最短路径问题课件

八年级 上册113.4

课题学习 最短路径问题看图思考：

为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了……禁止践踏爱护草坪爱护草坪两点之间，线段最短2复习回顾如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？依据：两点之间，线段最短。3复习回顾如图，点

A

是直线

l

外一点，点

A

到直线的所有线路中，最短的是？依据：垂线段最短。4将军饮马问题：两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学

者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。5P两点之间线段最短.根据：BA例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？将军饮马：(一)两点在一条直线两侧最短路线：A---P---

B.6B河(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，

途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？A7新知探究追问1

这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A

，

B

两地抽象为两个点，将河l

抽象为一条直线．B8·A·l新知探究追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？如图，在直线l上找一点C，使AC+BC最短。BA9lC新知探究问题转化 如图，点A，B

在直线l

的同侧，点C

是直线上的一个动点，当点C

在l

的什么位置时，AC

与CB的和最小？B10·lA·新知探究如图，点

A

，

B

在直线

l

的同侧，点

C

是直线上的一个动点，当点C

在l的什么位置时，AC

与CB的和最小？B·lA·B′C作法：作点B

关于直线l的对称点B′；连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求11例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？两点在一条直线同侧12(二)一次轴对称：O13例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？M

草地.驻地AN

河边(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？14例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部15ABA/B/PQ最短路线：A

P

Q

Bl16MN例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，弹击中黑球？（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部17..A18A'BB'.CDMON例4变式：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点在一条河两侧例5.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使将军从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）B19A(五)造桥选址问题思维分析B201、如图假定任选位置造桥AＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ问题解决AA1MN如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于

Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.Ｎ１B21Ｍ１理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１

转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN问题延伸如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）22思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．23思维方法24沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1

分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径

AM+MN+NP+PQ+QB转化为

AA1+A1B1+BB1.将军饮马的实质：（1）求最短路线问题------25通过几何变换找对称图形。把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，可利用“两点之间线段最短” 加以解决。“选桥选址问题”移动桥宽后还是可利用“两点之间线段最短”加以解决。结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When

You

Do

Your

Best,

Failure

Is

Great,

So

Don'T