三十一　双曲线及其标准方程的应用

9三十一双曲线及其标准方程的应用【基础必会练】1.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-5,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点的坐标为(0,2),则此双曲线的方程是 ()A.x24-y2=1 B.x2-C.x22-y23=1 D.【解析】选B.由已知条件,得焦点在x轴上,设双曲线的方程为x2a2-y2b则a2+b2=5.①因为线段PF1的中点的坐标为(0,2),所以点P的坐标为(5,4),将其代入双曲线的方程,得5a2-16b由①②解得a2=1,b2=4,所以双曲线的方程为x2-y242.下列选项中的曲线与x212-y224=1共焦点的双曲线是A.x224+y212=1 B.C.y226-x210=1 D.【解析】选D.与x212-y224=1共焦点的双曲线系方程为x212+λ-3.已知F1,F2是双曲线x24-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为 (A.1 B.52 C.2 D.【解析】选A.不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,则由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=|m-n|=4.又因为∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20,即m2+n2=20.又||PF1|-|PF2||2=|m-n|2=16,所以mn=2.所以△F1PF2的面积为S=12mn=14.已知双曲线C:x2-y23=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,M(0,2),则△PFM的周长的最小值为 (A.2+42 B.4+22C.32 D.26+3【解析】选A.依题意可知,c=2,a=1,所以|MF|=22,|PM|+|PF|=|PM|+|PF1|+2a(F1为左焦点),当M,P,F1三点共线时,|PM|+|PF1|最小,最小值为|MF1|,|MF1|=22,故周长的最小值为22+2+22=2+42.5.(多选题)已知双曲线8kx2-ky2=8的焦距为6,则k的可取值为 ()A.1 B.2 C.-1 D.-2【解析】选AC.由8kx2-ky2=8得x21k-y2若焦点在x轴上,则1k+8k=9k=c2=9,所以若焦点在y轴上,则方程可化为y2-8k-x2-1k=1,k6.(多选题)已知F1,F2为双曲线x24-y25=1的左、右焦点,双曲线上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离可以为A.3 B.6 C.14 D.7【解析】选AD.连接ON(图略),则ON是△PF1F2的中位线,所以|ON|=12|PF2因为||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,所以|PF2|=14或6,所以|ON|=12|PF2|=7或37.P为双曲线x2-y215=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为【解析】双曲线的两个焦点F1(-4,0),F2(4,0)分别为两圆的圆心,且两圆的半径分别为r1=2,r2=1,易知|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2+3=5.答案:58.椭圆y249+x224=1与双曲线y2-x224=1有公共点P,则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为【解析】由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5),F2(0,-5),由椭圆与双曲线的定义可得|所以|PF又|F1F2|=10,所以△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,所以周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=14+10=24,S△F1PF2=12|答案:24249.设声速为a米/秒,在相距10a米的A,B两哨所,听到炮弹爆炸声的时间差为6秒,求炮弹爆炸点所在曲线的方程.【解析】以直线AB为x轴,线段BA的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x,y),由题意可得||PA|-|PB||=6a<10a,所以炮弹爆炸点的轨迹方程为双曲线x29a210.在△ABC中,已知|AB|=42,且三个内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.【解析】以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-22,0),B(22,0).由正弦定理得sinA=|BC|2R,sinsinC=|AB|2R(R为因为2sinA+sinC=2sinB,所以2|BC|+|AB|=2|AC|,从而有|AC|-|BC|=12|AB=22<|AB|.由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).因为a=2,c=22,所以b2=c2-a2=6,即所求轨迹方程为x22-y26=1(x【能力进阶练】11.若双曲线x2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2n+2,则△PF1F2的面积为 A.1 B.12 C.2 D.【解析】选A.设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2n,已知|PF1|+|PF2|=2n+2解得|PF1|=n+2+n|PF2|=n+2-n则|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2n+1则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,所以S△PF1F2=12|PF112.(多选题)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离,那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹可能是 ()A.圆 B.直线C.椭圆 D.双曲线的一支【解析】选ACD.设动点为Q,圆C的半径为r.当A在圆C内且不与圆心C重合时,如图所示,平面内到定圆C的距离为|QB|,到定点A的距离为|QA|,依题意|QB|=|QA|,所以|QC|+|QA|=|QC|+|QB|=r>|CA|,所以Q的轨迹为椭圆,所以C正确.当A在圆C内且与圆心C重合时,Q点的轨迹即为圆C,所以A正确.当A在圆C上时,连接CA并延长,Q点的轨迹即为以C为端点的射线CA,如图所示.当A在圆C外时,设B是圆C上任意一点,连接AB,作线段AB的垂直平分线DQ,交直线BC于点Q.则|QA|=|QB|,所以|QC|-|QA|=|QC|-|QB|=r<|CA|,所以Q的轨迹为双曲线的一支,所以D正确.13.在平面直角坐标系Oxy中,已知△ABC顶点A(-5,0)和B(5,0),点C在双曲线x216-y29=1的右支上,则sinAA.23 B.-23 C.45 D【解析】选D.因为点C在双曲线x216-y29=1的右支上,且A(-5,0)和B(5,0)为双曲线的两个焦点,所以|又因为|AB|=10,所以由正弦定理得sinA-sinBsinC=14.从双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M是线段PF的中点,O为原点,则|【解析】如图所示,设双曲线的右焦点为F1,连接PF1,则|PF|-|PF1|=2a,在Rt△FTO中,|OF|=c,|OT|=a,所以|FT|=|OF|2-|OT又M是线段PF的中点,O为FF1的中点,所以|PF|=2|MF|=2(|MT|+b),所以|MO|=12|PF1|=12(|PF|-2=12(2|MT|+2b-2a)=|MT|+b-a即|MO|-|MT|=b-a.答案:b-a15.设圆C与两圆(x+5)2+y2=4,(x-5)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.(1)求C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点M(355,455),F(5,0),且P为L上动点.求||MP【解析】(1)两圆的圆心分别为A(-5,0),B(5,0),半径为2,设圆C的半径为r.由题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2,或|CA|=r+2,|CB|=r-2,两式相减得|CA|-|CB|=-4或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4.则圆C的圆心轨迹为双曲线,其中2a=4,c=5,所以a2=4,b2=1,所以圆C的圆心轨迹L的方程为x24-y2(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点,如图,连接MF并延长交双曲线于一点P,此时|PM|-|PF|=|MF|为||PM|-|FP||的最大值.又|MF|=(3所以||MP|-|FP||的最大值为2.【创新拓展练】16.已知△OFQ的面积为26,且·=m,其中O为坐标原点.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=(64-1)c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.【解析】设双曲线的