理科数学全国通用版一轮复习课时跟踪检测第4章第7节正弦定理和余弦定理的应用举例

第四章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理的应用举例A级·基础过关|固根基|1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析：选D由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB．故选D．2．(2019届湖南师大附中月考)如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B．已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/h解析：选B设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝eq\f,1)＝eq\f(3,5)，从而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))eq\s\up12(2)＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).故选B．3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m解析：选A设水柱高度是hm，水柱底端为C，由题意得，在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根据余弦定理，得(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50(负值舍去)，故水柱的高度是50m.4.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30° B．45°C．60° D．75°解析：选B依题意可得，AD＝20eq\r(10)，AC＝30eq\r(5)，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(（30\r(5)）2＋（20\r(10)）2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2).又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.故选B．5.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠MCA)＝eq\f(AC,sin∠AMC)，即eq\f(1200,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq\r(6).在△ACD中，∵tan∠DAC＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，∴DC＝600eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝600eq\r(2).答案：600eq\r(2)6．(2019届阜新模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CA＝CD＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(海里/时)．答案：107．(2019届盘绵质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．解析：如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50eq\r(7)，即扇形的半径为50eq\r(7)米．答案：50eq\r(7)8.如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________m.解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tanα，BB1＝60tan2α.∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴eq\f(AA1,30)＝eq\f(30,BB1)，∴AA1·BB1＝900，∴3600tanαtan2α＝900，∴tanα＝eq\f(1,3)，tan2α＝eq\f(3,4)，则BB1＝60tan2α＝45.答案：eq\f(1,3)459．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则树的高度为________m.解析：由题意得，在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理得eq\f(PB,sin30°)＝eq\f(AB,sin15°)，所以PB＝eq\f(\f(1,2)×60,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))，所以树的高度为PB·sin45°＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝(30＋30eq\r(3))(m)．答案：(30＋30eq\r(3))10.如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P的仰角为60°，已知山高为2eq\r(3)千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？解：(1)由题意得，在△BCP中，∠PBC＝60°，由tan∠PBC＝eq\f(PC,BC)，得BC＝eq\f(PC,tan∠PBC)＝2，由题意得，在△ABC中，∠BAC＝15°，∠BCA＝∠DBC－∠BAC＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，即eq\f(2,sin15°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以AB＝2(eq\r(3)＋1)，故船的航行速度是每小时6(eq\r(3)＋1)千米．(2)由题意得，在△BCD中，BD＝eq\r(3)＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，则由余弦定理，得CD＝eq\r(6)，在△BCD中，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠CDB)，即eq\f(\r(6),sin60°)＝eq\f(2,sin∠CDB)，所以sin∠CDB＝eq\f(\r(2),2)，所以山顶位于D处南偏东45°的方向.B级·素养提升|练能力|11．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．解析：由已知，得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以AC＝eq\f(ABsinB,sin∠ACB)＝eq\f(20×sin60°,sin45°)＝10eq\r(6)，所以海轮航行的速度为eq\f(10\r(6),30)＝eq\f(\r(6),3)(海里/分钟)．答案：eq\f(\r(6),3)12.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×eq\f(\r(2),2)，令OB2≤4502，即4t2－120eq\r(2)t＋1575≤0，解得eq\f(30\r(2)－15,2)≤t≤eq\f(30\r(2)＋15,2)，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为eq\f(30\r(2)＋15,2)－eq\f(30\r(2)－15,2)＝15(h)．答案：1513.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?解：(1)在△AMN中，由正弦定理，得eq\f(MN,sin60°)＝eq\f(AN,sinθ)＝eq\f(AM,sin（120°－θ）)，所以AN＝eq\f(4\r(3),3)sinθ，AM＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)．(2)AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝eq\f(16,3)sin2(θ＋60°)＋4－eq\f(16\r(3),3)sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＝eq