矩阵运算的本质和矩阵理论的内涵

矩阵运算的本质和矩阵理论的内涵

1对矩阵运算的分析莫言克莱因指出，“矩阵这个词最初由sylvaster使用，当请求一个数字排列时，它实际上是想引用它，而不是使用行列公式时。”矩阵的概念应该理解为“数矩阵矩阵”，即矩阵的本质是数矩阵。目前对矩阵运算的实际应用分析成果已有很多,但对矩阵运算本身的特点以及它在矩阵理论中的地位与作用分析成果却很少。本文将归纳分析矩阵运算与数的运算的不同点、矩阵运算的内部关系和矩阵运算在矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的关系和矩阵的初等变换中的应用,以充分把握矩阵运算的本质和矩阵理论的内涵,有效促进课程教学改革。2矩阵运算与数字运行运行的比较2.1矩阵的除法运算a实数的除法定义是“除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数”,其中倒数的定义是“乘积为1的两个数称为互为倒数”,如果将这一定义改写成矩阵就是“除以一个矩阵就等于乘以这个矩阵的倒矩阵”,那么这里所谓的“倒矩阵”是否存在?答案是肯定的,这就是逆矩阵。逆矩阵是矩阵理论的一个重要概念,它与倒数之间的对应关系如表1所示。由表1可知,当A,B均为n阶矩阵且B可逆时,可以定义除法运算A÷B≜AB-1。不过令人遗憾的是此定义的条件太强,一般来说,不能保证A,B都是n阶矩阵,至于“B可逆”的条件更是无法保证,故上述除法定义的适用范围很小,换句话说,矩阵没有一般意义上的除法运算。还有一点需要说明,在数的乘法和除法运算中有下列关系“若a×b=c,则c÷a=b(a≠0)”,那么矩阵的除法能否类似定义为“若AB=C,则C÷A≜B(A≠O)”呢?显然,这也是不行的。例如A=(10),B=(1x2y3z),C=(102030)A=(10),B=(123xyz),C=(123000),不论x,y,z如何取值,关系式AB=C恒成立。若依上述定义,则B无法确定,故此定义无意义。实数开方的定义是“一般地,如果一个实数x满足xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的n次实数方根”。如果将这一定义改写成矩阵就是“一般地,如果一个方阵X满足Xn=A(n>1,n∈N*),那么称X为A的n次方根”,显然这样的定义也有问题,例如满足A2=E的一切二阶方阵A的可表示±E或(acb−a)(abc-a),其中a2+bc=1,依上述定义,E的平方根就有无数个,这表明上述定义是无意义的。一般地,矩阵无开方运算。2.2转置概念对矩阵理论的丰富矩阵虽无除法和开方运算,但它有数乘和转置运算,这两种运算对于数而言是没有的。矩阵的数乘概念完全是由数的乘法来定义的,这进一步体现了矩阵的本质——数阵。矩阵的转置概念实际上表明了矩阵概念的方向性,即对于同一数阵,从横向和纵向两个角度都可以定义矩阵,但定义出来的矩阵是不同的。关于这一点,很多高等代数课程教材没有指明。转置概念十分重要,对称矩阵与反对称矩阵、二次型的矩阵、矩阵的合同、正交矩阵和Hermite矩阵等概念都要依据转置来定义,可见转置概念大大丰富了矩阵理论的内涵。矩阵的数乘、转置与加、减、乘和乘方可以相互作用,如表2所示。表2充分展现了矩阵数乘、转置的性质,同时表明矩阵的数乘、转置与加、减、乘和乘方运算是完全相容的。3矩阵执行的应用3.1对矩阵的运算矩阵的秩、矩阵的行列式是矩阵理论的两个重要概念,它们都是一个数值,但矩阵的秩对矩阵的形状没有要求,而矩阵的行列式必须要求矩阵为方阵。矩阵运算对矩阵的秩、矩阵的行列式的应用如表3所示。表3反映了矩阵的秩、矩阵的行列式的性质,需要注意的是关于秩的结论很多只有大小关系而非相等关系,关于行列式的结论有个别关系无法确定。3.2b的等价型sn矩阵的特性矩阵的常见关系有三种:等价、相似和合同。一方面,由相似和合同的定义可知,矩阵A,B相似或合同完全是由A,B满足一定的运算关系来确定的,而两个s×n矩阵A,B等价的充要条件是存在可逆的s×s矩阵P与可逆的n×n矩阵Q使得A=PBQ。另一方面,矩阵的等价、相似和合同关系具有相同的性质(自反性、对称性和传递性),这些性质的证明都需依据定义、运用运算来进行验证。由此可见,矩阵运算应用于矩阵关系意义重大。3.3阵初等变换的关系凌蕾花在分析矩阵在高等代数学中的应用基础时指出,矩阵的初等变换是矩阵理论的应用基础。矩阵运算与矩阵初等变换的关系可由以下结论来反映,即“对一个s×n矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵,对A作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n初等矩阵”。可见,矩阵的一次初等变换与矩阵的一次初等矩阵的乘积是对应的,由此看出矩阵运算对矩阵初等变换的应用价值。4在矩阵算子的应用中，我们必须强调三个要点4.1数的运算与矩阵运算的相似点矩阵运算从本质上说就是一些“法则”,按照这些“法则”将一个或多个矩阵变为一个新矩阵。从这个意义上讲,矩阵运算与数的运算相似。研究矩阵运算及其运算律的基本目的在于充分运用这些运算引出新的矩阵概念,同时把握矩阵之间的关系,从而逐步构建整个矩阵理论体系。由此可见,矩阵运算在矩阵理论构建中的应用十分普遍,已成为研究矩阵问题的基本工具。4.2初等变换对乘方运算的限制从宏观方面看,矩阵运算是讨论矩阵问题的一大工具,但不是唯一工具,事实上,矩阵的初等变换不仅是矩阵理论在整个高等代数学的应用基础,也是分析矩阵理论本身的强有力工具。例如,等价概念就是由初等变换直接导出的,矩阵的秩的求解方法之一也是运用初等变换,矩阵合同问题中的合同变换还是初等变换还是初等变换。从微观方面看,矩阵的运算本身就限制了矩阵的应用范围。例如,加法、减法要求两个矩阵同型(行数和列数对应相同),乘法要示前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同,乘方运算要求矩阵是方阵。由此可见,并非任意两个矩阵都可以进行矩阵的某些运算,运算法则本身就约来了它的应用性。另外还需要指出,由于矩阵乘法不满足交换规律,故对于矩阵而言,平方差公式,完全平方公式都不成立,这也限制了乘法运算的应用。综合以上两个方面的分析,可以发现矩阵运算的应用有其局限性.4.2课程实施与人才培养相结合分析矩阵地运算的应用,除了考虑构建矩阵理论的需要外,还必须考虑教学的实际需要。在教学实践中,任课教师要做好两个方面的工作。一方面任课教师应从具体课程的实际出发,严格按照课程教学大纲制定个性化的教学计划,对矩阵运算及其应用的分析,要做到既能把握应用特点又能符合专业培养的要求。例如,涉及矩阵理论的课程有矩阵分析高等代数、经济数学等,各门课程对矩阵理论的分析存在差异,这就需要任课教师具体课程具体分