2023学年完整公开课版跟踪检测59

跟踪检测(五十九)二项式定理[基础训练]1．(1－eq\r(x))4(1＋eq\r(x))4的展开式中x的系数是()A．－4 B．－3C．3 D．4答案：A解析：原式＝(1－eq\r(x))4(1＋eq\r(x))4＝(1－x)4，于是x的系数是Ceq\o\al(1,4)·(－1)＝－4.2．[2022四川成都一中模拟]设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2答案：A解析：令等式中x＝－1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－1)9＝－2，故选A.3．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A．－15x4 B．15x4C．－20ix4 D．20ix4答案：A解析：T3＝Ceq\o\al(2,6)x4i2＝－15x4，故选A.\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))2n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为()A．120 B．210C．252 D．45答案：B解析：由已知得，二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等，由展开式中只有第6项的系数Ceq\o\al(5,2n)最大，可得展开式有11项，即2n＝10，n＝5.令5－eq\f(5,6)r＝0可得r＝6，此时T7＝Ceq\o\al(6,10)＝210.5．[2022衡水模拟]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)－4))4的展开式中常数项是()A．352 B．－352C．1120 D．－1120答案：C解析：原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)))－4))4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)))4＋Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)))3(－4)＋Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)))2(－4)2＋Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)))(－4)3＋(－4)4，所以其常数项为Ceq\o\al(2,4)42＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)4(－4)2＋(－4)4＝1120.6．若x∈(0，＋∞)，则(1＋2x)15的二项展开式中系数最大的项为第____________项．答案：11解析：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,15)2rxr，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r－1,15)2r－1≤C\o\al(r,15)2r，,C\o\al(r＋1,15)2r＋1≤C\o\al(r,15)2r，))解得eq\f(29,3)≤r≤eq\f(32,3)，故r＝10，所以第11项的系数最大．7．[2022浙江卷]已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.答案：164解析：a4是x项的系数，由二项式的展开式，得a4＝Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(1,2)·2＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,2)·22＝16；a5是常数项，由二项式的展开式，得a5＝Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(2,2)·22＝4.8．[2022江西赣州十四县联考]若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3x)))n的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，且满足4A＝9(C－B)，则展开式中x2的系数为________．答案：eq\f(56,27)解析：易得A＝1，B＝eq\f(n,3)，C＝eq\f(C\o\al(2,n),9)＝eq\f(nn－1,18)，所以有4＝9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2－n,18)－\f(n,3)))，即n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍)．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3x)))8中，因为通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3x)))r＝eq\f(C\o\al(r,8),3r)·x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为eq\f(56,27).9．[2022陕西西安期末]已知(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________.答案：1解析：令x＝1，得(2＋eq\r(3))4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4；令x＝－1，得(－2＋eq\r(3))4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(2＋eq\r(3))4×(－2＋eq\r(3))4＝(－1)4＝1.[强化训练]1．[2022安徽蚌埠一模]已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝()A．18 B．24C．36 D．56答案：B解析：∵(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4＝[1＋(2x－2)]4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，∴a2＝Ceq\o\al(2,4)·22＝24，故选B.2．[2022湖北武汉调研]若(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋A．80 B．120C．180 D．240答案：D解析：对(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5两边求导，可得15(3x－1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋5a5x4，令x＝1，得15×(3－1)4＝a1＋2a2＋3a3＋…＋5a5，即a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝240.故选D.3．[2022广西南宁二中模拟]1－90Ceq\o\al(1,10)＋902Ceq\o\al(2,10)－903Ceq\o\al(3,10)＋…＋(－1)k90kCeq\o\al(k,10)＋…＋9010Ceq\o\al(10,10)除以88的余数是()A．－1 B．1C．－87 D．87答案：B解析：原式＝(1－90)10＝(88＋1)10＝8810＋Ceq\o\al(1,10)889＋…＋Ceq\o\al(9,10)×88＋1，因为前10项均能被88整除，故余数为1.4．[2022四川达州期末]已知(3x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，设(3x－1)n展开式的二项式系数和为Sn，Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an(n∈N*)，Sn与Tn的大小关系是()A．Sn>TnB．Sn<TnC．n为奇数时，Sn<Tn；n为偶数时，Sn>TnD．Sn＝Tn答案：C解析：Sn＝2n，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，令x＝0，得a0＝(－1)n，所以Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn－a0＝Sn－(－1)n，所以当n为偶数时，Tn＝Sn－1<Sn，当n为奇数时，Tn＝Sn＋1>Sn，故选C.5．[2022湖南湘潭一模]若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为()A．29 B．29－1C．39 D．39－1答案：D解析：(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，∴a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.故选D.6．[2022湖北孝感期末]已知Ceq\o\al(0,n)－4Ceq\o\al(1,n)＋42Ceq\o\al(2,n)－43Ceq\o\al(3,n)＋…＋(－1)n4nCeq\o\al(n,n)＝729，则Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)的值等于()A．64 B．32C．63 D．31答案：C解析：因为Ceq\o\al(0,n)－4Ceq\o\al(1,n)＋42Ceq\o\al(2,n)－43Ceq\o\al(3,n)＋…＋(－1)n4nCeq\o\al(n,n)＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n－1＝26－1＝63，故选C.7．[2022江西南昌第一次模拟]在多项式(1＋2x)6·(1＋y)5的展开式中，xy3项的系数为________．答案：120解析：由题意，得xy3项的系数为Ceq\o\al(1,6)×2×Ceq\o\al(3,5)＝120.8．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除．证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝eq\f(1－25n,1－2)＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝Ce