空间向量的应用距离问题(原卷版)

空间向量的应用距离问题利用空间向量法求距离问题(1)点A、AB=AB(2)点Q到直线l距离若Q为直线l外的一点，P在直线上，a为直线l的方向向量，b则点Q到直线l距离为d=PS公式推导如图，d=b(3)点Q到平面α的距离若点Q为平面α外一点，点M为平面α内任一点，平面α的法向量为n，则Q到平面α的距离就等于MQ在法向量n方向上的投影的绝对值，即d=PS公式推导如图，d=MQ(4)直线a平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.(5)利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.【题型一】点到点的距离【典题1】正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1(1)当点M与点C重合时，线段AP的长度为(2)线段AP长度的最小值为巩固练习1(★)已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A(-1,-1,2)，点B是xOy平面内的直线x+y=1上的动点，则A,B两点的最短距离是.2(★)空间点A(x,y,z)，O(0,0,0)，B(2,3,2)，若|AO|=1，则|AB|的最小值为【题型二】点到线的距离【典题1】P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB=3，AD=4，PA=1，则点P到BD的距离为．巩固练习1(★)已知直线l的方向向量为m=(1,2,-1)，若点P(-1,1,-1)为直线l外一点，A(4,1,-2)为直线l上一点，则P到直线l2(★)已知直线l过定点A(2,3,1)，且n=(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为.3(★★)如图，三棱锥A-BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且（1）求证：BD∥平面AEF（2）若AE⊥平面BCD，DE⊥BC，BE=DE=2AE=4，P为线段DE的中点，求P到直线【题型三】点到面的距离【典题1】如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=233，E为BC中点，F在棱PD上，AF⊥PD，点B【典题2】已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于P，GC垂直于ABCD所在平面．(1)求证：EF⊥平面GPC．(2)若AB=4，GC=2，求点B到平面EFG的距离．【典题3】如图在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O(1)求证PO⊥平面ABCD；(2)求二面角C-PD-A夹角的正弦值；(3)线段AD上是否存在Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQ巩固练习1(★★)已知平面α的一个法向量n=(－2,－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(A．10 B．3 C．83 D．2(★★)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=2，3(★★)已知平面α的法向量为n=(-2,-2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，则点P(-2,1,4)到平面α的距离为103，则x=3(★★)如图，ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，AD=2a，M,N分别是AD、PB的中点，求点A4(★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．5(★★★)已知三棱锥S－ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱锥S－ABC外接球上一动点，求点Q6(★★★)如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SA=SC=22，O，M分别为AC(1)证明：SO⊥平面ABC；(2)求二面角S－CM－A的余弦值；(3)求点【题型四】线到面的距离【典题1】如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°(1)求证:AC1⊥平面A1BC;(2)求巩固练习1(★★)已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．2(★★)如图，在正方体ABCD-A1B1C(Ⅰ)证明：BC1∥平面AD1E；(Ⅱ)求直线B【题型五】面到面的距离【典题1】正方体