第20讲导数的极值4种常考考点

第20讲导数的极值4种常考考点【考点分析】考点一：函数的驻点若，我们把叫做函数的驻点．考点二：函数的极值点与极值①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点考点三：求可导函数极值的步骤①先确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点.【典例例题】考点一：求函数的极值与极值点利用导数求函数极值的步骤如下：（1）求函数的定义域；（2）求导，通分，能分解就分解因式；（3）解方程，当；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值【精选例题】【例1】已知函数，那么的极大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对求导可得，再令求极值点，讨论单调性即可求出的极大值.【详解】函数为，令可得当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故选：A.【例2】对于函数，下列说法正确的是（）A．单调递减区间是 B．有最小值eC．有极小值e D．有最大值e【答案】C【分析】根据题意利用导数判断原函数单调性，并结合图象逐项分析判断.【详解】令，解得且，所以函数的定义域为，对于选项A：因为，，令，解得；由，解得或；则在和上单调递减，在上单调递增，故A错误；对于选项C：由选项A可得：当时，取得极小值，且，故C正确；对于选项B、D：当时，则，可得，且当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于；当时，由选项A可得，且当趋近于1时，趋近于，当趋近于时，趋近于，如图所示：

所以无最小值，无最大值，故B、D错误，故选：C．【例3】若函数，下面结论中正确的是（

）A．为奇函数 B．当时，有极大值C．在单调递减 D．【答案】ABD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用导数研究函数在上的单调性，可判断B选项；利用导数与函数单调性的关系可判断CD选项.【详解】函数定义域为，对于A，，则为奇函数，A正确；对于B，当时，，，当时，，单增，当时，，单减，则时，有极大值，B正确；对于C，当时，，，单增，C错误；对于D，由上知，在单调递增，则，又，则，D正确.故选：ABD.【例4】已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在处得到极大值 B．在处得到极大值C．在处得到极小值 D．在处得到极小值【答案】C【分析】利用导数求函数极值即可.【详解】由，且，所以时，递减，时，递增，所以在处得到极小值.故选：C【例5】已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数求出函数的极小值点，可得出，再利用诱导公式可求得的值.【详解】因为，则，由，即，可得，由，即，可得，所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，函数的极小值点为，将函数所有极小值点从小到大排列成数列，则，，易知数列为等差数列，且数列的公差为，则，因此，.故选：D.【例6】设函数，则（

）A．函数的单调递减区间为．B．曲线在点处的切线方程为．C．函数既有极大值又有极小值，且极大值大于极小值．D．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为．【答案】D【分析】根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程有两个不等实根转化为与有两个交点，再利用数形结合即可求解.【详解】由题意可知的定义域为，，令，即，解得或当时，当时，所以在和上单调递增，在和上单调递减.故A错误；当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，因为，所以极大值小于极小值，故C错误；对于B，切线斜率，曲线在点处的切线方程为，即，故B错误；对于D，由上分析可作出的图象如图所示要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，由图可知，，所以实数的取值范围为.故D正确.故选：D.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用求过点处的切线方程的方法及零点的存在性定理判断方程的根，再利用导数法求函数的极值及作出函数的大致图象，将方程有两个不等实根转化为与有两个交点即可.【跟踪训练】1.已知函数，则的极小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解.【详解】函数的定义域为，因为所以，令，则，解得或（舍），x2－0＋单调递减极小值单调递增由此表可知，当时，的取得极小值为.故选：D.2.已知，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值【答案】C【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值.【详解】因为，所以，则当时，当时，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时函数有极大值，无极小值.故选：C3.函数的极小值为（）A． B．1 C．0 D．不存在【答案】A【分析】利用导数研究函数单调性，求解函数极小值.【详解】函数，定义域为，，，解得；，解得，在上单调递减，在上单调递增，时有极小值，极小值为.故选：A4.已知函数，则下列结论正确的是（

）A．有两个零点 B．点是曲线的对称中心C．有两个极值 D．直线是曲线的切线【答案】C【分析】AC选项，求定义域，求导，得到函数单调性和极值情况，并得到的零点情况，判断AC；B选项，计算，故点不是曲线的对称中心；D选项，设出切点，根据导函数的几何意义得到切点横坐标，进而得到切点坐标和切线方程，判断D错误.【详解】AC选项，定义域为R，，当或1时，，令，解得，令，解得或，故在上单调递减，在上单调递增，故是的极大值点，1是的极小值点，故有两个极值，C正确；又，，当时，，当时，，故有3个零点，A错误；，故点不是曲线的对称中心，B错误；D选项，设是函数的切点，，令，解得，又，则函数在处的切线方程为，即是曲线的切线，D错误.故选：C5.已知函数，，则（

）A．有两个极值点B．有三个零点C．直线是曲线的切线D．当直线与曲线有三个不同的交点时，实数的取值范围是【答案】ABD【分析】求导根据导函数得出函数的单调区间，即可得出A项；根据A项得出的结论，求出极值与端点处的函数值，根据零点存在定理，即可得出函数零点的个数，即可得出B项；由得出的值，代入函数求出值，验证即可判断C项；令，根据A、B的解析可得出函数的单调性、极值以及端点值，进而作出图象，根据图象得出函数与的图象有3个交点时的的取值，即可得出D项.【详解】对于A项，.由，可得.因为，所以或.当时，有，，所以在上单调递增；当时，有，，所以在上单调递减；当时，有，，所以在上单调递增.所以，在处取得极大值，在处取得极小值，所以，有两个极值点，故A正确；对于B项，因为，，，，根据A的结论以及零点存在定理可知，在，，上各有一个零点，所以有三个零点，故B正确；对于C项，假设直线是曲线的切线，由可得，因为，所以或.又，，所以切点为或，显然这两个点都不在直线上，故假设错误，故C项错误；对于D项，令，由A、B解析可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极大值，在处取得极小值0，且，.设，，则，.作出以及的图象如图

因为，由图象可知，当时，函数与的图象恒有3个交点，即直线与曲线有三个不同的交点，所以，实数的取值范围是，故D项正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于D项，通过研究与的性质与图象，结合图象，即可求出参数的取值范围.6.设函数，则下列说法正确的是（

）A．的极大值点为B．的极小值为C．在上单调递增D．的极小值大于的极大值【答案】BD【分析】易知函数的定义域为，利用导函数可知函数的单调性及极值情况，显然极大值点不是点，可知A错误，B正确，C错误，代入计算可得其极小值大于的极大值，可得D正确.【详解】由，得，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以的极大值点为，不是点，选项错误，的极小值为，选项正确，在上单调递减，选项错误，的极大值为，显然，即选项正确，故选：BD.7.已知函数，则（

）A．在是增函数 B．有极大值点，且C．的极小值点，且 D．没有零点【答案】ACD【分析】求导，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，进而判断选项得出答案.【详解】，当时，，故A正确；令，解得，当时，；当时，，故无极大值点，有极小值点，又，所以，故B错误，C正确；当时，单调递减，当时，单调递增，故，则没有零点，故D正确．故选：ACD.考点二：根据极值、极值点求参数的值解含参数的极值问题要注意：①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值【精选例题】【例1】若的一个极值点是，则的极大值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可的可求出的值，代入，对求导得出的单调性，即可求出的极大值.【详解】，因为是的极值点，所以则，令，解得或，则当或时，，单减，当时，，单增，故的极大值为.故选：C．【例2】已知函数（），则下列结论正确的是（

）A．函数一定有极值B．当时，函数在上为增函数C．当时，函数的极小值为D．当时，函数的极小值的最大值大于0【答案】C【分析】求出函数的导数，举反例可判断A；根据导数与函数单调性的关系可判断B；求得函数极值判断C；根据函数极小值的表达式构造函数，利用导数求得其最小值判断D.【详解】由得，当时，，在上单调递减，无极值，A错误；当时，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，B错误；由B的分析可知，时，函数取极小值，极小值为，C正确；令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增减，故，即当时，函数的极小值的最大值小于等于0，D错误；故选：C【例3】已知函数在处取得极大值1，则的极小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，求出，从而可求出和的解析式，再由的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值.【详解】的定义域为，由，得，因为函数在x＝－1处取得极大值1，所以，解得，所以，．令．解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以的极小值为．故选：C【题型专练】1.已知函数和有相同的极大值，则（

）A．2 B．0 C．-3 D．-1【答案】B【分析】利用导数法求得和的极大值，然后根据与有相同的极大值建立方程求解即可.【详解】，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，又，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，依据题意，和有相同的极大值，故，所以，所以.故选：B.2．已知函数，设是的极值点，则a=___，的单调增区间为___.【答案】【解析】由题意可得：是的极值点即令，可得的单调递增区间为3.已知函数在时有极大值，则的极大值为（

）A．0 B．32 C．0或32 D．0或-32【答案】B【分析】求导，根据函数的单调性求解.【详解】，，即在和处取得极值，由题意：时为极大值，，，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，在处取得极大值，，的极大值；故选：B.4.函数在处有极值，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，选D.5.若是函数的极值点，则的极大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据极值点，求出参数，再据此求导，讨论单调性，求得最大值.【详解】因为，故可得，因为是函数的极值点，故可得，即，解得.此时令，解得，由可得或；由可得，所以在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极大值点为.则的极大值为.故选：C.考点三：根据极值、极值点求参数的范围【精选例题】【例1】若函数，既有极大值也有极小值，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题.【详解】因为，所以函数定义域为，，由题意，方程，即有两个不相等的正根，设为，则，解得，即的取值范围为.故选：A.【例2】已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求导，利用二次方程有两个不相等的实数根即可由判别式求解.【详解】∵，∴，∵函数既存在极大值，又存在极小值，∴导函数有两个不相等的变号零点，∴，即，解得或．∴实数的取值范围是，故选：B．【例3】若函数在内有极大值，在内有极小值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可得，从而可求出实数的取值范围.【详解】由，得，因为在内有极大值，在内有极小值，所以，解得．故选：C．【例4】函数在内有极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.【详解】由得，，因函数在内有极值，则时，有解，即在时，函数与直线y=a有公共点，而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号，所以实数的取值范围是.故选：C【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．【例5】若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，由导函数有两个零点可得实数的取值范围.【详解】∵有两个不同的极值点，∴在有2个不同的零点，∴在有2个不同的零点，∴，解得．故选：D.【例6】若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】函数既有极大值又有极小值转化为导函数在定义域上有两个不同的零点.【详解】因为既有极大值又有极小值，且，所以有两个不等的正实数解，所以，且，解得，且.故选:B.【跟踪训练】1.若函数恰好有两个极值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导函数，利用函数恰好有两个极值，说明导函数有两个不同的零点，从而求出a的取值范围.【详解】因为，所以，由函数恰好有两个极值，得有两个不相等的零点，故方程有两个不相等的实根，则，且，解得或，所以实数a的取值范围是.故选：D.2.函数在区间上存在极值，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可求解.【详解】函数的定义域为，，令，，所以当时，，当时，，所以在单调递增，单调递减，所以，又因为当时，则，，所以存在唯一，使得，所以函数在时，时，所以函数在单调递增，单调递减，所以要使函数在区间上存在极值，所以的最大值为3，故选:B.3.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.【详解】函数的定义域为，因为函数有两个不同的极值点，所以有两个不同正根，即有两个不同正根，所以解得，故选:A.4.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解.【详解】因为函数在内无极值，所以在内无变号零点，根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增，所以或即可，解得或，故选：C.5.已知函数在其定义域的一个子区间上有极值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由已知建立不等式，求解即可.【详解】解：，令，即，解得，且，；，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴有极大值，∴，∴，故选：A.6.设函数f(x)＝lnx＋在内有极值，求实数a的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数导函数在区间内有零点，结合常变量分离法，导数的性质进行求解即可.【详解】由，因为函数f(x)＝lnx＋在内有极值，所以在内有解，即在内有解，，设，当时，单调递减，所以，要想方程在时有解，只需，故选：A7.若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，分，，，分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.【详解】，若时，当时，；当时，；则在上单调递减；在上单调递增.所以当时，取得极小值，与条件不符合,故不满足题意.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极大值，满足条件.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极小值，不满足条件.当时，在上恒成立，即在上单调递增.此时无极值.综上所述：满足条件故选：A考点四：利用导函数图象判断函数的极值【例1】如图是导函数的图象，则下列说法不正确的是（

）

A．函数在区间上单调递减B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值【答案】B【分析】根据已知，利用图形以及导数与函数单调性、极值的关系进行判断.【详解】由图可知，导函数在区间上满足，所以在区间上单调递减，故A正确；导函数在区间上满足，所以函数在区间上单调递增，故B错误；在附近，当时，导函数满足，当时，导函数满足，所以函数在处取得极大值，故C正确；在附近，当时，导函数满足，当时，导函数满足，所以函数在处取得极小值，故D正确.故选：B.【例2】已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则极值点的个数为（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据函数的图象得出在相应区间内的符号，从而得出答案.【详解】由图可知，当时，；当时，；当时，；当时，．故极值点的个数为2．故选：C【例3】设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（

）

A．函数有极大值 B．函数有极小值C．函数有极大值 D．函数有极小值【答案】AD【分析】根据给定条件，结合图象求出函数的零点