高考数学（北师大版理科）一轮复习攻略核心考点精准研析12-7-2离散型随机变量与其他知识的综合问题

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点·精准研析考点一与函数、方程、不等式有关的综合问题

1.已知一批产品的不合格率为p(0<p<1),从中任取20件检验,记20件产品中恰好有2件不合格品的概率为f(p),则f(p)取到最大值时,p=()2.已知离散型随机变量X的分布列为Xx1x2P2pE(X)=43,D(X)=29,则px1x2的最小值为3.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,最高气温天数10,15215,201620,253625,302530,35735,404以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值. 导学号【解析】1.选A.根据题意得f(p)=C202p2(1p)因此f′(p)=C202[2p(1p)1818p2(1p)17]=2C20令f′(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.所以p=0.1.23+p=1,所以p=1又因为E(X)=23x1+13x2=D(X)=23x1-4解得x1=1,x2=2或x1=53,x2所以px1x2的最小值为1027答案:103.(1)由题意得,X的可能取值为200,300,500.根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率可知P(X=200)=2+1690=15,P(X=300)=3690P(X=500)=25+7+490=2所以六月份这种酸奶一天的需求量X的分布列为:X200300500P122(2)①当200≤n≤300时,若X=200,则Y=(64)X+(24)(nX)=4X2n=8002n,P(Y=8002n)=15若X=300时,则Y=(64)n=2n,P(Y=2n)=25若X=500时,则Y=(64)n=2n,P(Y=2n)=25所以Y的分布列为:Y8002n2n2nP122所以E(Y)=15×(8002n)+25×2n+2=65n+160,所以当n=300时,E(Y)max=520(元②当300<n≤500时,若X=200,则Y=(64)X+(24)(nX)=8002n,P(Y=8002n)=15若X=300时,则Y=(64)X+(24)(nX)=12002n,P(Y=12002n)=25若X=500时,则Y=(64)n=2n,P(Y=2n)=25所以Y的分布列为:Y8002n12002n2nP122所以E(Y)=15×(8002n)+25×(12002n)+25×2n=25n+640<2综上,当n为300瓶时,Y的数学期望达到最大值.与函数、方程、不等式有关的综合问题的解法1.与函数有关的问题,结合概率,方差,均值的公式列出函数表达式,再利用函数的性质(单调性、最值等)求解.2.与方程、不等式有关的问题,结合均值、方差公式列出方程或不等式,解方程或不等式即可.考点二与数列有关的综合问题

【典例】(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验.对于两组白鼠,当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.导学号(1)求X的分布列.(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.①证明:{pi+1pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.【解析】(1)X的所有可能取值为1,0,1.P(X=1)=(1α)β,P(X=0)=αβ+(1α)(1β),P(X=1)=α(1β),所以X的分布列为X101P(1α)βαβ+(1α)(1β)α(1β)(2)①由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pii1ii+1,故0.1(pi+1pi)=0.4(pipi1),即pi+1pi=4(pipi1).又因为p1p0=p1≠0,所以{pi+1pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.②由①可得p8=p8p7+p7p6+…+p1p0+p0=(p8p7)+(p7p6)+…+(p1p0)=48-1由于p8=1,故p1=348-1,所以p4=(p4p3)+(p3p2)+(p2p1)+(p1p0)=44p4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=1257≈解决离散型随机变量与数列交汇的综合问题的方法把离散型随机变量的分布列、方差、均值用表达式表示出来,结合数列中等比数列、等差数列的定义、通项、求和等思想方法,分拆为一个个小问题,各个击破,最后解答整个问题.某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码,每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用A种密码,则第7周也使用A种密码的概率为________________.(用最简分数表示)

【解析】用Pk表示第k周用A种密码的概率,则第k周未用A种密码的概率为1Pk,所以Pk+1=131-Pk所以Pk+114=1由P1=1知,数列Pk-14是首项为34,公比为13所以Pk=14+34-13k-1,P答案:61考点三与统计交汇的综合问题

命题精解读1.考什么:与统计知识交汇命题,考查统计背景下离散型随机变量的分布列、均值、方差的计算问题.2.怎么考:与统计中频率分布直方图、独立性检验、线性回归方程、茎叶图等知识结合,综合考查统计中的数字特征和概率分布中的均值、方差.3.新趋势:概率与统计结合,综合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差等.学霸好方法与统计知识交汇问题的解决方法:(1)熟练掌握统计中抽样方法、用样本估计总体的思想,掌握频率分布直方图、茎叶图、条形图等统计图形的意义,熟记平均数、方差、标准差的公式.(2)正确求解离散型随机变量的分布列、均值、方差,熟悉二项分布、正态分布的模型.与统计中的频率分布表、频率分布直方图等有关的综合问题【典例】一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球,分别标有不同的数字2,3,4,x,现从袋中随机摸出2个球,并计算摸出的这2个球上的数字之和,记录后将小球放回袋中搅匀,进行重复试验.记A事件为“数字之和为7”.试验数据如表: 导学号摸球总次数“和为7”出现的频数“和为7”出现的频率101209301460249026120371805824082330109450150参考数据≈13(1)如果试验继续下去,根据上表数据,出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近.试估计“出现数字之和为7”的概率,并求x的值.(2)在(1)的条件下,设定一种游戏规则:每次摸2球,若数字和为7,则可获得奖金7元,否则需交5元.某人摸球3次,设其获奖金额为随机变量η元,求η的数学期望和方差.【解析】(1)由数据表可知,当试验次数增加时,频率稳定在0.33附近,所以可以估计“出现数字之和为7”的概率为13因为P(A)=13=2则有3+4=2+x=7,解得x=5.(2)设ξ表示3次摸球中A事件发生的次数,则ξ～A3,13,E(ξ)=3×13=1,D(ξ)=3×13×23=则η=7ξ5(3ξ)=12ξ15,E(η)=E(12ξ15)=12E(ξ)15=1215=3,D(η)=D(12ξ15)=144D(ξ)=144×23与统计中的回归直线方程、独立性检验有关的综合问题【典例】随着的发展,“微信”逐渐成为人们交流的一种形式,某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表:年龄(单位:岁)频数赞成人数15,255525,35101035,45151245,5510755,655265,7551(1)若以“年龄55岁为分界点”,由统计数据完成2×2列联表,并判断是否有99.9%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数总计赞成不赞成总计(2)若从年龄不低于55岁的被调查人中随机选取3人进行追踪调查,求3人中赞成“使用微信交流”的人数的分布列和均值.参考数据: 导学号Pχx0χ2=n(ad-bc【解析】(1)2×2列联表如下:年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数总计赞成33437不赞成7613总计104050χ2=50×(3×6所以有99.9%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.(2)设3人中赞成“使用微信交流”的人数为X,则X的取值为0,1,2,3,由(1)中数据可得年龄不低于55岁的人数为10,其中赞成“使用微信交流”的人数为3,不赞成“使用微信交流”的人数为7,所以PX=0=C73C103=724PX=2=C71C32C103所以X的分布列为X0123P72171所以均值为E(X)=0×724+1×2140+2×740+3×1与统计中的平均数、方差等数字特征有关的综合问题【典例】为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的范围内,某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测,每天检测4次:每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件药品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的药品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2). 导学号(1)假设生产状态正常,记X表示某次抽取的20件药品中主要药理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求P(X=1)(精确到0.0001)及X的数学期望.(2)在一天内四次检测中,如果有一次出现了主要药理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况,需对本次的生产过程进行检查;如果在一天中,有连续两次检测出现了主要药理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之外的药品,则需停止生产并对原材料进行检测.①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量:10.02,9.78,10.04,9.92,10.14,10.04,9.22,10.13,9.91,9.95,10.09,9.96,9.88,10.01,9.98,9.95,10.05,10.05,9.96,10.12.经计算得x=120∑i=120xi=9.96,s=其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20,用样本平均数x作为μ的估计值μ′,用样本标准差s作为σ的估计值σ′,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查.②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率(精确到0.001).附:若随机变量Z服从正态分布Nμ,则P(μ3σ<Z≤3,319≈320≈62≈42≈6【解析】(1)抽取的一件药品的主要药理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9973,从而主要药理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0027,故X～B(20,0.0027).因此P(X=1)=C201(0.9973)19×0.0027X的数学期望为E(X)=20×0.0027=0.054.(2)①由x=9.96,s=0.19,得μ的估计值为μ′=9.96,σ的估计值为σ′=0.19,由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分含量(9.22)在(μ′3σ′,μ′+3σ′)=(9.39,10.53)之外,因此需对本次的生产过程进行检查.②设“在一次检测中,发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A,则P(A)=1[P(X=0)]20≈1(0.9973)20≈10.9474=0.0526,如果在一天中,需停止生产并对原材料进行检测,则在一天的四次检测中,有连续两次出现了主要药理成分含量在(μ3σ,μ+3σ)之外的药品,故概率为P=3[P(A)]2×[1P(A)]2≈3×(0.0526)2×(0.9474)2≈0.007,所以一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率为0.007.1.某地农民种植A种蔬菜,每亩每年生产成本为7000元,A种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响,预计明年雨水正常的概率为23,雨水偏少的概率为13.若雨水正常,A种蔬菜每亩产量为2000千克,单价为6元/千克的概率为14,单价为3元/千克的概率为34;若雨水偏少,A种蔬菜每亩产量为16元/千克的概率为23,单价为3元/千克的概率为1(1)计算明年农民种植A种蔬菜不亏本的概率.(2)在政府引导下,计划明年采取“公司加农户,订单农业”的生产模式,某公司未来不增加农民生产成本,给农民投资建立大棚,建立大棚后,产量不受天气影响,因此每亩产量为2500千克,农民生产的A种蔬菜全部由公司收购,为保证农民的每亩预期收入增加1000元,收购价格至少为多少?【解析】(1)只有当价格为6元/千克时,农民种植A种蔬菜才不亏本,所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P=23×14+13×2(2)按原来模式种植,设农民种植A种蔬菜每亩收入为ξ元,则ξ可能取值为:5000,2000,1000,2500.P(ξ=5000)=23×14=P(ξ=2000)=13×23=P(ξ=1000)=23×34=P(ξ=2500)=13×13=E(ξ)=5000×16+2000×291000×122500×1即a≥2.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“