第01讲 曲线与方程（解析几何）（解析版）

第01讲曲线与方程知识与方法解析几何主要研究两方面的内容:一是根据条件求曲线的方程(即轨迹方程)，二是根据曲线方程,研究曲线的性质.1.求轨迹方程求曲线的轨迹方程是高考命题的热点,其一般步骤为:建(坐标系)、设(动点坐标)、限(限制条件,点满足的条件)、代(坐标代入)、化(化简整理),最后检验轨迹的纯粹性与完备性.即:=1\*GB3①建系;②设点;③列式;④化简;⑤检验.求轨迹方程的常用方法:已知曲线类型——待定系数法未知曲线类型——①定义法:②直接法:③代入法;④交轨法;⑤参数法.2.研究曲线的性质主要是图形形状、对称性、范围、最值等.典型例题【例1】已知点集，则平面直角坐标系中区域的面积是（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由题意，当时，只需满足，；当时，对不等式两侧平方，整理得，综上可得集合对应的图象，如图所示，所以其面积为．【例2】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论:=1\*GB3①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；=2\*GB3②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;=3\*GB3③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.① B.② C.①② D.①②③【答案】C【解析】由得，，，，，所以可为的整数有0，，1，从而曲线C：恰好经过，，，，，六个整点，结论①正确.由得，，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过.结论②正确.如图所示，易知，，，，四边形ABCD的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.【例3】在数学中有这样形状的曲线:.关于这种曲线，有以下结论：=1\*GB3①曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;②曲线上任意两点之间的距离都不超过2;③曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于5.其中正确的结论有（）A.①③B.②③C.①②D.①②③【答案】A【解析】如图，图象由四个圆的部分图像和原点组成，且四个圆都可过原点，①曲线中，，,经过的整点有:,,,,,,,,共9个，命题①正确;②如图，曲线上任意两点距离范围为，即两点距离范围为，命题②错误;③曲线所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为，，命题(3)正确.故选：A.【例4】（多选题）双扭线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点,距离之积等于的点的轨迹称为双扭线.已知点是双扭线上一点，下列说法中正确的有（）A.双扭线关于原点中心对称;B.;C.双扭线上满足的点有两个;D.的最大值为.【答案】ABD【解析】对，设动点，由题意可得的轨迹方程为.把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；对，因为，故.又，所以，即，故.故正确；对，若，则在的中垂线即轴上．故此时，代入，可得，即，仅有一个，故错误；对，因为，故，因为，，故.即，所以.又，当且仅当，，共线时取等号．故，即，解得，故正确.故选：.【例5】（多选题）在平面直角坐标系中，为曲线上一点，则（） A．曲线关于原点对称 B． C．曲线围成的区域面积小于18 D．到点的最近距离为【答案】ACD【解析】当，时，曲线即，将中心平移到位于第一象限的部分；因为点，，都在曲线上，所以曲线图象关于轴，轴和原点对称，作出图象如图所示:对于选项：由图知曲线关于原点对称，故选择项正确；对于选项：令中令得，向右平移一个单位可得横坐标为3，根据对称性可知，故选项不正确；对于选项：令中可得，向上平移个单位可得纵坐标最大值为，曲线第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为，所以曲线围成的区域面积小于，故选项正确；对于选项：令中，可得，所以到点的最近距离为，故选项正确；综上所述，选.【例6】（多选题）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美，对称美，和谐美的结合产物，曲线：恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是（）.曲线经过5个整点（即横，纵坐标均为整数的点）.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2.曲线围成区域的面积大于.方程表示的曲线在第一象限和第三象限【答案】【解析】把，代入曲线，可知等号两边成立，所以曲线在第一象限过点，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点对于选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把，和代入曲线的方程验证可知，等号不成立，所以曲线在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线只经过整点，即错误；对于选项，因为，所以，所以，所以，即正确．对于选项，以为圆点，为半径的圆的面积为，显然曲线围成的区域的面积小于圆的面积，即错误；对于选项，因为，所以与同号，仅限与第一和三象限，即正确．故选：．【例7】(双空题)曲线是平面内到定点的距离与到定直线的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线与轴交点的坐标是_______；又已知点(为常数)，那么的最小值______．【答案】【解析】(1)设点坐标)为，因为动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为，所以，当时，代入求得，所以与轴交点为.（2）当时，曲线可以化为当时，曲线可以化为，令，则或，解得或；=1\*GB3①当或时,,所以;=2\*GB3②当时当直线与相交时,交点满足取得最小值因为抛物线准线方程为,所以直线与准线交点坐标为,此时;=3\*GB3③当时当直线与相交时,交点满足取得最小值此为抛物线准线方程为所以直线与准线交点坐标为,此时.综上所述,【例8】如图所示,直线和相交于点,点,以端点的曲线段上任一点到的距离与到点的距离相等，若是锐角三角形,且,建立适当的坐标系,求曲线的方程.【答案】.【解析】解法1:已知曲线类型,-待定系数法为轴,线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系如图所示,依题意知:曲线段是以点为焦点,为准线的抛物线的一段,其中分别为的端点.设曲线段的方程为，其中，分别为、横坐标，，∴，，由，得：=1\*GB3①=2\*GB3②解由=1\*GB3①、=2\*GB3②组成的方程组得，代入=1\*GB3①并由解得或，因为是锐角三角形，∴，故应舍去，所以，.由点在曲线段上，得，综上，得曲线段的方程为.解法2：利用抛物线定义求标准方程以为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系如图所示，依题意知：曲线段以点为焦点，为准线的抛物线的一段，过点作，垂线，垂足分别为、，由抛物线定义可知，则，，，所以，即，故抛物线的方程为.由，结合抛物线定义，得，所以.综上，得曲线的方程为.【注】求曲线方程时，为了使得最终的结果具有简单的形式，需要建立适当的坐标系，一般要考虑两点:①图形的对称性;②使尽可能多的点落在坐标轴上.【例9】已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上不同的两个动点，求直线与交点的轨迹的方程.【答案】且【解析】由题设知，则有①，②解法1：联立①②解得交点坐标为，即③，则，而点在双曲线上，所以，将③式带入上式，整理得所求轨迹的方程为且.解法1：设是直线与交点，①②两式相乘得（3）而点在双曲线上，所以，即，代入（3）式整理得.因为是双曲线上不同的两点，所以他们与点均不重合，故点不在轨迹上.过点，以及的直线的防尘为，解方程组得.所以直线与双曲线只有唯一交点，故轨迹不经过点，同理轨迹也不经过点.综上，轨迹的方程为且.【注】用交轨法求曲线方程时，要特别注意变量的取值范图.【例10】如图,设点和为抛物线上除原点以外的两个动点,已知,则点的轨迹方程为（） A.(原点除外) B.（原点除外) C.(原点除外) D.(原点除外) 【答案】A【解析】当斜率存在时,设,直线的方程为,由得,联立和,消去得,所以,所以,由得,所以,所以,所以,把代入得,当斜率不存在时,设直线的方程为,由得点在轴上,即,∵,又点在抛物线上,故,整理得,故点,满足方程,综上所述：动点的轨迹方程为（除原点外)故选：.强化训练1.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为（）A.B.C.D.【答案】【解析】的参数方程为：（为参数）曲线是关于点中心对称的图形，所以曲线上点到原点距离为直径长的一半，当时，取得最大值为，所以直径为.2.由曲线围成的图形面积为（）A.B.C.D.【答案】【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当，时，解析式为，故可得此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是，故选.3.如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A选项，等价于或，表示折线的全部和双曲线，故错误；B选项，等价于或，又表示折线的全部，故错误；C选项，等价于或，表示折线在双曲线外部（包含有原点）的部分，表示双曲线，符合题中的图象，故C正确；D选项，等价于或，表示折线在双曲线外部（包含有原点）的部分，和表示双曲线在轴正文的部分，故错误．4.方程所表示的曲线是( )A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆【答案】A【解析】,表示一个圆,选A.5.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：①曲线C有四条对称轴；②曲线C上的点到原点的最大距离为；③曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大为；④四叶草面积小于.其中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④【答案】C【解析】①当x变为－x时，不变，所以四叶草图象关于y轴对称；当y变为－y时，不变，所以四叶草图象关于x轴对称；当y变为x时，不变，所以四叶草图象关于y＝x轴对称；当y变为－x时，不变，所以四叶草图象关于y＝－x轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；②因为，所以，所以，所以，取等号时，所以最大距离为，故错误；③设任意一点P（x，y），所以围成的矩形面积为xy，因为，所以，所以，取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确；④由②可知，所以四叶草包含在圆的内部，因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确.故选:C.6.曲线C为：到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹.以下结论正确的个数为（）(1)曲线C一定经过原点；(2)曲线C关于x轴、y轴对称；(3)△的面积不大于8；(4)曲线C在一个面积为64的矩形范围内.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】设点的坐标为，由题意可得，对于命题(1)，将原点坐标代入方程得，所以命题(1)错误；对于命题(2)，点关于x轴、y轴的对称点分别为，，∵∵则点,都在曲线C上，所以，曲线C关于x轴、y轴对称，命题(2)正确；对于命题(3)，设，，,则，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，则为锐角，所以，，则△的面积为命题(3)正确；对于命题(4)，，可得，得，解得，由（3）知，，得，曲线在一个面积为的矩形内，命题（4）正确.因此，正确的命题序号为（2）（3）（4）.故选C.7.双曲线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点，的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，下列说法中正确的有()①双纽线关于原点中心对称；②；③双纽线上满足的点P有两个；④的最大值为.A.①②B.①②④C.②③④D.①③【答案】B【解析】对①，设动点，由题可得的轨迹方程，把关于原点对称的点代入轨迹方程显然成立.故①正确；对②因为，故又，所以,即，故，②正确.对③，若，则在的中垂线即轴上.故此时，代入，可得,即,仅有一个.故③错误;对④,因为,故,即，因为,故.即,所以.又,当且仅当共线时取等号.故,即,解得.故④正确.故①②④正确.故选：B8.已知点,动点满足且,则点的轨迹方程为.【答案】【解析】由已知得,,即由余弦定理得,,即整理得,故的轨迹是以为焦点的椭圆,其中,故所求轨迹方程为.9.设圆与两圆中的一个内切,另一个外切.求的圆心轨迹的方程.【答案】【解析】（1）设，，圆的半径为，则，的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线，，，，的圆心轨迹的方程为.10.已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆外的动点，满足，点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，，求点的轨迹的方程.【答案】【解析】方法一：设