教考衔接9概率模型辨识与应用

教考衔接9概率模型的辨识与应用⁠

典题展示

写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？（1）X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数；（2）X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和；（3）有一批产品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件数为X3；（4）有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4（N－M≥n＞0）.⁠

解法探究

二项分布与超几何分布模型的辨识一直是学生的难点，在有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.在概率问题中，高中阶段常涉及四种概率模型，下面就这四种模型予以辨识说明.类型1

相互独立事件概率模型【例1】

甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75.（1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；

（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率.

｜反思感悟｜相互独立事件概率模型的特征（1）实际问题中所涉及的若干事件中每一个是否发生互不影响；（2）因A1，A2，…，An相互独立，则满足P（A1·A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）；（3）求解相互独立事件的概率问题时，常涉及互斥、对立事件的概率求值.类型2

二项分布概率模型【例2】

国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我买单”促销活动，顾客消费满300元（含300元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，若摸出2个红球，1个白球，则享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折.（1）某顾客恰好消费300元，并选择方案一抽奖，求他实付金额的分布列和期望；

故X的分布列为

X0100200300P（2）若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合适.

故η的分布列为η0250375500P

｜反思感悟｜二项分布概率模型的特征（1）在每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生；（2）各次试验中的事件是相互独立的；（3）在每一次试验中，事件发生的概率与不发生的概率都保持不变.类型3

超几何分布概率模型【例3】

已知条件①采用无放回抽取，条件②采用有放回抽取，在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上并作答，选两个条件作答的按条件①的解答计分.问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若

⁠，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

X0123P

X0123P

｜反思感悟｜超几何分布概率模型的特征（1）实际问题所描述的事件只包含两个结果（发生与不发生），每进行一次上述抽取都不是原来的重复（再次抽取时，都与上次条件发生了变化）；（2）每次抽取中同一事件发生的概率都不同；（3）实际问题中随机变量为抽到某类个体的个数；（4）该问题属于不放回抽取问题.类型4

正态分布概率模型【例4】

某企业的产品p正常生产时，产品p的尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（80，0.25），从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表：产品尺寸/mm[76，78.5]（78.5，79]（79，79.5]（79.5，80.5]件数4272780产品尺寸/mm（80.5，81]（81，81.5]（81.5，83]件数36206根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ]以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常.产品尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ]以内为正品，以外为次品.（1）判断生产线是否正常工作，并说明理由；解

（1）因为产品p的尺寸X服从正态分布N（80，0.25），所以X的平均值μ＝80，标准差σ＝0.5，所以μ－3σ＝78.5，μ＋3σ＝81.5，由表中数据可知产品尺寸在（78.5，81.5]以外的零件数为10，所以生产线没有正常工作.（2）用频率估计概率，若随机从生产线上取3件产品进行检测，正品检测费为10元/件，次品检测费为15元/件，记这3件产品检测费为Z元，求Z的数学期望及方差.

｜反思感悟｜正态分布概率模型的特征（1）一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似地服从正态分布.正态分布是最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布.如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等；（2）解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率.在此过程中用到转化和数形结合思想.⁠

高考还可这样考1.（2023·顺德一模）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图所示，并且前四组频数成等差数列.（1）求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；

（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？（精确到小数点后2位）

（3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.

∴X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343∵X～B（3，0.7），∴E（X）＝np＝2.1.2.为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，他们的竞赛成绩分布如下表所示：成绩/分[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数242240284

①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居