新北师大版八年级数学下册导学案

.PAGE.第一章三角形的证明本章总体设计介绍本章是八年级上册第七章"平行线的证明"的继续，在"平等线的证明〞一章中，我们给出了8条根本领实，并从其中的几条根本领实出发证明了有关平行线的一些结论.运用这些根本领实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论.在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进展了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了根底.本章所证明的命题都和等腰三角形、直角三角形有关，主要包括：1.等腰三角形的性质和判定定理；2.直角三角形的性质定理和判定定理；3.线段的垂直平分线性质和判定定理；4.角平分线性质定理和判定定理。本章教学建议对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比拟中选择适当的方法。证明过程中注意提醒蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的根本要求，掌握规的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。1.等腰三角形〔一〕一、学生知识状况分析在八年级上册第七章"平行线的证明"，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些根本的证明方法和根本规，积累了一定的证明经历；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。二、教学任务分析本节将进一步回忆和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经历和认知根底，为此，本节可以让学生在回忆的根底上，自主地寻求命题的证明，为此，确定本节课的教学目标如下：1．知识目标：理解作为证明根底的几条公理的容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的根本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的根本步骤和书写格式。2．能力目标：经历"探索－发现－猜测－证明〞的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要开展，开展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；3．情感与价值目标启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．教学重、难点重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的根本要求和方法；难点：明确推理证明的根本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。三、教学过程分析学生课前准备：一等腰三角形纸片〔供上课折叠实验用〕；教师课前准备：制作好的几何画板课件.本节课设计了六个教学环节：第一环节：回忆旧知导出公理；第二环节：折纸活动探索新知；第三环节：明晰结论和证明过程；第四环节：随堂练习稳固新知；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。第一环节：回忆旧知导出公理活动容：提请学生回忆并整理已经学过的8条根本领实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等〔SAS〕；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等〔ASA〕；5.三边对应相等的两个三角形全等〔SSS〕；在此根底上回忆全等三角形的另一判别条件：1.〔推论〕两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等〔AAS〕，并要求学生利用前面所提到的公理进展证明；2.回忆全等三角形的性质。活动目的：经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回忆有关容，既是对前面学习容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证明这个推论，可以让学生熟悉证明的根本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。活动效果与考前须知：由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能局部学生的表述未必严谨、规，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出和求证，并规地写出证明过程。具体证明如下：：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E〔〕，又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°〔三角形角和等于180°〕，∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F〔等量代换〕。又BC=EF〔〕，∴△ABC≌△DEF〔ASA〕。第二环节：折纸活动探索新知活动容：在提问："等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？〞的根底上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先单独折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进展交流，互相弥补缺乏。→→→→活动目的：通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和开展，熟悉证明的根本步骤和书写格式。活动效果与考前须知：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能局部学生得到的定理并不全面，在学生小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到"三线合一〞。第三环节：明晰结论和证明过程活动容：在学生小组合作的根底上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。〔1〕等腰三角形的两个底角相等；〔2〕等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合活动目的：和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规，起到一种引领作用；活动2，那么是前面命题的直接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的稳固练习。第四环节：随堂练习稳固新知活动容：学生自主完成P4第2题：如图〔图略〕,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，〔1〕求证：△ABD是等腰三角形；〔2〕求∠BAD的度数。活动目的：稳固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形"等边对等角〞的用法。第五环节：课堂小结活动容：让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。活动目的：形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。活动效果与考前须知：教师注意对学生的感想进展适当的引导，并在学生交流的根底上，明晰局部收获供学生共享，如：1、具体有关性质定理；2、通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据．3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性．第六环节：布置作业P5习题1,2.四、教学反思本节关注学生已有活动经历的回忆过程，关注了"探索－发现－猜测－证明〞的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果。当然，在具体活动中，如何在学生活动与规表达之间形成一个恰当的平衡，具体各局部时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进展适度的调整。1.等腰三角形〔二〕一、学生知识状况分析在八年级上册第七章"平行线的证明"，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些根本的证明方法和根本规，积累了一定的证明经历；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。二、教学任务分析本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，探索等边三角形的性质。为此，确定本节课的教学目标如下：1．知识目标：①探索——发现——猜测——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的根本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2．能力目标：①经历"探索－发现－猜测－证明〞的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要开展，开展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；②在命题的变式中，开展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；③在图形的观察中，提醒等腰三角形的本质：对称性，开展学生的几何直觉；3．情感与价值观要求①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．4．教学重、难点重点：经历"探索——发现一一猜测——证明〞的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究；第三环节：经典例题变式练习；第四环节：拓展延伸、探索等边三角形性质；第五环节：随堂练习及时稳固；第六环节：探讨收获课时小结。第一环节：提出问题，引入新课活动容：在回忆上节课等腰三角形性质的根底上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗"你能证明你的结论吗"活动目的：回忆性质，既为后续研究判定提供了根底；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。第二环节：自主探究活动容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。活动目的：让学生再次经历"探索——发现——猜测——证明〞的过程，进一步体会证明的必要性，并进展证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。活动效果与考前须知：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的根底上探究出：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．并对这些命题给予多样的证明。如对于"等腰三角形两底角的平分线相等〞，学生得到了下面的证明方法：：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．求证：BD=CE．证法1：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．∵∠1=EQ\F(1,2)∠ABC，∠2=EQ\F(1,2)∠ABC，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)证法2：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠3=∠4．在△ABC和△ACE中，∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经历尚显缺乏，因此，教学中教师应注意对证明规提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中局部证明过程，借助课件展示局部证明过程；可能局部学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导。第三环节：经典例题变式练习活动容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的根底上，研究课本"议一议〞：在课本图1—4的等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=EQEQ\F(1,3)∠ABC，∠ACE=EQ\F(1,4)∠ACB呢"由此，你能得到一个什么结论"(2)如果AD=EQ\F(1,2)AC，AE=EQ\F(1,2)AB，那么BD=CE吗"如果AD=EQEQ\F(1,3)AC，AE=EQEQ\F(1,3)AB呢"由此你得到什么结论"活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，开展学生学习的自主性。活动考前须知与效果：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经历比拟少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢"从而引出"议一议〞。由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的根底上，让学生证明其中局部问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中局部问题，而要求局部学优生解决所有的问题，甚至要求这局部学优生思考"还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的〞。在学生解决问题的根底上，教师还应注意提醒蕴含其中的思想方法。下面是学生的课堂表现：[生]在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=EQ\F(1,3)∠ABC，那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似．证明如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．又∵∠ABD=EQ\F(1,3)∠ABC,∴∠ACE=EQ\F(1,3)∠ACB,∴∠ABD=∠ACE．在△BDC和△CEB中，∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC,∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)[生]如果在△ABC中，AB=AC,∠ABD=EQ\F(1,4)∠ABC，∠ACE=∠EQ\F(1,4)∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE．由此我们可以发现：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠EQ\F(1,n)∠ABC，∠ACE=EQ\F(1,n)∠ACB，就一定有BD=CE成立．[生]也可以更直接地说：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE．[师]这两位同学都由特殊结论猜测出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来．(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言．[生]在△ABC中，AB=AC，如果AD=EQ\F(1,2)AC，AE=EQ\F(1,2)AB，那么BD=CE；如果AD=EQ\F(1,3)AC，AE=EQ\F(1,3)AB，那么BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论：在△ABC中，AB=AC，AD=EQ\F(1,n)AC，AE=EQ\F(1,n)AB，那么BD=CE．证明如下：∵AB=AC．又∵AD=EQ\F(1,n)AC，AE=EQ\F(1,n)AB，∴AD=AE．在△ADB和△AEC中，AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ADB≌△AEC(SAS)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．[生]一般结论也可更简洁地表达为：在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．[师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果．例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质活动容：提请学生在上面等要三角形性质定理的根底上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个角都相等并且每个角都等于60°.：如图，ΔABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C〔等量代换〕．又∵∠A+∠B+∠C＝180°〔三角形角和定理〕，∴∠A=∠B=∠C＝60°．活动效果：学生一般都能得到这些定理的证明，能规地写出对于"等边三角形三个角都相等并且每个角都等于60°〞的证明过程：第五环节：随堂练习及时稳固活动容：在探索得到了等边三角形的性质的根底上，让学生独立完成以下练习。如图,△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD活动意图：在稳固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的根本要求和步骤，规证明的书写格式。第六环节：探讨收获课时小结本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，四、教学反思本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进展适度的调整，因为学生先前这样的经历较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务，可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些容，将局部容延伸到课外，当然，也可以设计为两个课时，将研究过程进一步展开。1.等腰三角形〔三〕学生知识状况分析本节课是等腰三角形的第三课时，通过前面两课时的学习，学生已经掌握了等腰三角形的相关性质，并知道了用综合法证明命题的根本要求和步骤。为学习等腰三角形的判定定理奠定了知识和方法的根底。教学任务分析本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的根底上，引导学生反过来思考猜测新的命题，并进展证明。这样可以开展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的根本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一。因此，本节课的教学目标定为：1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进展简单的证明．3.了解反证法的根本证明思路，并能简单应用。4.培养学生的逆向思维能力。教学过程分析本节课的教学过程设计了以下六个环节：复习引入--逆向思考，定理证明稳固练习适时提问导出反证法拓展延伸课堂小结。第一环节：复习引入活动过程：通过问题串回忆等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。问题1.等腰三角形性质定理的容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？活动意图：设计是问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。学生独立思考是对上节课容有效地检测手段。第二环节：逆向思考，定理证明活动过程与效果：教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以"反过来〞思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．例如"等边对等角〞，反过来成立吗"也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗"[生]如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了．[师]你是如何想到的"[生]由前面定理的证明获得启发，比方作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．[师]很好．同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论．[生]我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等．因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的．后两种方法是可行的．[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评)(证明略)[师]我们用"反过来〞思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单表达为：等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．第三环节：稳固练习活动过程与效果：将书中的随堂练习提前到此，是为了及时稳固判定定理。引导学生进展分析。：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2=∠C(两直线平行，错角相等)．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴AB=AC(等角对等边)．第四环节：适时提问导出反证法活动过程与效果：我们类比归纳获得一个数学结论，"反过来〞思考问题也获得了一个数学结论．如果否认命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗"我们一起来"想一想〞：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗"如果成立，你能证明它吗"有学生提出："我认为这个结论是成立的．因为我画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等．但要像证明"等角对等边〞那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否认的．〞确实如此．像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢"我们来看一位同学的想法：如图，在△ABC中，∠B≠∠C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等．假设AB=AC，那么根据"等边对等角〞定理可得∠C=∠B，但条件是∠B≠∠C．"∠C=∠B〞与条件"∠B≠∠C〞相矛盾，因此AB≠AC你能理解他的推理过程吗"再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB∠A+∠B+∠C=180°,"∠A+∠B=180°〞与"∠A+∠B+∠C=180°〞相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢"引出反证法。都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．接着用"反过来〞思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理"等角对等边〞，最后结合实例了解了反证法的含义．第五环节：拓展延伸活动过程与效果：在一节课完毕之际，为培养学生思维的综合性、灵活性特安排了2个练习。一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思考问题的能力。学生在独立思考的根底上再小组交流。NMCBAD1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠NMCBAD2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数"第六环节：课堂小结〔1〕本节课学习了哪些容？〔2〕等腰三角形的判定方法有哪几种？〔3〕结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．〔4〕举例谈谈用反证法说理的根本思路1.等腰三角形〔四〕一、学生知识状况分析在前两节课，学生已经经历了独立探索发现定理的过程，并能根本规地证明相关命题，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识根底和活动经历根底。二、教学任务分析本节课，学生将探究等边三角形判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，应该说，这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此，本节课可以更多地让学生自主探索。但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意提醒其中的分类思想；第2个定理结论比拟特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论，因此，教科书中设计了一个学生活动，在活动的根底上"无意〞中发现了其特殊的结论，这实际上也是一种数学发现的方法，因此也应注意让学生体会。为此，确定本节课的教学目标：1．知识目标理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。2．能力目标①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，开展抽象思维．②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，开展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。3．情感与价值观要求①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克制困难的意志，建立自信心.教学重点①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.4．教学难点①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.②引导学生全面、周到地思考问题.三、教学过程分析学具准备：两个带30度角的三角板。本节课设计了六个教学环节：第二环节：自主探索；第三环节：实际操作提出问题；第四环节：变式训练稳固新知；第五环节：畅谈收获课时小结；第六环节：布置作业。第一环节：提问问题，引入新课活动容：教师回忆前面等腰三角形的性质和判定定理的根底上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。活动目的：开门见山，引入新课，同时回忆，也为后续探索提供了铺垫。活动效果：在教师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进展，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这是教师可以适时提出问题：如果一个三角形是等边三角形的根底上，如何确定它是等边三角形呢？下面是实际教学中的局部师生活动实况：[生]等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．[生]等边三角形的三个角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了．(此时，局部同学同意此生的看法，局部同学不同意此生的看法，引起剧烈地争论．教师可让同学代表充分发表自己的看法．)[生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个角都是60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中"是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形〞，我觉得他给的条件太多，浪费![师]给三个角都是60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢"下面同学们可在小组交流自己的看法．(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗"你能证明你的结论吗"把你的证明思路与同伴交流．(教师应给学生自主探索、思考的时间)第二环节：自主探索活动容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：性质判定的条件等腰三角形〔含等边三角形〕等边对等角等角对等边"三线合一〞即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合有一角是60°等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形活动目的：经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。活动考前须知与效果：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；底角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗"从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。在学生得出这些结论的根底上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择局部命题，给与严格的证明，由于"有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形〞的证明需要分类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路．并要求学生思考证明中的考前须知，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、周到．第三环节：实际操作提出问题活动容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形"能拼出一个等边三角形吗"在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．活动目的：让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．活动考前须知与效果：学生一般可以得出下面两种图形：其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD=EQ\F(1,2)AB，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。具体的说明过程可以如下：方法1：因为△ABD≌ACD，所以AB=AC．又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．方法2：图(1)中，∠B=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论。然后在学生得到该结论的根底上，再证明该定理。定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=EQ\F(1,2)AB．分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如下图)．∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC=EQ\F(1,2)BD=EQ\F(1,2)AB．第四环节：变式训练稳固新知活动1：直接提请学生思考刚刚命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗"如果是，请你证明它．在师生分析的根底上，给出证明：：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=EQ\F(1,2)AB．求证：∠BAC=30°证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=EQ\F(1,2)BD．又∵BC=EQ\F(1,2)AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．考前须知：该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？活动2：呈现例题，在师生分析的根底上，运用所学的新定理解答例题。[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长.分析：观察图形可以发现在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC=×15°=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD．解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∴CD=EQ\F(1,2)AC=EQ\F(1,2)×2a=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．活动目的：在例题求解中稳固新知。第五环节：畅谈收获课时小结让学生对课堂学习进展小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。第六环节：布置作业四、教学反思本节课，难点在于探究两个定理："在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°〞和"直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半〞，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常灵活，方法多样，取得较好的效果。2．直角三角形〔一〕一、学情分析直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进展了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，教科书努力将证明的思路展现出来．例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进展，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度，因此教科书将其两种证明方法放在"读一读’’中，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的．二、教学目标1．知识目标：〔1〕掌握直角三角形的性质定理〔勾股定理〕及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。〔2〕结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．2．能力目标：〔1〕进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，开展抽象思维．〔2〕进一步掌握推理证明的方法，开展演绎推理的能力．3．教学重点、难点重点①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．难点勾股定理及其逆定理的证明方法．三、教学过程本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：讲述新课；第三环节：议一议；第四环节：想一想；第五环节：．随堂练习；第六环节：课时小结；第七环节：课后作业。1：创设情境，引入新课通过问题1，让学生在解决问题的同时，回忆直角三角形的一般性质。[问题1]一个直角三角形房梁如下图，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少"B1C1呢"解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm，∴BC＝EQ\F(1,2)AB＝EQ\F(1,2)×10＝5cm．∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90°又∵∠A+∠B＝90°∴∠BCB1＝∠A＝30°在Rt△ACB1中，BB1＝EQ\F(1,2)BC＝EQ\F(1,2)×5＝EQ\F(5,2)cm＝2．5cm．∴AB1＝AB＝BB1＝10—2.5＝7.5(cm)．∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30°∴B1C1＝EQ\F(1,2)AB1＝EQ\F(1,2)×7.5＝3.75(cm)．解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的"30°角的直角三角形的性质〞．由此提问："一般的直角三角形具有什么样的性质呢"〞从而引入勾股定理及其证明。教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗"请同学们翻开课本P18，阅读"读一读〞，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法．2：讲述新课阅读完毕后，针对"读一读〞中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．〔1〕．勾股定理及其逆定理的证明．：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求证：a2+b2＝c2．证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，那么△ABC≌△BED．∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．∴四边形ACDE是直角梯形．∴S梯形ACDE＝EQ\F(1,2)(a+b)(a+b)＝EQ\F(1,2)(a+b)2．∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，AB＝BE．∴S△ABE＝EQ\F(1,2)c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴EQ\F(1,2)(a+b)2＝EQ\F(1,2)c2+EQ\F(1,2)ab+EQ\F(1,2)ab,即EQ\F(1,2)a2+ab+EQ\F(1,2)b2＝EQ\F(1,2)c2+ab,∴a2+b2＝c2教师用多媒体显示勾股定理容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调．具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出"这个三角形是直角三角形〞的结论．你能证明此结论吗"师生共同来完成．：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2求证：△ABC是直角三角形．分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)，那么A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)．∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′∴BC2＝B′C′2∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′〔SSS〕∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．因此，△ABC是直角三角形．总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．〔2〕．互逆命题和互逆定理．观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系"在前面的学习中还有类似的命题吗"通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．这样的情况，在前面也曾遇到过．例如"两直线平行，错角相等〞，交换条件和结论，就得到"错角相等，两直线平行〞．又如"在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半〞．交换此定理的条件和结论就可得"在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°〞。3：议一议观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进展，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出"如果……；那么……〞的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。活动中，教师应注意给予适度的引导，学生假设出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗"与同伴交流．不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．再来看"议一议〞中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个那么为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢"在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．4：想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．请学生写出命题"如果两个有理数相等，那么它们的平方相等〞的逆命题吗"它们都是真命题吗？从而引导学生思考：原命题是真命题吗"逆命题一定是真命题吗"并通过具体的实例说明。如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理．能举例说出我们已学过的互逆定理"如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，"两直线平行，错角相等〞与"错角相等，两直线平行〞．"全等三角形对应边相等〞和"三边对应相等的三角形全等〞、"等边对等角〞和"等角对等边〞等．5：随堂练习说出以下命题的逆命题，并判断每对命题的真假;(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，旁角互补；(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0[分析]互逆命题和互逆定理的概念，学生承受起来应不会有什么困难，尤其是对以"如果……那么……〞形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，表达其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．(2)同旁角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为正．(3)如果a＝0，6＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．6：课时小结这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步开展了演绎推理能力．7：课后作业习题1．5第1、2、3、4题四、教学反思学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，局部学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导。使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距。所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.2．直角三角形〔二〕一、学情分析学生在学习直角三角形全等判定定理"HL〞之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一阶段的学习过程中接触到了证明三角形全等的推论，在本节课要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题还是一个较高的要求。二、教学任务分析本节课是三角形全等的最后一局部容，也是很重要的一局部容，凸显直角三角形的特殊性质。在探索证明直角三角形全等判定定理"HL〞的同时，进一步稳固命题的相关知识也是本节课的任务之一。因此本节课的教学目标定位为：1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的"HL〞的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用"HL’’定理解决实际问题2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，开展演绎推理能力三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习提问；第二环节：引入新课；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业。1：复习提问1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出"等边对等角〞。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明"等边对等角〞．要求学生完成，一位学生的过程如下：：在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，∴∠ADB=∠ADC=90°又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴∠B=∠C〔全等三角形的对应角相等〕在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于"在证明△ABD≌△ACD时，用了"两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等〞．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如下图在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等)〞．也有学生认同上述的证明。教师顺水推舟，询问能否证明："在两个直角三角形中，直角所对的边即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．〞，从而引入新课。2：引入新课〔1〕．"HL〞定理．由师生共析完成：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′证明：在Rt△ABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)．又∵在Rt△A'B'C'中，A'C'=A'C'=A'B'2一B'C'2(勾股定理)．AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SSS)．教师用多媒体演示：定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用"斜边、直角边〞或"HL〞表示．从而肯定了第一位同学通过作底边的高证明两个三角形全等，从而得到"等边对等角〞的证法是正确的．练习：判断以下命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．对于〔1〕、〔2〕、〔3〕一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了问题〔4〕，学生感觉是真命题，一时有无法直接利用的定理支持，教师引导学生证明．：R△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线且BD—B'D'(如图)．求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C'(HL定理)．CD=C'D'．又∵AC=2CD，A'C'=2C'D'，∴AC=A'C'．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∵BC=B'C'，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，∴Rt△ABC≌CORt△A'B'C(SAS)．通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结。3：做一做问题你能用三角尺平分一个角吗"请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组交流，用自己的语言清楚表达自己的想法．〔设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。〕4：议一议如图，∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件"把它们分别写出来．这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的根底上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．(教师一定要提供时间和空间，让同学们认真思考，勇于向困难提出挑战)5：例题学习如图，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．分析：要证△ABC≌△A'B'C'，由中找到条件：一组边AC=A'C'，一组角∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求么∠B=∠B'，这样就有AAS；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS．……注意到题目中，通有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证的Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A'就可行．证明：∵CD、C'D'分别是△ABC△A'B'C'的高()，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'()，CD=C'D'()，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)．∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'(已证)，AC=A'C'()，∠ACB=∠A'C'B'()，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．6：课时小结本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且开展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广阔．7：课后作业习题1．6第3、4、5题四、教学反思本节HL定理的证明学生掌握得比拟好，定理的应用方面尤其是"议一议〞中的该题灵活性较强，给教师和学生发挥的余地较大，该题是一个开放题，结论和方法并不惟一，所以学生积极性非常高，作为教师要充分利用好这个资源，可以到达一题多解，举一反三的效果。3．线段的垂直平分线(一)一、学生知识状况分析学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习"生活中的轴对称"中学生已经有了一定的根底。二、教学任务分析在七年级学生已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，本节课将进一步深入探索线段垂直平分线的性质和判定。同时，渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只需在图形上任取一点作为代表。本节课目标位：1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果教学重点、难点重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：性质探索与证明；第三环节：逆向思维，探索判定；第四环节：稳固应用；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。第一环节：创设情境，引入新课教师用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置"其中"到两个仓库的距离相等〞，要强调这几个字在题中有很重要的作用．线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在"A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等〞利用此性质就能完成．进一步提问："你能用公理或学过的定理证明这一结论吗"〞第二环节：性质探索与证明教师鼓励学生思考，想方法来解决此问题。通过讨论和思考，引导学生分析并写出、求证的容。：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)．；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．教师用多媒体完整演示证明过程．第三环节：逆向思维，探索判定你能写出上面这个定理的逆命题吗"它是真命题吗"这个命题不是"如果……那么……〞的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成"如果……那么……〞的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。原命题的条件是"有一个点是线段垂直平分线上的点〞．结论是"这个点到线段两个端点的距离相等〞．此时，逆命题就很容易写出来．"如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．〞写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，那么需证明它；如果假，那么需用反例说明．引导学生分析证明过程，有如下四种证法：证法一：：线段AB，点P是平面一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证明：过点P作线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二：取AB的中点C，过PC作直线．∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB∴P点在AB的垂直平分线上．证法三：过P点作∠APB的角平分线．∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上．证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴P在AB的垂直平分线上．从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．第四环节：稳固应用在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进展总结：〔1〕线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。〔2〕到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上．因此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。例题：：如图1-18，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC。．证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上〔到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上〕.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线〔两点确定一条直线〕.学生是第一次证明一条直线是线段的垂直平分线，因此教师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。第五环节：随堂练习课本P23；习题1.7：第1、2题第六环节：课堂小结通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？第七环节：课后作业习题l.7第3、4题四、教学反思在这一节中，我们作为教师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜测，然后再进展证明，要求学生掌握证明的根本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透．3．线段的垂直平分线(二)一、学生知识状况分析通过对前面相关容的学习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经历并掌握了必要的方法。但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解．二、教学任务分析在上一节课，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，本节课的主要任务是性质和判定的应用。因此本节课的目标为：1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点2.经历猜测、探索，能够作出符合条件的三角形．3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，开展实践能力和创新意识．4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．教学重点、难点重点：①能够证明与线段垂直平分线相关的结论．②底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．难点：证明三线共点。三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：例题解析；第三环节：引申拓展；第四环节：动手操作；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结；第五环节：课后作业。1：情景引入活动容：尺规作图作三条边的垂直平分线。活动目的：让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性。活动过程：教师提问："[利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么"(教师可用多媒体演示作图过程)〞"三角形三边的垂直平分线交于一点．〞、"这一点到三角形三个顶点的距离相等．〞等都是学生可以发现的直观性质。下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论"与同伴交流．教师质疑："这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进展推理证明，这样的发现才更有意义．〞这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．上述活动中，教师要注意多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性。2：例题解析〔1〕教师引导学生分析，寻找证明方法。我们要从理论上证明这个结论，也就是证明"三线共点〞，但这是我们没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示．通过演示和启发，引导学生认同："两直线必交于一点，那么要想证明‘"三线共点’，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．〞虽然我们已找到证明"三线共点〞的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢"师生共析，完成证明〔2〕讨论完毕后，学生书写证明过程。教师点评，注意几何符号语言的规性。：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP．求证：P点在AC的垂直平分线上．证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．同理PB=PC．∴PA=PC．∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．进一步设问："从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论"〞〔交点P到三角形三个顶点的距离相等．〕〔3〕多媒体演示我们得出的结论：定理三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等3.引申拓展(1)三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗"如果能，能作几个"所作出的三角形都全等吗"(2)等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗"如果能，能作几个"所作出的三角形都全等吗"(3)等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗"能作几个"学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。由学生思考可得：(1)三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如以下图：：三角形的一条边a和这边上的高h求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h从上图我们会发现，先作线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，连接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．〔见几何画板课件〕(2)如果等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为只要作等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．另外有学生补充："不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上挖去．〞〔3〕如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于底边的两侧．〔5〕例题学习底边及底边上的高，求作等腰三角形．：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1．作BC=a；2．作线段Bc的垂直平分线MN交BC于D点；3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；4．连接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形(如下图)．〔6〕做一做：课本第25页：教师引导学生分析作出草图，注意对学生作法表达的准确性加以更正。4.动手操作〔1〕例题：直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.学生先独立思考完成，然后交流：说出做法并解释作图的理由。〔2〕拓展：如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法，并与同伴交流.5.随堂练习:：习题1.8第1、2题。6.课时小结本节课通过推理证明了"到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点〞的结论，并能根据此结论"等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形〞．7.课后作业习题1．8第3、4题四、教学反思本节课证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出线段的垂直平分线．等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形，从尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。４．角平分线〔一〕一、学生知识状况分析本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的根底上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比拟容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。教学任务分析学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的根底上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个角平分线的性质．本节课的教学目标为：1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．2．进一步开展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．3.经历探索，猜测，证明使学生掌握研究解决问题的方法。教学难点：正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境温故知新；第二环节：探究新知；第三环节：稳固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业1：情境引入我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗"2：探究新知〔1〕引导学生证明性质定理请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进展交流．：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．〔2〕你能写出这个定理的逆命题吗"我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．引导学生分析结论后完整地表达出角平分线性质定理的逆命题：在一个角的部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．它是真命题吗"你能证明它吗"没有加"在角的部〞时，是假命题．(由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)证明如下：：在么AOB部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上．证明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。〔3〕用直尺和圆规画角的平方线及作图的依据讨论。3.稳固练习综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步开展学生的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的根底上，教师要给出书写示例题：在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.〔4〕课本例题学习4：随堂练习课本第29页1、2题。5：课堂小结这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线〔或证明是角的平分线〕时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质那么使问题迅速得到解决。6：课后作业习题1．9第1，2，3,4题．四、教学反思教学时，采用‘‘实验——猜测——验证〞的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学