专题03正方形的性质与判定（3个知识点8种题型1个易错点中考2种考法）（原卷版）

专题03正方形的性质与判定（3个知识点8种题型1个易错点中考2种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：正方形的定义知识点2：正方形的性质（重难点）知识点3：正方形的判定（重难点）【方法二】实例探索法题型1：由正方形的性质求角的度数题型2：由正方形的性质求线段的长度题型3：由正方形的性质证明线段相等题型4：由正方形的性质解决正方形的周长与面积问题题型5：正方形的判定题型6：正方形的性质与判定综合运用题型7：与正方形有关的动态问题题型8：与正方形有关的存在性问题【方法三】差异对比法易错点1正方形的性质运用不正确导致出错【方法四】仿真实战法考法1：正方形性质考法2：正方形判定【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：正方形的定义有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.知识点2：正方形的性质1.正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质．2.正方形四个角都是直角，四条边都相等.3.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.4.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心知识点3：正方形的判定1.从平行四边形出发：有一个内角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。2.从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形.3.从菱形出发：有一个内角是直角的菱形是正方形.例1.如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（）A．AB=AD且AC⊥BDB．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BDD．AC和BD互相垂直平分【方法二】实例探索法题型1：由正方形的性质求角的度数例2.（1）如图（1），已知P正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则度数是；（2）如图（2），正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OB延长线上一点，CE=BD，∠ECB的度数是_______．AABCDEO（2）（1）例3.正方形ABCD被两条分别与边AB、BC平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，求∠HAF的大小．AABCDEFGHP题型2：由正方形的性质求线段的长度例4.如图，已知有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC上的中点，将点C折到MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ．求：（1）MP的长；（2）PQ的长．题型3：由正方形的性质证明线段相等例5.如图，正方形ABCD的对角线AC上截取CE=CD，作EF⊥AC交AD于点F．求证：AE=EF=FD．AABCDEF例6.如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的任意一点，BF⊥AE，垂足为G，交CD于点F．求证：AE=BF．AABCDEFG例7.已知：Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CD上一点，且∠BAP=2∠QAD．求证：AP=PC+BC．AABCDPQ例8.已知：在正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．求证：MD=MN．AABCDEMNG题型4：由正方形的性质解决正方形的周长与面积问题例9.已知：如图边长为的正方形的对角线、交于点，、分别为、上的点，且．求证：（1）．（2）、分别在、延长线上，，四边形与正方形重合部分的面积等于．题型5：正方形的判定例10.如图所示，已知矩形ABCD的各内角平分线AQ、DF、BE、CH分别交BC、AD于点Q、F、E、H，试证明它们组成的四边形MNPO是正方形．题型6：正方形的性质与判定综合运用例11.如图，在线段上取一点，使，以、为边在同侧作正方形和，在上取，在的延长线上取一点，使．求证：四边形为正方形．题型7：与正方形有关的动态问题例12.如图（1）所示，四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组成的平面图形．如图（2）所示，点P是边BC上一点，PH⊥BC交BD于点H，连接AP交BD于点E，点F为DH中点，连接AF；（1）求证：四边形ABCD为正方形；（2）当点P在线段BC上运动时，∠PAF的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠PAF的值；若变化，请说明理由；（3）求证：．题型8：与正方形有关的探究问题例13.如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．例14.如图，在正方形中，点在边上（点与点、不重合），过点作，与边相交于点，与边的延长线相交于点．（1）由几个不同的位置，分别测量、、的长，从中你能发现、、的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论．（2）联结，如果正方形的边长为2，设，的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域．（3）如果正方形的边长为2，的长为，求点到直线的距离．【方法三】差异对比法易错点1：正方形的性质运用不正确导致出错例15.如图所示，菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得点P、Q、R、S分别为边AB、BC、CD、DA上的点．已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40．求矩形ABCD的周长．【方法四】仿真实战法考法1：正方形性质1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，2）2．（2022•广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）A． B． C．2﹣ D．3．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为（）A． B． C． D．4．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A． B．2 C．2 D．45．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+16．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50° B．55° C．65° D．70°7．（2022•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（）A． B． C． D．18．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．9．（2022•海南）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB＝°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是．10．（2022•黔东南州）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝cm．11．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．12．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．13．（2022•贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．（1）求证：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．14．（2022•遵义）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．（1）求证：△ADE≌△CDG；（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．15．（2022•恩施州）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F．求证：DF＝BE+EF．16．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．考法2：正方形判定17．（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．18．（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023·江苏常州·统考二模）如图，把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影面积为（

）A．2 B．4 C．9 D．162．（2023·上海崇明·统考二模）下列命题是真命题的是（

）A．四边都相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的矩形是正方形C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．（2023·浙江台州·统考一模）如图，学校为美化校园环境，决定在一个边长为10m的正方形花坛中，按图中所示的分布方式种植郁金香和雏菊．则种植郁金香的总面积是(

)A． B． C． D．4．（2023·辽宁本溪·统考一模）下列命题中，是真命题的有（

）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③对角线互相平分的四边形是平行四边形④对角线相等的菱形是正方形A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④5．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，已知正方形的边长为4，G是边中点，F在边上，且，则的长是（

）A． B． C． D．6．（2023·山东威海·统考一模）如图，正方形OABC的顶点A，C在坐标轴上，将正方形绕点O第1次逆时针旋转得到正方形，依此方式，连续旋转至第2023次得到正方形．若点A的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．7．（2023·山东济宁·统考一模）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M，N．若正方形的边长为n，则重叠部分四边形的面积为（）A． B． C． D．8．（2023·河北承德·统考一模）如图，在菱形中，、相交于点，、分别为和上的点（不与点、、重合）．其中．过点作，分别交、于点、；过点作分别交、于点、；连接、，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：甲：随着长度的变化，始终成立．乙：随着长度的变化，四边形可能为正方形．丙：随着长度的变化，四边形的面积始终不变，都是菱形面积的一半．下列选项正确的是（

）A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对C．甲、丙对，乙不对 D．甲不对，乙、丙对二、填空题9．（2023·吉林长春·校考二模）一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若，则的大小为______度．10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，正方形中，点分别在上，连接，请添加一个条件：___________，使．11．（2023·北京通州·统考一模）在中，，将一个直角尺的直角顶点O与边上的中点D重合，并绕点D旋转，分别交于点E、F，如果四边形恰巧是正方形，则的长度为__________．12．（2023·天津西青·统考一模）如图，点是正方形中延长线上一点，连接，点是的中点，连接，若，，则的长为______．13．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，四边形是边长为1的正方形，顶点A在x轴的负半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，若直线与边有公共点，则k的取值范围是____________．14．（2023·天津和平·统考二模）如图，已知正方形的边长为4，点为边上一点，，在的右侧，以为边作正方形，为的中点，则的长等于________．15．（2023·吉林长春·校考一模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，即赵爽弦图连结、，分别交、于点，已知，且，则图中阴影部分的面积之和为______．16．（2023·河南濮阳·统考一模）将大小不一的正方形纸片甲、乙、丙、丁放置在如图所示的长方形内（相同纸片之间不重叠），其中，若正方形“乙”的边长是m，阴影部分“戊”与阴影部分“己”的周长之差为___________．17．（2023·天津东丽·统考一模）如图，正方形的边长为4，点是边中点，垂直平分且分别交、于点、，则的长为______.18．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，在中，，，点在射线上运动，连接，将沿翻折得到，交射线于，如果是直角三角形，则的长为_____________；19．（2023春·安徽宣城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形的边长为2，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接．给出四种情况：①若G为上任意一点，则；②若，则；③若G为的中点，则四边形是正方形；④若，则．则其中正确的是_____．三、解答题20．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在中，，点D是边的中点．过点A、D分别作与的平行线，并交于点E，连结．(1)求证：四边形是矩形．(2)当四边形是正方形，时，______．21．（2023·山东泰安·统考二模）在正方形中，E是边上一点，在延长线上取点F，使．过点F作交于点M，交于点G，交于点N．(1)求证：；(2)若E是的中点，请判断与的数量关系，并说明理由．22．（2023·山西长治·统考一模）综合与实践问题情境：将正方形的边绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，的平分线交直线于点．(1)特例分析：如图1，当旋转角时，的度数为；(2)深入探究：如图2，当时．①求的度数；②求证：．23．（2023·河南周口·统考一模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：在正方形纸片的边上取一点E，沿折叠，得到折线，把纸片展平；操作二：对折正方形纸片，使点C和点E重合，得到折线把纸片展平．根据以上操作，判断线段的大小关系是______，位置关系是______．(2)深入探究如图2，设与交于点I．小华测量发现，经过思考，他连接，并作的高，尝试证明，．请你帮助完成证明过程．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形的边长为，当点I是的三等分点时，请直接写出的长．24．（2023·吉林长春·校考一模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画一个平行四边形．（1）平行四边形的面积为．（2）图、图所画图形不全等．（3）点、均在格点上．25．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接．(1)连接是等边三角形吗？为什么？(2)求证：；(3)①当M点在何处时，的值最小；②如图②，当M点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由．26．（2023春·江西抚州·九年级临川一中校考期中）如图，是正方形的边上一点，连接．请仅用无刻度的直尺完成画图．（保留画图痕迹，不写作法）(1)在图（1）中，平移线段，使点与点重合；(2)在图（2）中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．27．（2023·北京丰台·统考一模）在正方形中，点