立体几何专题老师

空间向量和立体几何题型与方法（专题4）考点回顾高频考点考情解读利用空间向量证明空间位置关系利用平面的法向量与直线的方向向量的位置关系证明线面位置关系利用空间向量求角异面直线所成角、线面角、二面角是常考重点利用空间向量求距离点到面的距离利用空间向量解决探索性问题重点考查根据条件确定几何体线段上存在点的位置及应用方法总结利用空间向量及其运算证明位置关系设直线l的方向向量为a＝(x1，y1，z1)．平面α，β的法向量分别为u＝(x2，y2，z2)，v＝(x3，y3，z3)(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔x1＝kx2，y1＝ky2，z1＝kz2(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔x2＝kx3，y2＝ky3，z2＝kz3(4)面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔x2x3＋y2y3＋z2z3＝0例题1.已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？分析：要判断点与是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对，使或对空间任一点，有。解：由题意：，∴，∴，即，所以，点与共面．点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．例题2.如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．分析：要证明平面，只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示．证明：如图，因为在上，且，所以．同理，又，所以．又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面．由于不在平面内，所以平面．点评：空间任意的两向量都是共面的．（二）利用空间向量求角（1）．向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝（2）．向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝(3)．向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量m，n，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈m，n〉|＝－例题3.如图，正三棱柱的所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值（3）求点到平面的距离。分析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中，要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.解答：（1）证明：建立如图所示，∵∴即AE⊥A1D，AE⊥BD∴AE⊥面A1BD（2）设面DA1B的法向量为由∴取设面AA1B的法向量为由图可知二面角D—BA1—A为锐角，∴它的大小为arcos（3），平面A1BD的法向量取则B1到平面A1BD的距离d=点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来.(三)．向量法求空间距离：（1）两条异面直线的距离：若A、B分别为两条异面直线上的一点，为这两条异面直线的法向量，则两异面直线的距离（2）点到平面的距离：若A为已知点，B为这个平面内的任意一点，这个平面的法向量，则点到平面的距离（四）利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．例题4.（2022年北京高考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解】⑴∵面面面面∵，面∴面∵面∴又∴面⑵取中点为，连结，∵∴∵∴以为原点，如图建系易知，，，，则，，，设为面的法向量，令，则与面夹角有⑶假设存在点使得面设，由（2）知，，，，有∴∵面，为的法向量∴即∴∴综上，存在点，即当时，点即为所求.（五）折叠、展开问题在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。例题5.如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体．（1）求证：平面PAB平面PCD；（2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．解：（1）证明：，又二面角P-AB-D为，又AD=2PA有平面图形易知：AB平面APD，又，，，且，又，平面PAB平面PCD---------7分（2）设E到平面PBC的距离为，AE求平面MAD与平面MBC的二面角的平面角的余弦值分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.解：∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面MAD⊥面AC.记E是AD的中点，从而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.设球O的半径为r，则r＝设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.∴ME＝.MF＝,r＝≤＝-1。当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。（七）空间几何体的三视图问题关键是会借助空间几何体的三视图画出空间几何体的图形，考查学生的空间想象能力及绘图能力，并能把三视图中相关数据运用在空间几何体上。例题7、【2022高考湖南，理10】某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为，，，长方体上底面截圆锥的截面半径为，则，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知，而长方体的体积，当且仅当，时，等号成立，此时利用率为，故选A.【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.经典题型训练1、正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，都在同一球面上，则此球的体积为.2.【2022高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的半径为3.【2022高考安徽，理5】已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A）若，垂直于同一平面，则与平行（B）若，平行于同一平面，则与平行（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由，若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故不正确；由，若，平行于同一平面，则，可以平行、重合、相交、异面，故不正确；由，若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线；由项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行”是真命题，故项正确.所以选D.【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.4.【2022高考北京，理4】设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.考点定位：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条件的有关知识.【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件，本题属于基础题，本题以空间线、面位置关系为载体，考查充要条件．考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、面的位置关系的理解及空间想象能力，重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质.5.【2022高考湖北卷理第5题】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【答案】D【解析】6.【2022高考浙江，理13】如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是．【答案】.7.【2022江西高考理第10题】如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）【答案】C【解析】试题分析：8.(2022北京理)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，D，E分别为边AC，AB上的点，且，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若M是的中点，求CM与平面所成的角的大小；（Ⅲ）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由。图1图25.（Ⅰ）证明：由于，在折叠过程中保持不变，所以，所以；而，故，且.又A1C⊥CD，故.（Ⅱ）解：由于直线两两互相垂直，故分别为轴建立空间直角坐标系.易得；设为平面的法向量，则即，取.又，故，即CM与平面所成的角为.（Ⅲ）解：假设存在，可设，则设为平面的法向量，则即，取若平面A1DP⊥平面A1BE，则有这与相矛盾，故不存在.9.（2022年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．（=1\*ROMANI）证明：平面ABEF平面EFDC；（=2\*ROMANII）求二面角EBCA的余弦值．【解析】=1\*GB2⑴ ∵为正方形∴∵∴∵∴面 面∴平面平面=2\*GB2⑵ 由=1\*GB2⑴知∵平面平面∴平面平面∵面面∴,∴∴四边形为等腰梯形以为原点，如图建立坐标系，设，，设面法向量为.，即设面法向量为.即设二面角的大小为.二面角的余弦值为【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.10.(2022重庆理)如图，四棱锥中，⊥底面，，，，为的中点，⊥．（1）求的长；（2）求二面角的余弦值．8.解：（1）如图，连接BD交AC于,因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD,故AC⊥BD.以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，而AC=4，得，又，故，,C(0，1，0)，.因为PA⊥底面ABCD,可设，由F为PC边中点，,又，，因为AF⊥PB,故，即，（舍去），所以.（2）由（1）知,,.设平面FAD的法向量为,平面FAB的法向量为.由,,得,因此可取.由,,得,故可取.从而法向量的夹角的余弦值为.故二面角的正弦值为.．11.(2022湖北理)（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，，且．CBOAP（I）设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使CBOAP（II）求二面角的平面角的余弦值．10.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象力、推理论证能力和运算求解能力．解法二：CBOAPyQzx（I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在角的直线为CBOAPyQzx则A（1，0，0），C（0，0，1），．∵P为AC中点，．设，．．所以存在点使得（II）记平面ABC的法向量为，则由，且，得故可取．又平面OAC的法向量为．二面角O—AC—B的平面角是锐角，记为． 12.(2022浙江理)（本题满分15分）如图，平面⊥平面，是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，．PCPFGEABO（Ⅰ）设GPCPFGEABO（Ⅱ）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．11.本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．满分15分．方法一：（Ⅰ）证明：如图，连结，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．zCPFzCPFGEABOyx由题意，得．因为，所以平面的法向量．由，得．又直线不在平面内，所以平面．（Ⅱ）解：设点的坐标为，则．因为平面，所以．因此，．即点的坐标是．在平面直角坐标系中，的内部区域可表示为不等式组经检验，点的坐标满足上述不等式组．所以，在内存在一点，使平面．由点的坐标，得点到的距离分别为．13.【2022高考安徽卷】如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为.证明：为的中点；求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；若，，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小.【答案】（1）为的中点；（2）；（3）.15.（2022年四川高考）如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为.（=1\*ROMANI）在平面PAB内找一点M，使得直线平面PBE，并说明理由；（=2\*ROMANII）若二面角的大小为，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【解】（=1\*ROMANI）延长，交直线于点， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∵即， ∴四边形为平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∵面， ∴面， ∵，面， ∴面故在面上可找到一点使得面.（=2\*ROMANII）过作交于点，连结，过作交于点， ∵，与所成角为， ∴，， ∵，∴，∵面，∴，∵且，∴面，∵面，∴，∵且，∴面，∴为所求与面所成的角，∵面，即.∴为二面角所成的平面角,由题意可得，而,∴,∵,四边形是平行四边形，，∴四边形是正方形，∴，∴， ∵， ∴， ∴， ∴.【考点定位】四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角.【名师点睛】立体几何是高考的重点和热点内容，而求空间角是重中之重，利用空间向量求空间角的方法固定，思路简洁，但在利用平面的法向量求二面角大小时，两个向量夹角与二面角相等还是互补是这种解法的难点，也是学生的易错易误点．解题时正确判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则相等．16.【2022高考湖南，理19】如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点，分别在棱，BC上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明；（2）根据条件二面角的余弦值为，利用空间向量可将四面体视为以为底面的三棱锥，其高，从而求解试题解析：解法一由题设知，，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直∴，而二面角的余弦值为，因此，解得，或者（舍去），此时，设，而，由此得点，，∵平面，且平面的一个法向量是，∴，即，亦即，从而，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.解法二（1）如图c，取的