，在上递减，时，即，正数k的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点睛：不等式恒成立问题，等价转化，分离参数是解题的关键.20．（2021·天津·耀华中学高三月考）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.【答案】【分析】将已知转化为对于任意，恒成立，利用同构思想，构造函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性转化为恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解.【详解】∵对于任意，，不等式恒成立∴对于任意，，即恒成立当时，；当，，设，则，所以在上单调递增，由，知，即，即设，，求导令，得当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴在处取得极大值，且为最大值，所以时，不等式恒成立故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为，再利用函数的单调性及求参方法求解.21．（2021·全国·高三专题练习）若时，关于不等式恒成立，则实数的最大值是______.【答案】【分析】对分类讨论，当时，不等式显然恒成立.当时，对不等式进行变形为，然后构造函数，根据函数单调性化简不等式，最后分离参数，即可求出的范围，进而求出的最大值.【详解】当，时，不等式显然恒成立.当时，.由于，即.所以原不等式恒成立，等价于恒成立.构造函数，.易知在上单调递减，在上单调递增.则原不等式等价于要证.因为，要使实数的最大，则应.即.记函数，则.易知，.故函数在上单调递减，所以.因此只需.综上所述，实数的最大值是.故答案为：【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．(3)根据不等式构造函数，由函数的单调性化简所求的不等式是本题关键之步.22．（2020·江西宜春·模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.【答案】