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n阶行列式的几种特殊计算方法

计算n阶行列方程是线性世代的一个重要问题和一个非常复杂的问题，其技术难度很强。理论上，任何n级行列方程都可以根据定义计算。当n较大时，n级行列方程的计算方法一般不可能直接基于定义计算。因此，有必要研究n级行列方程的计算方法。本文列出了几种特殊的计算方法，它们基本上可以解决n级行列方程的一般计算问题。1范得蒙行列式的性质例1计算行列式Dn+1,其中分析:该行列式与范得蒙行列式很相似,可以先利用行列式的性质把它变为范得蒙行列式再进行计算.通过相邻两行的交换,先把最后一行交换至第一行(交换n次),再将新的最后一行交换至第二行(交换n-1次),如此继续下去,经过n(n+1)2次交换后,原行列式变为范得蒙行列式.解:由范得蒙行列式的性质得2归纳法计算dn数学归纳法多用于证明题.用数学归纳法计算n阶行列式,需要对同结构的低阶行列式进行计算,从中发现规律并得出一般性结论,然后再用归纳法证明其正确性.例2计算行列式Dn+1,其中解:当n=0时,D1=a0;当n=1时,当n=2时,假设当n=k时,那么当n=k+1时,将Dk+2按最后一行展开可得所以综上可得3行列式变换类拉普拉斯定理是行列式按一行或一列展开定理的推广.在应用拉普拉斯定理时,为了计算上的方便,一般先利用行列式的性质对原行列式进行变形,再按含零多的k行或k列展开.例3计算行列式Dn,其中分析:如果从第3行开始每一行都减去第2行,再从第3列开始每一列都加到第2列,可使行列式中更多的元素为零.解:先按上述分析对行列式进行变换,再由拉普拉斯定理可得4采用矩阵特征值与行列公式之间的关系计算解:令矩阵显然bEn的n个特征值为b,b,b,,而An的n个特征值为,0,0,,0,故A的特征值为由方阵特征值与对应行列式的关系知5dn公式修正设αβ,是方程x2-ax+bc=0的两个根,则我们先证明这个特殊公式:将Dn按第1行展开,再将展开式中的第2个行列式按第1行展开,可得令α+β=a,αβ=bc,即αβ,是方程x2-ax+bc=0的两个根,则因α≠β,故Dn=[αn+1-βn+1](α-β).6型行列式的计算例6计算行列式Dn,其中i≠j时ai≠aj,解:在Dn中加1行1列可配成范得蒙行列式,即由于Dn是多项式Dn+1(y)中yn-1的系数的相反数,所以例7若a≠b,计算行列式解:构造新行列式例4计算行列式Dn,其中例5计算行列式Dn,其中解:解方程x2-2x+0.52=0得例8计算循环

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