浙教版数学九年级上册3.3-垂径定理(二)

3.3垂径定理（二）1.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点M，有下列结论：①CM＝DM；②AC＝AD；③eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))；④∠C＝∠D.其中成立的有(D)(第1题)A.1个B.2个C.3个D.4个2.给出下列命题：①垂直于弦的直径平分这条弦.②平分弦的直径也平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线必平分弦所对的弧.④平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦.其中正确的命题有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个3.一条弦把一条直径分成2cm和6cm长的两条线段，如果弦和直径相交成30°角，那么圆心到这条弦的距离是(A)A.1cmB.eq\r(3)cmC.4cmD.6cm(第4题)4.如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是eq\r(5).5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，求⊙O的半径R.(第5题)(第5题解)【解】如解图，连结OA，OB，OC，OA交BC于点D.∵OA＝OB＝OC，AB＝AC，∴△OAB≌△OAC(SSS).∴∠OAB＝∠OAC.∴OA⊥BC.∴BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝12.在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝5.在Rt△BOD中，OB2＝BD2＋OD2，即R2＝122＋(R－5)2，解得R＝16.9.6.如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点分别为M，N.且AB＝CD，求证：∠AMN＝∠CNM.(第6题)(第6题解)【解】如解图，连结OM，ON.∵M，N分别为AB，CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠AMO＝∠CNO＝90°.∵AB＝CD，∴OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM.∴∠AMO－∠OMN＝∠CNO－∠ONM，即∠AMN＝∠CNM.7.如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80m处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50m为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18km/h.(第7题)(1)求噪声对学校A的影响最大时卡车P与学校A的距离.(2)求卡车P沿道路ON方向行驶时给学校A带来噪声影响的时间.【解】(1)如解图，过点A作AD⊥ON于点D.∵∠NOM＝30°，AO＝80m，∴AD＝40m，即噪声对学校A的影响最大时卡车P与学校A的距离为40m.(第7题解)(2)如解图，以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，连结AB，则AB＝50m.∵AD⊥ON，AD＝40m，∴BC＝2BD＝2×eq\r(502－402)＝60(m).∵18km/h＝5m/s，∴卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为60÷5＝12(s).8.如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为(C)(第8题)A.(4＋eq\r(5))cmB.9cmC.4eq\r(,5)cmD.6eq\r(,2)cm【解】设OD＝x(cm)，则CD＝2x(cm).连结OC，OF.∵小正方形的面积为16cm2，∴DE＝EF＝4cm.在Rt△COD和Rt△OEF中，OC2＝OD2＋CD2＝5x2，OF2＝OE2＋EF2＝(x＋4)2＋42，∴5x2＝(x＋4)2＋42，解得x1＝4，x2＝－2(不合题意，舍去).∴OC＝eq\r(5x2)＝4eq\r(,5)(cm).9.如图，M是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，过点M的弦MN交AB于点C.已知⊙O的半径为4cm，MN＝4eq\r(3)cm.则∠ACM的度数为60°.(第9题)【解】连结OM，过点O作OD⊥MN于点D.∵OD⊥MN，∴MD＝eq\f(1,2)MN＝2eq\r(3)cm.在Rt△ODM中，∵OM＝4cm，MD＝2eq\r(3)cm，∴OD＝eq\r(OM2－MD2)＝2cm，∴∠OMD＝30°.∵M是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∴OM⊥AB.∴∠ACM＝90°－∠OMD＝60°.10.已知⊙O的半径为2，弦BC＝2eq\r(3)，A是⊙O上一点，且eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3.【解】∵⊙O的半径为2，弦BC＝2eq\r(3)，A是⊙O上一点，且eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴AD⊥BC，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3).分两种情况讨论：①如解图①所示，连结OB.在Rt△OBD中，BD2＋OD2＝OB2，即(eq\r(3))2＋OD2＝22，解得OD＝1.∴AD＝OA－OD＝2－1＝1.(第10题解)②如解图②所示，连结OB.同理于①，得AD＝OA＋OD＝2＋1＝3.(第11题)11.一拱形桥所在弧的水上部分如图所示，∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝5m.一艘6m宽的船装载着一集装箱，已知箱顶宽3.2m，且高出水面AB2m，问：此船能过桥洞吗？请说明理由.(第11题解)【解】能.理由如下：如解图，设点C为拱顶，点E，F在圆弧上，EF＝3.2m，且EF∥AB，连结OC交AB于点D，交EF于点G，连结OA，OB，OF，则OC⊥AB，OC⊥EF，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝60°，∴DO＝eq\f(1,2)BO＝2.5m，BD＝eq\r(BO2－DO2)＝eq\f(5,2)eq\r(3)m.∴AB＝2BD＝5eq\r(3)m>6m.∵FG＝1.6m，OF＝5m，∴OG＝eq\r(OF2－FG2)≈4.7m.∴DG＝OG－OD≈2.2m>2m.∴箱顶在EF下方，∴此船能过桥洞.12.如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，且点E，F在点O的两侧.若点P为EF上任意一点，求PA＋PC的最小值.(第12题)【解】如解图，连结AD，过点D作DH⊥AB于点H.∵MN是直径，CD⊥MN，∴点C，D关于MN对称，∴PC＝PD.(第12题解)∴当P为AD与MN的交点时，PA＋PC的值最小.连结AO，CO.∵AB⊥MN于点E，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝4.又∵AO＝5，∴EO＝eq\r(AO2－AE2)＝