浙江省杭州某中学高二数学上学期期中试题-理-新人教A版

杭十四中二〇一三学年第一学期中测试高二年级数学（理）学科试卷注意事项：1．考试时间：2013年11月12日10时20分至11时50分；2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；4．其中本卷满分100分，附加题20分，共120分．共4页；5．本试卷不得使用计算器。一、选择题：共10小题，每小题3分，计30分。1．直线eq\f(x,a2)－eq\f(y,b2)＝1在y轴上的截距是()A．|b| B．－b2C．b22．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A.eq\f(1,2)B．2＋eq\r(2)C．3＋eq\r(2)D．6（第2题图）3．直线(eq\r(3)－eq\r(2))x＋y＝3和直线x＋(eq\r(2)－eq\r(3))y＝2的位置关系是()A．相交但不垂直 B．垂直C．平行 D．重合4．两个平面α与β相交但不垂直，直线m在平面α内，则在平面β内()A．一定存在与直线m平行的直线B．一定不存在与直线m平行的直线C．一定存在与直线m垂直的直线D．不一定存在与直线m垂直的直线5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成几个部分（）ABCD6．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离7．已知长方体ABCD－A′B′C′D′，对角线AC′与平面A′BD相交于点G，则G是△A′BD的()A．垂心B．外心C．内心 D．重心（第7题图）8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积之比为()A.eq\f(1＋2π,2π) B.eq\f(1＋4π,4π)C.eq\f(1＋2π,π) D.eq\f(1＋4π,2π)9．设长方体的体对角线长度为4，过每一顶点有两条棱，与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A．8eq\r(2) B．8eq\r(3)C.eq\f(\r(3),9) D．16eq\r(3)（第10题图）10．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关二、填空题：共7小题，每小题4分，计28分。11．已知是两条异面直线，，那么与的位置关系为___________________12．圆x2+y2-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为______.13．已知点A(1,0)，B(2,0)．若动点M满足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\r(2)|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝0，则点M的轨迹方程为________．14．正四棱锥P—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为eq\r(6)，则此球的体积为________．15．如图，已知是平行四边形平面外一点，分别是上的点，且=.则直线________平面.（第15题图）16．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．17．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是________．(把你认为正确的结论都填上)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是eq\r(2)；④二面角C—B1D1－C1的正切值是eq\r(2)；⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．（第17题图）三、解答题：共4小题，计42分。18．(本小题满分10分)求直线y＝2x＋1关于直线x＋y＋1＝0对称的直线方程．19．（本小题满分10分）已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0．（Ⅰ）当m为何值时，曲线C表示圆；（Ⅱ）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．20．（本小题满分12分）已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，设D为AA1的中点．（第20题图）(Ⅰ)作出该几何体的直观图并求其体积；(Ⅱ)求证：平面BB1C1C⊥(Ⅲ)BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．21．(本小题满分10分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(Ⅰ)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；(Ⅱ)从圆C外一点P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．四、附加题：本大题共2小题，共20分。22．(本小题满分10分)（1）．(本小题满分5分)若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是()A．a≤1 B．a≥5C．1≤a≤5（2）．(本小题满分5分)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于eq\f(7π,4)，则球O的表面积等于__________．（第22题图）23．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹．（第23题图）高二数学参考答案一、选择题：共10小题，每小题3分，计30分。1．[答案]B[解析]令x＝0，则y＝－b2.2．[答案]C[解析]根据该几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，且底面直角三角形边长分别为1、1、eq\r(2)，侧棱长为1，故S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))＋1×eq\r(2)＋2×(1×1)＝3＋eq\r(2)，故C正确．3．[答案]B[解析]∵(eq\r(3)－eq\r(2))×1＋1×(eq\r(2)－eq\r(3))＝0，∴两直线互相垂直．4．[答案]C[解析]在平面β内可能存在，也可能不存在平行于m的直线，所以A，B错误．而对于α内的任意一条直线，在平面α内都可以找到与m垂直的直线，所以C正确，D错误．5．[答案]D[解析]八卦图可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交.6．[答案]B[解析]直线方程可化为x－y＋1＝0，圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<1，∴直线与圆相交，又∵(0,0)不在直线上，∴直线不过圆心．7．[答案]D[解析]设AB′与A′B相交于点E，则在平面AB′C′D中，DE与AC′必相交，则交点为G，∴G点在△A′BD的中线DE上，同理可知G点在BD边的中线上，∴G为△A′BD的重心．8．[答案]A[解析]设圆柱底面半径为r，则高为2πr，eq\f(S表,S侧)＝eq\f(2πr·2πr＋2·πr2,2πr·2πr)＝eq\f(1＋2π,2π).9．[答案]A[解析]如图所示，对角线AC′，由于过每一顶点都有两条棱与对角线夹角为60°，则此两条棱关于对角线对称．设棱AB、AD与AC′夹角为60°，则可以算出AB＝2，BC′＝2eq\r(3).设棱D′C′，B′C′与AC′的夹角为60°，则可以算出B′C′＝2，故长方体的高BB′＝eq\r(BC′2－B′C′2)＝eq\r(12－4)＝2eq\r(2)，故长方体的体积V＝AB·BC·BB′＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).10．[答案]D[解析]∵DC∥A1B1，EF＝1，∴S△EFQ＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(2)＝eq\r(2)(定值)．四面体PEFQ中面EFQ上的高为P到面A1DCB1的距离，为DP·sin45°＝eq\f(\r(2),2)z.∴V四面体PEFQ＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)z＝eq\f(1,3)z.二、填空题：共7小题，每小题4分，计28分。11．[答案]异面或相交就是不可能平行.12．[解法一]做与直线3x+4y+8=0平行的直线且与圆相切，将来会得到两条，有两个切点，这两切点到3x+4y+8=0的距离就得到圆上的点到直线的最大值和最小值.[解法二]以圆心做标准，到直线的距离减去或加上半径就是圆上的点到直线的最小值和最大值.圆心到直线的距离d==3，∴动点Q到直线距离的最小值d-r=3-1=2.13．[答案]eq\f(x2,2)＋y2＝1[解析](1)设M(x，y)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x－2，y)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x－1，y)，由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\r(2)|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝0得，(x－2)＋eq\r(2)·eq\r(x－12＋y2)＝0.整理得eq\f(x2,2)＋y2＝1.14．[答案]eq\f(9,2)π[解析]如图所示，设底面中心为O′，球心为O，设球半径为R，∵AB＝2，则AO′＝eq\r(2)，PO′＝eq\r(PA2－AO′2)＝2，OO′＝PO′－PO＝2－R.在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2⇒R2＝(eq\r(2))2＋(2－R)2，∴R＝eq\f(3,2)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.15.[答案]直线MN∥平面SBC[解析]过N作NG∥AD，交AB于G，易证平面MGN∥平面SBC，则有MN∥平面SBC.16．[答案]4[解析]由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA.又∵|OA|＝eq\r(5)，|O1A|＝2eq\r(5)，∴|OO1|＝5，而A、B关于OO1轴对称，所以AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍，即|AB|＝2×eq\f(\r(5)×2\r(5),5)＝4.17．[答案]①②④[解析]①∵BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1.②连结A1C1交B1D1于O，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面AA1C1.∴B1D1⊥AC1.同理B1C⊥AC1.∴AC1⊥③∠C1AC为AC1与平面ABCD所成的角，tan∠C1AC＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(CC1,\r(2)CC1)＝eq\f(\r(2),2).④∠C1OC为二面角C—B1D1—C1的平面角，tan∠C1OC＝eq\f(CC1,C1O)＝eq\f(CC1,\f(\r(2),2)CC1)＝eq\r(2).⑤异面直线AD与CB1所成的角为45°，则满足题意的直线有4条．三、解答题：共4小题，计42分。18．(本小题满分10分)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,x＋y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(1,3)))∴两直线交点P(－eq\f(2,3)，－eq\f(1,3))．在y＝2x＋1上取一点M(0,1)，设M关于x＋y＋1＝0的对称点为M′(a，b)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－1,a)·－1＝－1，,\f(a,2)＋\f(b＋1,2)＋1＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.))∴M′(－2，－1)．所求直线过M′(－2，－1)及P(－eq\f(2,3)，－eq\f(1,3))，由两点式得eq\f(y＋1,－\f(1,3)＋1)＝eq\f(x＋2,－\f(2,3)＋2)，可得所求方程为x－2y＝0.19．（本小题满分10分）[解析]（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5．（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+y1y2=0．将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y得5x2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x1+x2=①,x1x2=②，又由x+2y-4=0得y=(4-x),∴x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)·(4-x2)=x1x2-(x1+x2)+4=0．将①、②代入得m=．20．（本小题满分12分）[解析]由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如图所示．由图知底面正三角形边长为2，棱柱高为3，∴S△ABC＝eq\r(3)，∴V＝3eq\r(3).(2)证明：连结B1C交BC1于E点，则E为B1C、BC1的中点，连结DE.∵AD＝A1D，AB＝A1C1，∠BAD＝∠DA∴△ABD≌△A1C1D.∴BD＝C1D.∴DE⊥BC1.同理，DE⊥B1又∵B1C∩BC1＝E.∴DE⊥平面BB1C1C.又∵DE⊂平面BDC1，∴平面BB1C(3)解：取BC的中点P，连结AP，则AP∥平面BDC1，证明：连结PE，则PE∥AD，且PE＝AD，∴四边形APED为平行四边形．∴AP∥DE.又DE⊂平面BDC1，AP⊄平面BDC1，∴AP∥平面BDC1.21．[解析](本小题满分10分)(1)由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径为eq\r(2).当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2).所以k＝2±eq\r(6)，即切线方程为y＝(2±eq\r(6))x.当切线不过原点时，设切线方程为x＋y＝a，则eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2).所以a＝－1或a＝3，即切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.所以切线方程为y＝(2±eq\r(6