著名的15个平面几何定理

1、欧拉（Euler）线:同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半证明：利用向量，简单明了设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。v向量0H=向量0A+向量AH=向量0A+2向量OD （1）=向量0A+向量0B+向量BD+向量OC+向量CD=向量0A+向量0B+向量0C；而向量0G=向量OA+向量AG=向量0A+1/3（向量AB+向量AC） （2）=1/3［向量OA+（向量0A+向量AB）+（向量0A+向量AC）］=1/3（向量0A+向量0B+向量0C）.•••向量0G=1/3向量0H,•••0、G、H三点共线且0G=1/30H。2、九点圆:任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

证明：如右图所示位似变换。,△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为证明：如右图所示位似变换。连结HL并延长至L',使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。显然，zBHC=zFHE=180°-zA,所以/BD'C=zBHC=180°-zA,连结HL并延长至L',使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。又因为BC和HL'互相平分于L,所以四边形BL'CH为平行四边形。故zBL'C=zBHC=180°-zA,从而A，B，L'，C四点共圆。综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即厶ABC的外接圆。0。接下来做位似变换，做法是所有的点（。0上的九个点和点0本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL）,D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q,C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。0点变成了0H中点V。位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在。0上的九个点变成了在OV上的九个点，且OV的半径是。0的一半。这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。3、费尔马点：SE=183匠米CE=2.75砾AE-担米BP=273厘米CP=3.45哩来巳亠CP椚F713匡杲宰马点)ZBPC=12QSE=183匠米CE=2.75砾AE-担米BP=273厘米CP=3.45哩来巳亠CP椚F713匡杲宰马点)ZBPC=12QnZCPA=120°A ^APB-120^rr证明：如图，以△ABC三边为边向外作等边△ABD、△BCE、△ACF,连接CD、BF、AE交于点O,试证：O是费马点。证明：在厶ACD、△ABF中，AD=AB,zDAC=zBAF,AC=AF△ACD竺△ABF(SAS)zADC=zABF•••A、B、0、D四点共圆zAOB=120°。同理可得，zA0B=zA0C=zBOC=120。。过点A、B、C作0A、OB、OC的垂线交于三点R、S、T,易知△RST是正三角形在厶ABC内作异于O—点G,作RS、ST、RT的垂线GX、GY、GZ,连接GA、GB、GC。易用面积法得：OA+OB+OC=GX+GY+GZ。•••点到线之间，垂线段最短，.OA+OB+OC=GX+GY+GZ<GA+GB+GC•••点O是费马点。4、塞瓦（Ceva）定理:在厶ABC中，过AABC的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F,则BDCEAF =1;其逆亦真证明:（韵信）（詁"证明:BDS2.7S酬EA=2.33厘米AF=2.31迴煮汩-■^,4?.'5^:^DHHirwhDDAOdifXa；—L, U-J同理以上三式相乘，得5、密格尔（Miquel）点:若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、AAED、△bce、Adcf，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。证明：我们可以反过来思考这个问题，设M证明：我们可以反过来思考这个问题，设M是厶ABC外接圆上任意一点，D、E、F分别是AB、BC、CA直线上的点，如果使得D、B、M、E四点共圆，C、F、M、E四点共圆，A、F、M、D四点共圆，那么D、E、F三点必然共线。证明起来也很简单。只需要证明/DEB=ZCEF即可。•••A、B、M、C四点共圆zDBM=zFCM•••A、F、M、D四点共圆zBDM=zCFM即厶MBD-△MCF，zBMD=zCMF；•••D、B、M、E四点共圆zDEB=zBMD•••C、F、M、E四点共圆.zCEF=zCMF.zDEB=zCEF,即卩D、E、F三点共线。6、葛尔刚（Gergonne）点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F,则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

证明：•••AF=AE,BF=BD,DC=DE(切线长定理•••(AF/BF)x(BD/CD)x(CE/AE)=1•••AD、BE、CF三线共点(赛瓦定理的逆定理)7、西摩松(Simson)线：已知P为AABC夕卜接圆周上任意一点，PD丄BC,PE丄ACPF丄AB,D、E、F为垂足，贝VD、E、F三点共线,这条直线叫做西摩松线。证明：已知：AABC外接圆上有一点P,过P向三边所在直线作垂线，垂足分别是X、Y、乙求证：X、Y、Z三点共线。证明：如图，连接PB、PCvzAYP=zBXP=90°A、Y、P、X四点共圆，zAYX=zAPX同理C、Z、Y、P四点也共圆zZYC=zCPZ在AAXP和ACZP中zBXP=90°=zCZP，zPAX=zPCZzAPX=zZPC，zAYX=zZYCvzAYX+zXYC=180°zZYC+zXYC=180°•X、Y、Z三点在同一条直线上

10^帕普斯(Pappus)定理$已知点A2.Aa在直线h上，已知点在直线b上，且A1B2与AzBi交于点X,几民与AsBq交于点Y, 于AaB?交于点乙则X、Y.Z三点共线&杞普斯定埋.乩乩c.D杞普斯定埋.乩乩c.D、.E、F■分别是两条直捷上的0,AE.田。交于石、EF、匚或于H-AF.CD立二几則-G.人肝共蓋中田1〉讦注：i^AF^GH于F〔如图小-匸Q交于J”〔如国』)英迪比例花理得.GI1Hr^AFGSACDff * — ■HrGr^AFHSACDGSAAFGS^CFHShCDHSA^JJG « 9 VS£..1DGS^AFHSAGFHSACDGEFBCAEABDEABEFBCGJGI'"HIr~HV：.i\ra台；.AF^<?6GH共直,工点^F、t'D的交点J琏亘绕疗H上SfCsI-H菇堆Q.E.D9、笛沙格(Desargues)定理:已知在△ABC与厶A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点0,BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z则X、Y、Z三点共线；其逆亦真。OQ已知i^A|B|C|AlAAjBjCi中.A|A].B|B;,<?|G三OQ已知i^A|B|C|AlAAjBjCi中.A|A].B|B;,<?|G三銭妹直TO.若B,CnB：口交于XAiC]iA]C；3K于ifA|B|,a:b；3K于卫最诳』XsY、£三点典战证明：JSH中除了直毬就是直践，显擀翌用到禅涅劳哥定理的建定理.现在戏力观蛊总V、Z^^AnUiCi-起r曲祐口儿忆Blxc'v、要■证明的是 X * rZBtXCj丫街注tMZA^ftAOA^p得到OAjA(Z场比AiA：ZB,'Bi()_L同理OB2B|XC|CjUzUjKXC|"QO~LCjYA,A：yala2o三賞相舉，得到磐故：S、Y\比三点拄注B,XC.Y10、摩莱（Morley）三角形:在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、是正三角形，这个正三角形称为摩莱三角形。CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F,则三角形DDEA〔托动）DE=1.05厘米A〔托动）DE=1.05厘米EF=1一西厘米FD=1.05厘米摩莱三幅形为a,b,c,三内角为3a,3B，3丫，则证明：设厶ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为a,b,c,三内角为3a,3B，3丫，则在厶ABC中，由正弦定理，得AF=csinB/sin(a+B)。不失一般性，△ABC外接圆直径为1则由正弦定理，知c=sin3丫，所以AF=(sin3Y*sinB)/sin(60°-y)=[sinB*siny(3-4sin2Y)]/[1/2(^3cosY-siny)]=2sinBsiny(73cosy+siny)=4sinBsinysin(60°+y).同理,AE=4sinpsinysin(60°+B)AF:AE=[4sinpsinysin(60°+y)]：[4sinBsinysin(60°+B)]=sin(60°+Y)：sin(60°+B)=sinzAEF:sinzAFE•••zAEF=60°+y,zAFE=60°+B.同理得，CED=60°+aFED=180°-CED-(AEF-a-Y)=180°-60°-a-60°+a=60•△FED为正三角形。[1]11、帕斯卡（Paskal）定理:

已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G,边BC、EF延长线交于点H,边CD、FA延长线交于点K,则H、G、K三点共线证明：面积法：设AB交DE于G,BC交EF于I，CD交AF于H连接GI,设AF交GI于H'（如图1），CD交GI于H''（如图2）要证G、I、H共线，只需证AF、CD、GI交于一点现在只需证：GHGH"厂-亍，即证:GH'1屮共边定理+共角定理可得：GHJH" SACfn咛止乂 。SACfF ADx C.JxCT)CFxIFTTF^gTF二SAAll-XSACGi'^"SACH-XSAAnXSA/\J)GXSAC'GJj"(：Jx(J-X i'.DxDG命题得证12、托勒密(Ptolemy)定理：在圆内接四边形中，AB•CD+AD•BC=AC•BD/<R.rn-nA.Rc=iR4n厘米?AC-DB二10.49厘米2证明：（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）在任意凸四边形ABCD中（如右图），作厶ABE使/BAE=ZCAD乙ABE=ZACD,连接DE.贝仏ABE~△ACD所以BE/CD=AB/AC,即卩BE・AC=AB・CD(1)由厶ABE-△ACD得AD/AC=AE/AB,又/BAC=ZEAD,A§所以△ABC-△AED.A§BC/ED=AC/AD,卩卩ED・AC=BC・AD(2)

(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB・CD+AD・BC又因为BE+EDnBD(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)13、阿波罗尼斯(Apollonius)圆一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n,则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”证明：令B为坐标原点，A的坐标为(a,0).则动点P(x,y)PA满足=k(为实数，且不为±1满足=k(为实数，且不为±1)整理得(k2-1)(x2+y2)+2ax-a2=0当k不为±1时，它的图形是圆.当k为±1时，轨迹是两点连线的中垂线.16,梅内劳斯定理：在AA巳C中，茗在BC、CA.AB或其延长线上就同一拓直线» - .BXCYAZ截于点x-y.乙m—~~=1

.U 的.U 的三个］皿虫作直紺。的垂銭，则有 £AFAA1BDBBfCECC百一丽’芮一苛‘二式相乘得AFBDCEAA!BBrCC一y…M — ->-.'-X