线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)

..线线角、线面角、二面角的求法空间向量的直角坐标运算律：⑴两个非零向量与垂直的充要条件是⑵两个非零向量与平行的充要条件是·=±||||2.向量的数量积公式假设与的夹角为θ(0≤θ≤π),且，,那么〔1〕点乘公式：·=||||cosθ〔2〕模长公式：那么，〔3〕夹角公式：〔4〕两点间的距离公式：假设，，那么，①两条异面直线、间夹角在直线上取两点A、B，在直线上取两点C、D，假设直线与的夹角为，那么。例1(卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，那么异面直线A1E与GF所成的角是〔〕 A． B．C． D．〔向量法，传统法〕例2(2005年全国高考XX卷)如图，平面，且，那么异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解：〔1〕向量法〔2〕割补法：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在Rt△PDB中，即．故填．点评：此题是将三棱柱补成正方体②直线与平面所成的角(重点讲述平行与垂直的证明)图1－2图1－1图1－3可转化成用向量与平面的法向量的夹角表示，由向量平移得：假设时〔图〕；假设时〔图〕.图1－2图1－1图1－3平面的法向量是向量的一个重要容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：(1)找出(求出)平面的两个不共线的向量的坐标(2)设出平面的一个法向量为(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。ABCDEFGxyz1.(线线角,线面角).在棱长为ABCDEFGxyz〔1〕求直线所成角；〔2〕求直线与平面所成的角.BCDPAxyz2.如图，底面为直角梯形，，面，，为的中点，求BCDPAxyz异面直线与所成角的余弦值；直线与面所成角的正弦值；③求二面角的大小1.围：2.二面角的向量求法：方法一：如图，假设AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面与棱l垂直的异面直线,那么二面角的大小就是向量与的夹角.ββlα方法二:设是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,那么向量与的夹角(或其补角就是二面角的平面角的大小.如图,设二面角的平面角的大小为,法向量的夹角为.注意:在用向量求二面角的大小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角，但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出角后，应判断二面角的大小，再确定二面角就是两半平面的法向量所在直线的夹角或是其补角。ABCPDExyABCPDExyz1.[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝eq\r(3)，三棱锥P­ABD的体积V＝eq\f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距离．2、(2011年高考卷理科16)〔本小题总分值12分〕如图：在，沿把折起，使.证明：〔Ⅰ〕平面；〔Ⅱ〕设。3、(2011年高考卷理科16)〔本小题共14分〕如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.(Ⅰ)求证：平面〔Ⅱ〕假设求与所成角的余弦值；4、(2011年高考全国新课标卷理科18)(本小题总分值12分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)假设PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。直线与平面平行或者垂直〔重点掌握〕ABCDA111B11C11111D1111MN1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1ABCDA111B11C11111D1111MN(1)MN//平面ACD1;(2)DB1⊥平面ACD1.2、如图，四棱锥P—ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．ABCDEP(=1\*ROMANI)求证：CD平面PADABCDEP(=2\*ROMANII)求证：BE//平面PAD．3.正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O//平面A1BC1;〔2〕D1O⊥平面MAC.4.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，,点D是AB的中点，求证：〔I〕AC⊥BC1；〔=2\*ROMA