九　空间中直线、平面的平行

10九空间中直线、平面的平行【基础必会练】1.已知向量a=(2,1,-5),b=(4,y,z),且a∥b,则y+z= ()A.-8 B.-12 C.8 D.12【解析】选A.因为向量a=(2,1,-5),b=(4,y,z),且a∥b,所以b=λa,则有4=2λy=λz=−5所以y+z=-8.2.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,1,1),则 ()A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α或l∥α D.l与α斜交【解析】选C.由题意,a·n=1×(-2)+2×1=0,所以a⊥n,故l⊂α或l∥α.3.(2022·温州高二检测)已知平面α的一个法向量是(2,-1,1),α∥β,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是 ()A.(4,2,-2) B.(2,0,4)C.(2,-1,-5) D.(4,-2,2)【解析】选D.平面α的一个法向量是(2,-1,1),α∥β,设平面β的法向量为(x,y,z),则(2,-1,1)=λ(x,y,z),λ≠0,对比四个选项可知,只有D符合要求.4.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,点E是棱B1C1的中点,点F(x,y,z)是平面AA1D1D上的点,且CF∥平面A1BE,则点F(x,y,z)满足方程 ()A.y-z=0 B.y-z-1=0C.2y-z-2=0 D.2y-z-1=0【解析】选C.如题图知B(2,0,0),E(2,1,2),A1(0,0,2),C(2,2,0),故=(-2,y-2,z),=(0,1,2),=(-2,0,2),设平面A1BE的法向量为e=(m,n,k),则,即n+2k令m=1,得n=-2,k=1,故平面A1BE的一个法向量为e=(1,-2,1),又·e=0,故有-2-2y+4+z=0,即2y-z-2=0.5.(多选题)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使l∥α的是 ()A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,0)D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)【解析】选CD.若l∥α,则a·n=0.A选项中a·n=-2,B选项中a·n=1+5=6,C选项中a·n=0,D选项中a·n=-3+3=0.6.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC中点,若平行六面体的各棱长均相等,则下列说法中正确的是()A.A1M∥D1PB.A1M∥B1QC.A1M∥平面DCC1D1D.A1M∥平面D1PQB1【解析】选ACD.连接PM(图略),因为M,P分别为AB,CD的中点,故PM平行且等于AD,由题意知AD平行且等于A1D1,故PM平行且等于A1D1,所以四边形PMA1D1为平行四边形,故A正确;显然A1M与B1Q为异面直线,故B错误;由A知A1M∥D1P,由于D1P既在平面DCC1D1内,又在平面D1PQB1内,且A1M既不在平面DCC1D1内,又不在平面D1PQB1内,故C,D正确.7.已知平面α的法向量是(2,3,-1),平面β的法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则λ的值为________.

【解析】因为α∥β,所以α的法向量与β的法向量也互相平行,所以24=3λ=−1−2,所以答案:68.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为________.

【解析】以点A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),设AB=a,AP=c,AD=b,则A(0,0,0),P(0,0,c),B(a,0,0),C(2a,b,0),故E(a,b2,c2),则=(0,b2,又=(a,0,0)为平面PAD的一个法向量,且·=0,BE⊄平面PAD,故BE∥平面PAD.答案:平行9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BB1的中点,求证:四边形AEC1F是平行四边形.【证明】以点D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),设该正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E(0,0,12),C1(0,1,1),F(1,1,12所以=(-1,0,12),=(-1,0,12),=(0,1,12),=(0,1,12),因为=,=,且F∉AE,F∉EC1,所以AE∥FC1,EC1∥AF,所以四边形AEC1F是平行四边形.10.如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE,求证:MN∥【证明】因为M在BD上,且BM=13BD所以=13=13+13,同理=13+13,又==-,所以=++=(13+13)++(13+13)=23+13=23+13,又与不共线,所以,,共面,因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.【能力进阶练】11.(2022·北京高二检测)已知直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则“m·n=0”是“l∥α”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为m·n=0,所以m⊥n,因为m·n=0,即m⊥n,不一定有l∥α,也可能l⊂α,所以“m·n=0”是“l∥α”的不充分条件,因为l∥α,可以推出m⊥n,所以“m·n=0”是“l∥α”的必要条件,综上所述,“m·n=0”是“l∥α”的必要不充分条件.12.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为 ()A.(1,1,1) B.(23,2C.(22,22,1) D.(24【解析】选C.连接OE(图略),设点M的坐标为(x,y,1),因为AC∩BD=O,所以O(22,22,0),又E(0,0,1),A(2,所以=(-22,-22=(x-2,y-2,1),因为AM∥平面BDE,所以∥,所以x−2所以M点的坐标为(22,2213.已知O为坐标原点,四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直线BD∥CA,并且与坐标平面xOz相交于点D,点D的坐标为________.

【解析】由题意可设点D的坐标为(x,0,z),则=(x-2,-2,z),=(0,-2,5).因为BD∥CA,所以x−2=0,z所以点D的坐标为(2,0,5).答案:(2,0,5)14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段AC的中点,点N是线段A1B上的点,若MN∥平面B1BCC1,则A1N=________A1B.

【解析】设=λ(0≤λ≤1),因为MN∥平面B1BCC1,所以存在实数x,y,使得=x+y,①又=-=λ-12(+)=λ(+)-12(+)=-12+λ+(λ-12),②比较①②,可知λ-12=0,即λ=1即点N是线段A1B的中点,所以A1N=12A1答案:115.如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明:(1)MN∥平面CC1D1D;(2)平面MNP∥平面CC1D1D.【证明】(1)以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1),由正方体的性质,知AD⊥平面CC1D1D,所以=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量,由于=(0,1,-1),则·=0×2+1×0+(-1)×0=0,所以⊥,又MN⊄平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D;(2)因为=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量,由于=(0,2,0),=(0,1,-1),则,即=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量,所以平面MNP∥平面CC1D1D.【创新拓展练】16.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的最小值为()A.2 B.322 C.3 D【解析】选B.以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),A1(2,0,2),=(-1,2