(15)-5.4异方差问题的处理（1）：加权最小二乘法

计量经济学正如前节所述，异方差性虽然不破坏OLS的估计量的无偏性和一致性，却使它们不再是有效的，甚至即在大样本中不是渐近有效的。有效性的缺乏使得通常的假设检验程序变得不可信。因此，补救措施显然是需要的。一种方法是应用广义最小二乘法（GLS），即通过探索异方差的具体形式，变换原模型，使经过变换后的模型具有同方差性，然后再用OLS法进行估计，以降低异方差性的影响。GLS应用于异方差领域的具体形式为加权最小二乘法（WeightedLeastSquare，WLS）。一、加权最小二乘法为了叙述方便，下面以一元线性回归模型为例说明WLS的思路。按照OLS的基本原则进行参数估计，就是求出使残差平方和

最小的在同方差假定下，OLS把每个残差平方都同等的看待，都赋予相同的权数1。但是,当存在异方差时，y的条件方差越小，其样本值偏离均值的程度越小，其观测值越应受到重视，即方差越小，在确定回归线时的作用越大；反之因变量条件方差越大，其样本值偏离均值的程度越大，其观测值所起的作用应当越小。也就是说，在拟合存在异方差的模型的回归线时，对具有不同方差的残差应该区别对待。从样本的角度，对较小方差的残差给予较大的权数，对较大方差的残差给予较小的权数，从而使加权的残差平方和比其简单平方和能更好地反映不同样本点数据对残差平方和的影响。

21niie=å则加权的残差平方和为：

根据最小二乘原理，使加权的残差平方和最小，即：解得：通常将残差平方给与权数：

（5.19）（5.20）其中：这种求解参数估计式的方法为加权最小二乘法，这样估计出的参数称为加权最小二乘估计量（WLSE）。实际应用中，由于随机项的方差未知，故WLS是无法直接使用的。

（二）异方差形式已知情形下的WLS根据异方差的含义可知，异方差就是随机项ui在解释变量x取不同数值时方差不同。这就意味着异方差是解释变量xi的函数，这种函数形式如果已知，比如：（5.21）这时用乘以的两边，得：记：则：这说明变换后的模型（5.21）的随机项具有了同方差性。这时就可以对（5.21）应用OLS。这种方法相当于令残差平方的权数

时的WLS。在多元模型中，若方差与m个解释变量有关，且异方差形式可写作：用去乘以原模型两端得：若记则可见，这种方法的思路实际上就是当确定了异方差的具体的形式时，将原模型加以适当的“变换”，使得“变换”后的模型消除或减轻异方差的影响，遵循的是广义最小二乘法（GeneralizedLeastSquares，GLS）的思路。WLS是广义最小二乘法在异方差条件下的具体应用。上述方法应用的关键，是已知异方差的具体形式。现以一元线性回归模型为例进一步说明。例如，设给定的模型为：（5.23）

假定异方差函数为：此时用xi的倒数去乘以原模型的两边得：这样转换后的模型具有同方差性。此时:对转换后的模型应用OLS，即可求得：于是，得到原模型的样本回归方程为：

(其中,)（5.24）（三）异方差函数未知情形下的WLS

在大多数情况下，异方差的确切形式并不明显。换句话说，我们不知道异方差的函数形式不过，我们可以模型化，并利用数据来估计这个模型，从而得到每个的估计值，记为。用取代进行WLS估计。这实际上遵循了可行的广义最小二乘法（FGLS）的思路应用中模型化异方差性的方法有多种，如利用戈里瑟检验或帕克检验得到的结果构造

或利用统计软件寻求最优权等。

例如，假定有多元线性回归模型：（5.29）设异方差函数为：考虑模型或（5.30）和平常一样，以OLS残差来代替（5.30）中观测不到的。即估计下式：（5.31）注意：我们只关心（5.31）的回归值简记为，则

对方程（5.29），同乘方程两端，新的误差项是条件同方差的，可以对变换后的模型运行OLS。这种WLS实际上是异方差条件下的FGLS。上述步骤概括如下：（1）将做回归并得到（2）做的回归并得到拟合值（3）计算（4）以同乘方程两端进行变换，然后运行WLS。

另一种估计的有用方法是，用OLS的拟合值及其平方取代(5.31)中的自变量。即第（2）步中改为由的回归中得到拟合值然后与其它步骤一样求。

〔例5-6〕对例5-1中的异方差问题进行补救处理。由例5-2帕克检验中表5-5，应取

用对原模型进行变换，WLS结果如下：VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/X^1.53-702.5837110.0196-6.3859880.00001/X^0.530.0867920.00609314.245330.0000R-squared0.466129

Meandependentvar0.000236AdjustedR-squared0.447720

S.D.dependentvar8.27E-05S.E.ofregression6.15E-05

Akaikeinfocriterion-16.49427Sumsquaredresid1.10E-07

Schwarzcriterion-16.40175Loglikelihood257.6611

Durbin-Watsonstat1.211361由例5-3的戈里瑟检验结果表5-6，用对原模型进行变换，WLS结果如下：

DependentVariable:Y/X^1.8WhiteHeteroskedasticity-ConsistentStandardErrors&CovarianceVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/X^1.8-677.8267122.8219-5.5187780.00001/X^0.80.0848950.00715811.860260.0000R-squared0.194125

Meandependentvar1.59E-05AdjustedR-squared0.166337

S.D.dependentvar5.16E-06S.E.ofregression4.72E-06

Akaikeinfocriterion-21.62900Sumsquaredresid6.45E-10

Schwarzcriterion-21.53648Loglikelihood337.2494

Durbin-Watsonstat1.110784这两种处理方法下，尽管表面看来模型具有不同程度的改善，但通过怀特检验（过程略）验证，会发现该模型仍然存在异方差问题。意味着利用戈里瑟检验、帕克检验而得到的的估计存在问题。进行FGLS，结果如下

FGLS下的EViews输出结果DependentVariable:Y/FI^0.5WhiteHeteroskedasticity-ConsistentStandardErrors&CovarianceVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

1/FI^0.5-757.875492.48450-8.1946200.0000X/FI^0.50.0903950.00512717.629510.0000R-squared0.759584

Meandependentvar6.426213AdjustedR-squared0.751294

S.D.dependentvar2.781565S.E.ofregression1.387179

Akaikeinfocriterion3.554762Sumsquaredresid55.80368

Schwarzcriterion3.647277Loglikelihood-53.09881

Durbin-Watsonstat1.436400怀特检验结果如下：WhiteHeteroskedasticityTest:F-statistic1.913798

Probability