线性代数-全面复习笔记

线性代数讲稿讲稿编者：张凯院使用教材：《线性代数》西北工业大学出版社西工大数学系编教学参考：《线性代数典型题分析解集》西北工业大学出版社徐仲等编

第一章n阶行列式§1.2排列及其逆序数1．排列：个依次排列的元素．例如,自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种．1234,1342,1423,1432,1324,12432134,2341,2413,2431,2314,21433124,3241,3412,3421,3214,31424123,4231,4312,4321,4213,4132例1互异元素构成的不同排列有种．解在个元素中选取1个种取法在剩余个元素中选取1个种取法在剩余个元素中选取1个种取法…………在剩余2个元素中选取1个2种取法在剩余1个元素中选取1个1种取法总共种取法2．标准排列：个不同的自然数从小到大构成的排列．个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．3．逆序数：(1)某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时,称这两个数（元素）之间有1个逆序．(2)排列中逆序的总和称为排列的逆序数,记作．算法：固定,当时,满足的“”的个数记作（称为的逆序数）,那么．例2排列6372451中,．例3排列,求逆序数．解记作,,,…,4．奇偶性：排列奇数时,称为奇排列；偶数时,称为偶排列．5．对换：相邻对换：一般对换：定理1排列经过1次对换,其奇偶性改变．证先证相邻对换：(1)(2)：对换后增加1,不变,故；：对换后不变,减少1,故．所以与的奇偶性相反．再证一般对换：(1)(2)(3)(1)(2)经过次相邻对换(2)(3)经过次相邻对换(1)(3)经过次相邻对换,所以与的奇偶性相反．推论奇排列标准排列,对换次数为奇数．偶排列标准排列,对换次数为偶数．§1.3阶行列式的定义1．二阶：2．三阶：(1)乘积中三个数不同行、不同列：行标(第1个下标)：标准排列123列标(第2个下标)：是1,2,3的某个排列(共6种)(2)正项：123,231,312为偶排列负项：132,213,321为奇排列于是,．3．阶：个数,称为阶行列式,它表示数值,其中,求和式中共有项．例3计算,.解中只有一项不显含0,且列标构成排列的逆序数为,故．中只有一项不显含0,且列标构成排列的逆序数为故．结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积,并冠以符号．特例：，定理2(2)证由定义知(1)先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得(3)①偶数偶数次对换偶数次对换所以偶数②奇数奇数次对换奇数次对换所以奇数因此,由(3)可得同理可证(1)中的项都是(2)中的项．§1.4行列式的性质性质1设,,则．证令,则(根据Th2)性质2设,,则．证推论1对调两列得．证因为对调两列得,相当于对调两行得所以推论2中某两行(列)元素对应相等．证因为对调此两行(列)后,的形式不变所以例如,对于任意的,都有．性质3,证(1)左端推论1中某行(列)元素全为0．推论2中某两行(列)元素成比例．性质4若对某个,有,则证左端右端(1)+右端(2)[注]性质4对于列的情形也成立．性质5[注]性质5对于列的情形也成立．例5计算.解例6计算．解例7计算．解§1.5行列式按行（列）展开余子式：在阶行列式中，将元素所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作．代数余子式：元素的代数余子式．定理3证证明第一式,分以下3步．第1步：+第2步：第3步：例8计算．解例9计算．解例10计算．解例11证明.证………………例12证明证定理4设,则．证只证第一式.时,有[注]结合定理3与定理4可得例13,求．解法1因为与的第1列元素的代数余子式相同所以将按第1列展开可得．解法2因为的第3列元素与的第1列元素的代数余子式相乘求和为0,即所以§1.7Cramer法则考虑线性方程组,,……定理5若,则方程组存在唯一解.证存在性.第1行中元素的代数余子式为将按第1行展开可得因为,所以故方程组有解唯一性.设方程组还有解,则同理可得于是例14解线性方程组.解,,,,,,齐次方程组定理6若,则齐次方程组只有零解.推论齐次方程组有非零解.[注]齐次方程组有非零解.(定理3.5之推论)例15已知有非零解,求.解,故或.例16计算.解采用加边法.第二章矩阵及其运算§2.1矩阵1.方程组由其系数和右端项确定2.矩阵设个数排成行列的数表用括号将其括起来,称为矩阵,并用大写字母表示,即,简记为.(1)称为的行列元素(4)称为方阵(2)称为实矩阵(5)称为行矩阵(3)称为复矩阵(6)称为列矩阵零矩阵：所有元素都是0的矩阵.单位矩阵；对角矩阵3.线性变换与矩阵设变量可由变量表示为称之为由变量到变量的线性变换,它与矩阵是一一对应关系．§2.2矩阵的基本运算同阶矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵．矩阵相等：设,,若,称.1.线性运算：,加法：数乘：负矩阵：减法：算律：设为同阶矩阵,为常数,则有(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)例1设,满足,求．解2.矩阵乘法：特殊情形,一般情形,[注]的列数=的行数．的行数=的行数；的列数=的列数．与的先后次序不能改变．例2,,[注]无意义．例3,,[注]；,,但是．算律：(1)(2)(3)(4),验证(1)设,,,则应用：,,,线性方程组的矩阵形式线性变换的矩阵形式3.方阵的幂：,为正整数,算律：(1)(2)例4,求．解法1可以验证：解法24.矩阵的转置：,算律：(1)(2)(3)(4)验证(4),,故，即．对称矩阵：指满足，即反对称矩阵：指满足，即5.方阵的行列式：指的元素按照原来的相对位置构成的行列式,记作,或者．算律：(1)(2)(3)(4)[注]方阵是数表,而行列式是数值．,而.6.伴随矩阵：,中元素的代数余子式为．，重要性质：7.共轭矩阵：复矩阵的共轭矩阵记作．算律：(1)(2)(3)(4)§2.3逆矩阵定义：对于,若有满足,则称为可逆矩阵,且为的逆矩阵,记作．定理1若为可逆矩阵,则的逆矩阵唯一．证设与都是的逆矩阵,则有,定理2为可逆矩阵；为可逆矩阵．证必要性．已知存在，则有充分性．已知，则有由定义知为可逆矩阵，且．[注]时,亦称为非奇异矩阵；时,亦称为奇异矩阵．推论1对于,若有满足,则可逆,且．证可逆推论2对于,若有满足,则可逆,且．算律：(1)可逆可逆,且．对于,取,有．(2)可逆,可逆,且．对于,取,有．(3)与都可逆可逆,且．对于,取,有．(4)可逆可逆,且．对于,取,有．(5)可逆．(6)与都可逆．证负幂：可逆,定义,,则有,(,为整数)例1,例2设满足,求．解应用：(1)阶线性方程组求解,(2)求线性变换的逆变换,(3)矩阵方程求解设可逆,可逆,且已知,则例3设,满足,求．解并项：计算：例4设满足,求．解并项：左乘：计算：密码问题：,,,…,,action：1,3,20,9,15,14加密：,发出∕接收密码：67,44,43,81,52,43解密：,明码：1,3,20,9,15,14表示action

§2.4分块矩阵用若干条横线与纵线将矩阵划分为若干个小矩阵,称这些小矩阵为的子矩阵,以子矩阵为其元素的矩阵称为分块矩阵．特点：同行上的子矩阵有相同的“行数”；同列上的子矩阵有相同的“列数”．1.加法：,要求：与同阶,且分块方式相同．2.数乘：3.乘法：,要求：的列划分方式与的行划分方式相同．例14.转置：,特点：“大转”+“小转”5.准对角矩阵：设,,都是方阵,记性质：(1)(2)可逆可逆(3)可逆例2例3设与都可逆,,,求．解可逆,第三章矩阵的初等变换§3.1矩阵的秩1.子式：在中,选取行与列,位于交叉处的个数按照原来的相对位置构成阶行列式,称为的一个阶子式,记作．对于给定的,不同的阶子式总共有个．2.矩阵的秩：在中，若(1)有某个阶子式；(2)所有的阶子式（如果有阶子式的话）．称的秩为,记作,或者．规定：性质：(1)(2)时(3)(4)中的一个(5)中所有的例1,求．解位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式计算知,所有的3阶子式,故．[注],若,称为行满秩矩阵；若,称为列满秩矩阵．,若,称为满秩矩阵（可逆矩阵,非奇异矩阵）；若,称为降秩矩阵（不可逆矩阵,奇异矩阵）．§3.2矩阵的初等变换1.初等变换行变换列变换①对调②数乘③倍加经过初等变换得到,记作．2.等价矩阵：若,称与等价,记作．(1)自反性：(2)对称性：(3)传递性：,定理1．证只需证明．设,仅证行变换之(3)的情形：(1)若,则有不含：含,不含：含,且含：故中所有的阶子式,于是可得．(2)若或者,构造矩阵,由(1)可得其余情形类似．例2,求．解,故．行最简形：标准形：定理2若,则：行阶梯形：行最简形定理3若,则,称为的等价标准形．推论1若满秩,则．推论2．§3.3解线性方程组的消元法例如解线性方程组的初等变换：(1)互换两个方程的位置(2)用非零数乘某个方程(3)将某个方程的若干倍加到另一个方程用矩阵的初等变换表示方程组的求解过程如下：方程组：或者增广矩阵：设,且的左上角阶子式,则：行最简形的同解方程组为(3.4)若,则方程组(3.4)无解：若,则方程组(3.4)有解：(1)时,方程组(3.4)成为,,…,是其唯一解(2)时,方程组(3.4)成为一般解为其中为任意常数．定理4,(1)有解；(2)有解时,若,则有唯一解；若,则有无穷多组解．定理5(1)有非零解；(2)有非零解．例3求解,,解有无穷多解同解方程组：一般解：（为任意常数）例4求解,,解(1)同解方程组：一般解：（为任意常数）(2)同解方程组：一般解：（为任意常数）例5讨论方程组何时有唯一解,无穷多解,无解?,解计算可得(1)且：根据Cramer法则,方程组有唯一解．(2)：,,故方程组无解．(3)且：时,,,故方程组无解．时,,故方程组有无穷多解．§3.4初等矩阵定义对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵．[注]对单位矩阵进行一次初等列变换,相当于对单位矩阵进行一次同类型的初等行变换．因此,初等矩阵可分为以下3类：1.2.3.,性质1,,因此可得：对进行一次初等行变换,相当于给左乘一个同类型的初等矩阵．（定理6的结论之一）性质2注意：因此可得：对进行一次初等列变换,相当于给右乘一个同类型的初等矩阵．（定理6的结论之二）性质3,,,定理7可逆可以表示为有限个初等矩阵的乘积．证必要性．已知,则满秩,故存在初等矩阵及,使得,而与都是初等矩阵．充分性．显然成立．矩阵求逆方法之二（初等行变换法）：（都是初等矩阵）由此可得：对矩阵施行“初等行变换”，当前列（的位置）成为时，则后列（的位置）为．例6,求．解故．例7,求．解依次作初等行变换,,可得故．定理8设,,则存在可逆矩阵和,使得．证必要性．已知,则存在阶初等矩阵和阶初等矩阵,使得,令,则有．充分性．已知,则由定理7知,和都可以表示为有限个初等矩阵的乘积,即,故,也就是．第四章向量组的线性相关性§4.1向量及其运算1．向量：个数构成的有序数组,记作,称为维行向量．––称为向量的第个分量––称为实向量（下面主要讨论实向量）––称为复向量零向量：负向量：2．线性运算：,相等：若,称．加法：数乘：减法：3．算律：,,(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)4．列向量：个数构成的有序数组,记作,或者,称为维列向量．零向量：负向量：5．内积：设实向量,,称实数为与的内积．算律：,,(1)(2)（为常数）(3)(4)时,；时,．(5)证(5),由可得6．范数：设实向量,称实数为的范数．性质：(1)时,；时,．(2)(3)(4)证(3)证(4)7．夹角：设实向量,,称为与之间的夹角．正交：若,称与正交,记作．(1),时,；(2)或时,有意义,而无意义．单位化：若,称为与同方向的单位向量．§4.2向量组的线性相关性1．线性组合：对维向量及,若有数组使得,称为的线性组合,或可由线性表示．例1,,,判断可否由线性表示?解设，比较两端的对应分量可得,求得一组解为于是有,即可由线性表示．[注]取另一组解时,有．2．线性相关：对维向量组,若有数组不全为0,使得称向量组线性相关,否则称为线性无关．线性无关：对维向量组,仅当数组全为0时,才有称向量组线性无关,否则称为线性相关．[注]对于单个向量：若,则线性相关；若,则线性无关．例2判断例1中向量组的线性相关性．解设,比较两端的对应分量可得即．因为未知量的个数是4,而,所以有非零解,由定义知线性相关．例3已知向量组线性无关,证明向量组,,线性无关．证设,则有因为线性无关,所以,即系数行列式,该齐次方程组只有零解．故线性无关．例4判断向量组,,…,的线性相关性．解设,则有只有故线性无关．例5设两两正交且非零,证明该向量组线性无关．证设,两端与作内积可得当时,,于是有只有上式对于都成立,故线性无关．3．判定定理定理1向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证必要性．已知线性相关,则存在不全为零,使得不妨设,则有．充分性．不妨设,则有因为不全为零,所以线性相关．定理2若向量组线性无关,线性相关,则可由线性表示,且表示式唯一．证因为线性相关,所以存在数组不全为零,使得若,则有．矛盾!故,从而有．下面证明表示式唯一：若,则有因为线性无关,所以即的表示式唯一．定理3线性相关线性相关．证因为线性相关,所以存在数组不全为零,使得数组不全为零,故线性相关．推论1含零向量的向量组线性相关．推论2向量组线性无关任意的部分组线性无关．定理4设(1)线性相关；(2)线性无关．证设比较等式两端向量的对应分量可得即．由定理3.5可得：线性相关有非零解推论1在定理4中,当时,有(1)线性相关；(2)线性无关．推论2在定理4中,当时,有(1)线性相关中所有的阶子式；(2)线性无关中至少有一个阶子式．推论3在定理4中,当时,必有线性相关．因为,由定理4(1)即得．推论4向量组：向量组：若线性无关,则线性无关．证线性无关是的子矩阵线性无关定理5划分,则有(1)中某个中“所在的”个行向量线性无关；中“所在的”个列向量线性无关．(2)中所有中任意的个行向量线性相关；中任意的个列向量线性相关．证只证“行的情形”：(1)设位于的行,作矩阵,则有线性无关．(2)任取中个行,设为行,作矩阵,则有线性相关．[注]称为的行向量组,为的列向量组．§4.3向量组的秩与最大无关组1．向量组的秩：设向量组为,若(1)在中有个向量线性无关；(2)在中有个向量线性相关（如果有个向量的话）．称为向量组为的一个最大线性无关组,称为向量组的秩,记作：秩．[注](1)向量组中的向量都是零向量时,其秩为0．(2)秩时,中任意个线性无关的向量都是的一个最大无关组．例如,,,,的秩为2．线性无关是一个最大无关组线性无关是一个最大无关组定理6设,则(1)的行向量组（列向量组）的秩为；(2)中某个中所在的个行向量（列向量）是的行向量组（列向量组）的最大无关组．证只证“行的情形”：中某个,而中所有定理5中所在的个行向量线性无关中任意的个行向量线性相关由定义：的行向量组的秩为,且中所在的个行向量是的向量组的最大无关组．例6向量组：,,,求的一个最大无关组．解构造矩阵求得秩矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式故是的一个最大无关组．[注]为行向量组时,可以按行构造矩阵．定理7(1)若,则“的列”线性相关（线性无关）“的列”线性相关（线性无关）；(2)若,则“的行”线性相关（线性无关）“的行”线性相关（线性无关）．证(1)划分,由可得故方程组与方程组同解．于是有线性相关存在不全为0,使得存在不全为0,使得线性相关同理可证(2)．[注]通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵,当阶梯形矩阵的秩为时,的非零行中第一个非零元素所在的个列向量是线性无关的．例如：求例6中向量组的一个最大无关组．构造矩阵秩的1,2列线性无关的1,2列线性无关是的一个最大无关组例7向量组：,,,求向量组的一个最大无关组．解对矩阵进行初等行变换可得(1)：的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关故是的一个最大无关组；(2)：的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关故是的一个最大无关组．[注]当为行向量组时,为列向量组．若矩阵的列向量组的一个最大无关组为,则是的一个最大无关组．课后作业：习题四7,8（理解、记忆定理1～7）2．等价向量组：设向量组,若可由线性表示,称可由线性表示；若与可以互相线性表示,称与等价．(1)自反性：与等价(2)对称性：与等价与等价(3)传递性：与等价,与等价与等价定理8向量组与它的最大无关组等价．证设向量组的秩为,的一个最大无关组为．(1)中的向量都是中的向量可由线性表示；(2)任意,当时,可由线性表示；当时,线性相关,而线性无关由定理2知,可由线性表示．故可由线性表示．因此,与等价．推论向量组的任意两个最大无关组等价．定理9向量组,向量组．若线性无关,且可由线性表示,则．证不妨设与都是列向量,考虑向量组易见,秩秩．构造矩阵因为可由线性表示,所以于是可得秩．推论1若可由线性表示,则秩秩．证设秩,且的最大无关组为；秩,且的最大无关组为,则有可由线性表示可由线性表示可由线性表示（定理9）推论2设向量组与等价,则秩秩．[注]由“秩秩”不能推出“与等价”！正确的结论是：与等价与等价例8设,,则,．证设,,,则即可由线性表示,故．根据上述结果可得§4.4向量空间1．向量空间：设是具有某些共同性质的维向量的集合,若对任意的,有；（加法封闭）对任意的,,有．（数乘封闭）称集合为向量空间．例如：是向量空间是向量空间不是向量空间,即数乘运算不封闭．例9给定维向量组,验证是向量空间．称之为由向量组生成的向量空间,记作或者证设,则,,于是有由定义知,是向量空间．2．子空间：设和都是向量空间,且,称为的子空间．例如：前面例子中的是的子空间．例9中的也是的子空间．3．向量空间的基与维数：设向量空间,若(1)中有个向量线性无关；(2)可由线性表示．称为的一组基,称为的维数,记作或者．[注]零空间没有基,规定．由条件(2)可得：中任意个向量线性相关．（自证）若,则中任意个线性无关的向量都可作为的基．例10设向量空间的基为,则．证4．向量在基下的坐标：设向量空间的基为,对于,表示式唯一（定理2）,称为在基下的坐标（列向量）．[注]为维向量,在的基下的坐标为维列向量．因为线性无关的“维向量组”最多含有个向量,所以由维向量构成的向量空间的基中最多含有个向量,故．例11设向量空间的基为,,求在该基下的坐标．解设,比较等式两端的对应分量可得：,[注]是4维向量,在的基下的坐标为3维列向量．5．正交基：设向量空间的基为,若,称为的正交基；若还有,称为的标准正交基．例如：的标准正交基为．特点：向量空间的正交基为,对于,有：当为标准正交基时,有：6．Schmidt正交化过程：设向量空间的基为,令,,（否则线性相关）,（否则线性相关）………………,（否则线性相关）结论：两两正交且非零线性无关是的正交基令,则是的标准正交基例12已知向量空间的基为,,求的一组正交基．解故的一组正交基为．7．基变换与坐标变换设向量空间的基①；基②．基变换：可由唯一的线性表示,所以有矩阵乘法形式：称上式为由基①改变为基②的基变换公式．称为由基①改变为基②的过渡矩阵．定理10向量空间中由基①改变为基②的过渡矩阵是可逆矩阵．证若,则齐次方程组有非零解,由此可得即线性相关,矛盾！故是可逆矩阵．[注]由基②改变为基①的基变换公式为由基②改变为基①的过渡矩阵为．坐标变换：,有因为在基①下的坐标唯一,所以或者称上式为坐标变换公式．例12已知的两个基为①②(1)求由基①改变为基②的过渡矩阵；(2)求在基①下的坐标．解采用中介法求过渡矩阵：简单基为,,,简单基基①：简单基基②：基①基②：,,

§4.5线性方程组解的结构,,齐次方程组非齐次方程组()结论：(1),与同解．(2)有非零解．(3)有解．(4)设,则时,有唯一解；时,有无穷多解．1．的解空间解集合故构成向量空间,称为的解空间．2．的基础解系不妨设的一般解为()依次令可求得,,…,因为(1)线性无关(2),所以是解空间的一个基,称为的基础解系．例15设,求的一个基础解系．解,同解方程组为依次取,可求得基础解系,2．解的结构(1),(2),是的解设的一个基础解系为的特解为,一般解为,则有()例16设,,求的通解．解同解方程组为基础解系：,；特解：通解：()例17设,的3个解满足,,求的通解．解的基础解系中含有个解向量因为所以是的基础解系又是的特解故的通解为．例18设,是的解,证明：是的基础解系线性无关．证必要性．设数组使得左乘,利用可得因为,所以由此可得因为是的基础解系,所以线性无关,从而有故线性无关．充分性．是的解向量设数组使得则因为线性无关,所以只有,故向量组线性无关．因此是的基础解系．第五章矩阵的相似变换§5.1矩阵的特征值与特征向量定义：对于阶方阵,若有数和向量满足,称为的特征值,称为的属于特征值的特征向量．特征方程：或者有非零解特征矩阵：或者特征多项式：例1求的特征值与特征向量．解求的特征向量：,求的特征向量：,,（不同时为0）例2求的特征值与特征向量．解求的特征向量：,求的特征向量：,[注]在例1中,对应2重特征值有两个线性无关的特征向量；在例2中,对应2重特征值只有一个线性无关的特征向量．一般结论：对应重特征值的线性无关的特征向量的个数．定理1设的特征值,,则(1)；(2)．证由特征值的定义可得其中都是次数不超过的多项式．由题设,又有比较多项式同次幂的系数可得推论0是的特征值．一元多项式：矩阵多项式：定理2设,则(1)；(2)．证(1)因为（）所以(2)[注]一般结论：若的全体特征值为,则的全体特征值为．例3设的特征值为,求．解设,则的特征值为故定理3设的互异特征值为,对应的特征向量依次为,则向量组线性无关．证采用数学归纳法．时,线性无关．设时,线性无关,下面证明线性无关．设数组使得左乘,利用可得：因为线性无关（归纳法假设）,所以代入可得．故线性无关．根据归纳法原理,对于任意正整数,结论成立．定理4设的互异特征值为,重数依次为,对应的线性无关的特征向量为,则向量组线性无关．（自证）§5.2相似对角化1．相似矩阵：对于阶方阵和,若有可逆矩阵使得,称相似于,记作．(1)：(2)：(3)性质1．性质2可逆,可逆,且．性质3（为正整数）．性质4为多项式,．性质5与的特征值相同证由可得2．相似对角化：若方阵能够与一个对角矩阵相似,称可对角化．定理5阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量．证必要性．设可逆矩阵使得即．划分,则有因为为可逆矩阵,所以它的列向量组线性无关．上式表明：是的个线性无关的特征向量．充分性．设线性无关,且满足,则为可逆矩阵,且有即．[注]的主对角元素为的特征值．推论1有个互异特征值可对角化．推论2设的全体互异特征值为,重数依次为,则可对角化的充要条件是,对应于每个特征值,有个线性无关的特征向量．例4判断下列矩阵可否对角化：(1),(2),(3)解(1)有3个互异特征值可对角化对应于的特征向量依次为,,构造矩阵,则有．(2)例1求得有3个线性无关的特征向量可对角化对应于的特征向量依次为,,构造矩阵,则有．(3),例2求得,对应于2重特征值,只有1个线性无关的特征向量不可对角化．

例5设,求．解例4求得,,使得：故（）§5.3实对称矩阵的相似矩阵目的：对于实对称矩阵,求正交矩阵,使得．此时,称正交相似于对角矩阵．1．实对称矩阵的特征值与特征向量的性质定理6．证设,,则有故即．[注]的解向量可取为实向量．约定：实对称矩阵的特征向量为实向量．定理7,特征值,特征向量依次为,则．证,故．例6设实对称矩阵的特征值,属于的特征向量依次为,,求．解设,由,可得该齐次方程组的一个非零解为．令,则有[注]2．正交矩阵：实矩阵满足时,称为正交矩阵．(1)是正交矩阵．(2)是正交矩阵．(3)是正交矩阵,即的列向量组是两两正交的单位向量．(4)是正交矩阵,即的行向量组是两两正交的单位向量．定理8存在正交矩阵,使得．（阅读83-85页）推论设,若是的重特征值,则对应于特征值一定有个线性无关的特征向量．（对比定理4）例7对下列矩阵,求正交矩阵,使得：(1),(2),(3)．解(1)对应于特征值的特征向量依次为,,（定理7保证它们两两正交）构造正交矩阵和对角矩阵：,则有．(2),属于的特征向量为．求属于的两个特征向量（凑正交）：,,（定理7保证它们两两正交）构造正交矩阵和对角矩阵：,则有．(3)求属于的3个特征向量（凑正交）：,,（它们两两正交）属于的特征向量为构造正交矩阵和对角矩阵：,则有．

3．典型题例8已知可对角化,是的2重特征值,求可逆矩阵,使得．解可对角化对应有两个线性无关的特征向量设,则有此时,求得,,令,则有．例9已知相似于,求和．解故．例10设的一个特征向量为,求的全体特征值与特征向量．解：,,对应只有1个线性无关的特征向量全体特征向量为第六章二次型变量的二次齐次多项式称为元二次型,简称为二次型．：称为实二次型（本章只讨论实二次型）：称为复二次型§6.1二次型的矩阵表示1．矩阵表示：令,则有其中,(1)与是一一对应关系,且．(2)称为的矩阵,称为对应的二次型．(3)称的秩为的秩,即．2．标准形：找可逆线性变换,即使得将二次型的标准形写为矩阵形式,矩阵描述：对实对称矩阵,找可逆矩阵,使得．3．合同矩阵：对于,若有可逆矩阵使得,称合同于．(1)合同于：(2)合同于合同于：(3)合同于,合同于合同于定理3合同于．证故．§6.2化二次型为标准形1．正交变换法设实对称,特征值为,则存在正交矩阵,使得作正交变换,可得例1用正交变换化为标准形．解的矩阵的特征多项式的两个正交的特征向量,的特征向量正交矩阵正交变换：标准形例2用正交变换化为标准形．解的矩阵的特征多项式求正交矩阵和对角矩阵,使得：,正交变换：标准形例3,秩．(1)求；(2)用正交变换化为标准形；(3)表示那类二次曲面？解(1)的矩阵（显见）(2)的特征向量依次为,,（两两正交）正交矩阵正交变换：标准形(3)：表