勾股定理中考真题汇总

勾股定理中考真题精选汇总二一、选择题〔2023年山西省〕如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°BC＝3,AC＝4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，那么CE的长为〔 〕3 7 252

6

6A

D．2DB C E【答案】B2．(2023年达州)图是一株秀丽的勾股树，其中全部的四边形都是正方形，全部的三角A、B、C、D3、5、2、3，那么最大E的面积是A．13 B．26 C．47 D．94【答案】C边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，那么所得几何体的外表积是〔 〕．A．168 B．24 C．84 D．125 54．(2023年湖州)如图，在正三角形ABC 中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，那么ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比等于〔 〕A．1∶3 B．2∶3 C．3∶2 D．3∶3A【答案】A FEB D C〔2023年广西钦州〕如图，AC＝AD，BC＝BD，那么有〔 〕A．ABCDC．ABCD相互垂直平分

B．CDABD．CD平分∠ACBCA BD【答案】A600米，AC＝800米，在社会主义农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，那么活动中心P 的位置应在〔〕A．AB中点 B．BC中点C．AC中点【答案】A∠CAB的交点3151020BC的距5，上只蚂蚁假设要沿着长方体的外表从点AB，需要爬行的最短距离是()A．521B．25C．105+5D．351 2 3 1 2 2 2,l，l3AC的长是〔A1 2 3 1 2 2 A．217B．25C．42D．7ACl1B l2l3那么⊙O的半径为〔 〕A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A〔2023年济宁市〕“赵爽弦图〞是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图〞飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长24．小明同学距飞镖板确定距离向飞镖板投掷飞镖〔假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上〕,那么投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域〔含边线〕的概率是1 1 1 1

4

5

10【答案】C〔2023白银市〕ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，那么BE＝〔 〕A．2 B．3 C．22 D．23【答案】C13．〔2023年烟台市〕如图，等边△ABC3，PBCBP＝1，D为AC上一点，假设∠APD＝60°，那么CD的长为〔 〕3 2 1 32 B．3 C．2 D．4AB P60°DC【答案】B〔2023年嘉兴市〕如图，等腰△ABCBCa，A＝36°，ABC的平分ACD，BCDBDE，设k

51DE＝〔▲〕2k2a B．k3a C．ak2

D．ak3ADEB C【答案】ADEFBC＝6DF的长是5〔A〕2〔B〕3 〔C〕2

〔D〕4【答案】B〔2023恩施市〕如图，长方体的长为151020B离点C的距离AB，需要爬行的最短距离是〔 〕A．521 B．25 C．1055 35【答案】BB 5C20A15 10恩施市〕16．如图6，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，那么直径AB的长是〔 〕2 3cm B．3 2cm C．4 2cm D．4 3cm【答案】D1 2 3 1 2 2 的三条直线l，l，l上，且l，l之间的距离为2,l，l之间的距离为3,那么AC1 2 3 1 2 2 A．2 17 B．2 5 C．4 2 D．7ACl1B l2l3【答案】A18．．〔2023年宁波市〕等腰直角三角形的一个底角的度数是〔 〕0°【答案】B

B．45° C．60° D．90°么边BC的长为〔 〕A．21

B．15 C．6 D．以上答案都不对DADB C武汉)9．如图，OABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，那么∠ADO+∠DCO的大小是〔 〕A．70° B．110° C．140° D．150°BOBOAD【答案】DAOC＝140°。〔2023重庆綦江〕如图，点A的坐标是(2,2)，假设点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，那么点P的坐标是〔 〕A．(4，0) B．〔1．0〕

，0〕 〔2，0〕2y2yy21Ax-101 2 3 4【答案】B〕20 B．30 C．35 D．40BA D C【答案】B〔襄樊市〕如图，直线AB∥C，DCF11且AEA那么A等于〔B 〕A．30 B．40 C．50 D．70EA F BC D解析：此题考察平行线的性质、等腰三角形的性质等学问，AB∥CDCF11所以EFBDCF11，AFE7AEAEAFE7A4，应选。【答案】B〔2023年贵州黔东南州〕如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，那么∠A等于〔 〕A．30o B．40o C．45o D．36o【答案】D年温如图中平分么交于点E，点D为AB的中点，连结DE，那么△BDE的周长是( )A．7+ 5 B．10 C．4+2 5 D．12【答案】B26．(2023年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如以以下图．剪得的纸条中有一张是正方形，那么这张正方形纸条是( )第4张 B．第5张C．第6张D．第7张【答案】CDE交AB于点D，交AC于点E，那么△BEC的周长为〔 〕A．13 B．14 C．15 D．16AD EB C【答案】A28.〔2023呼和浩特〕在等腰△ABC中，AB AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个局部，那么这个等腰三角形的底边长为〔 〕A．7 B．11 C．7或11 D．7或10二、填空题1．〔2023年重庆市江津区〕等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4cm，那么其腰上的高为 cm．【答案】23年泸州如图在边长为1的等边中中线与中线相交于点那么OA长度为 ．3【答案】3〔20232，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，过直角顶点C作1 1 1 11 1 1 1 CA⊥ABA，再过AAC⊥BCC，过C作CA1 1 1 11 1 1 1

，再过A

，…，这样始终做下去，得到了一组2 2 22

2CA

，…，那么CA＝ ，4 51 11 12 1 AC5 512 5

5，4．年滨州〕某楼梯的侧面视图如图4所示，其中AB4米，BAC3，C9，因某种活动要求铺设红色地毯，那么在B段楼梯所铺地毯的长度为 ．BA 30° C【答案】〔2+2 3〕米．〔2023年滨州〕等腰△ABC的周长为10，假设设腰长为x，那么x的取值范围是 ．【答案】2．5＜x＜5．(2023年四川省内江市)Rt△ABC的周长是4432，那么SAB＝ 【答案】8在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所度．【答案】70或207．(2023年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图〞的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，假设直角边AC＝6，BC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车〞，那么这个风车的外围周长〔图乙中的实线〕是 。【答案】76〔2023年湖南长沙〕如图，等腰△ABCABACAD是底边上的高，假设AB5cm，BC6cm，那么AD cm．AB D C【答案】4【解析】此题考察了等腰三角形的性质和勾股定理。依据等腰三角形的三线合一可得：BD1BC163(cm)，2 2ABDAB2BD2AD2,所以，AD AB2BD2 。〔2023襄樊市〕在△ABCABAC12cm，BC6cm，DBC的中点，PB1cmBAC的方向运动．设运动时间为t，那么当t 秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个局部，使其中一局部是另一局部的2倍．解析：此题考察等腰三角形中的动点问题，两种状况，①BP＝t，AP＝12-t，2〔t+3〕＝12-t+12+3t＝7；②PACPC＝24-t，t+3＝2〔24-t+3t＝17，717。【答案】717〔2023年浙江省绍兴市〕如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上假设它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65那么在大量角器上对应的度数 〔只需写出～的角度〕．【答案】50°是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙OC，AB＝3cm，PB＝4cm，那么BC＝ ．125〔贵州安顺〕图甲是我国古代著名的“赵爽弦图〞的示意图，它是由四个全等的Rt△ABCAC＝6，BC＝5，将四个直角三角6的直角边向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车〞，那么这个风车外围周长〔图乙中的实线〕是76．〔2023年浙江省湖州市〕如图，在Rt△ABCACBRtAB4，分别ACAC，BCS1，S2CSS的值等于1 2S1S2AB【答案】2π〔2023年宜宾如图以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形假设斜边AB＝3,那么图中阴影局部的面积为 ．AEHC B92．

F第12题图〔年长沙〕如图，AB是O的直径，C是O上一点，BOC4，那么A的度数为 ．CA BO答案：22°〔2023年长沙〕如图，等腰△ABCABACAD是底边上的高，假设AB5cm，BC6cm，那么AD cm．AB D C答案：417．(2023年湖州)如图，在Rt△ABC中，ACBRtAB4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为SS1 2

SS1

的值等于 ．CS1CS1S2【答案】2π依据图象猜测线段MN的长的最小值是 ．

1xlylyMON2【答案】22〔年漳州〕如图，在菱形ABCD中，A6，E、F分别是AB、AD的中点，假设EF2，那么菱形ABCD的边长是 ．【答案】4〔2023年重庆市江津区〕等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4cm，那么其腰上的高为 cm．【答案】2 3〔2023202010米AAB、C刚好在同始终线上，假设小明的身高无视不计，那么乙楼的高度是米．乙C？米B 甲20米A10米20米〔2023年安徽13长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角作业时调整为60°角〔如以以下图〕，那么梯子的顶端沿墙面上升了 m．【答案】2( 3 2)〔要cmA4个侧面缠绕nB，那么所用细线最短需要cm．B6cmA

3cm

1cm916n236916n23664n2〔2023年邵阳市〕如以以下图的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为2，那么这外圆锥的侧面积为 〔结果保存π〕。【答案】2π于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连结DM．在不添加任何关心线和字母的状况下图中的等腰三角形是 〔写出一个即可〕EMEMB D【答案】△MBD或△MDE或△EAD6〔△ABCD是BCDEAB于点E，DFAC于点F．假设BC2，那么DEDF ．3【答案】3AE FB D C三、解答题〔2023年崇左〕如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC,AD＝2,BC＝4，延BC到ECE＝AD．〔1〕证明：ΔBAD≌ΔDCE；〔2AC⊥BDABCDDF的值．ADB F C AD24题〕【关键词】在等腰梯形性质进展转化。【答案】〔1〕证明：

AD∥BCDADCE．ABCD是等腰梯形，BADCDA，BADDCE．〔2〕ADCAD∥B四边形ACED是平行四边形，AC∥DE．ACBDEBD．由〔1△BAD≌△DCE，DEBD．所以，△BDE是等腰直角三角形，即EDFFEFCCE．ABCDAD2，BC4，FC1．CEAD2DF3．年浙江省绍兴市〕如图，在△ABC中，ABABAC4，分别以AAC 为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使BADCAE9．〔1〕求DBC的度数；〔2BDCE．【关键词】等腰三角形的性质1〕D是等腰直角三角形，BAD所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,CBD＝70°+45°＝115°．＝,BADCAE9＝ΔBAD≌ΔCAE,BD＝CE．如图1OA的坐标为(0)，直线C经过点B(6)C(6)C绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形OABC，此时直线OABCBCP、Q．〔1〕四边形OABC的外形是 ，当9时，BP的值是 ；BQ〔22，当四边形OABCBy轴正半轴时，求

BP的值；BQ3，当四边形OABCBBC上时，求△OPB的面积．〔3〕在四边形C旋转过程中，当0≤18时，是否存在这样的点P和点，BP1BQP2yBByBBAPCQCAOxyBCAOAB C Q〕PA O x x2〕

3〕C

〔备用图〕【关键词】勾股定理【答案】解：〔1〕矩形〔长方形〕；BP4．BQ 7〔2〕①POCBO，PCOOB9，CPOCCP6，AB OA 6 89 7CP

，BPBCCP ．2 2同理△BCQ∽△BCO，CQBCCQ106，CQ BC 6 8CQ3，BQBCCQ11．BP7．BQ 22②在△OCP和△BAP中，OPCBPA，OCP90，OCBA，△OCP≌△BAP(AAS)．OPBP．BPx，在Rt△OCP中，(8x)262x2x25．4S

125675．△OPB

2 4 4〔3P和点QBP1BQ．2点P的坐标是P93 ，P

7 ． 6 61 2 2 4 对于第〔3〕题，我们供给如下具体解答，对学生无此要求．过点Q画QHOAH，连结OQ，那么QHOCOC，S S 1PQOC，S△POQ 21△POQ 2QH，PQOP．BPx，BP1BQ，2BQ2x，1PB左侧时，OPPQBQBP3x，在Rt△PCO(8x)262(3x)2，y yB BP B Q C CAHA O x A

A C PHCO x3 3x1

12

6，x2

1 6〔不符实际，舍去〕．2PCBCBP93 6，2P93 6． 1 2 2PB右侧时，OPPQBQBPx，PC8x．在Rt△PCO(8x)262x2x25．4PCBCBP8257，4 4P76．2 4 综上可知，存在点P93

6，

76，使BP

1BQ． 1 2 2 4 23．(2023年义乌)4ABC中，ADBC于点DAD为一ADE。〔1〕求ABC的面积S；〔2AC、DE的位置关系，并给出证明。【关键词】正三角形【答案】33解：〔1〕在正△ABC中，AD4 2 ，33233S1BCAD142 4 ．332 2〔2AC、DEACDE．在CDF中，CDE9ADE3，CFD18CCDE18639，AC⊥DE．〔2023著名的恩施大峡谷A和世界级自然保护区星斗山(B位于笔直的沪渝高速大路XAB50km，ABX的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速PAB两景区运送游客．小民设计了两种方案，图〔1APXPPAB的距离之和S PAPB，图〔2AXA，连接1BAXPPAB的距离之和S2

PAPB．〔1SS1 2

，并比较它们的大小；〔2〕请你说明S PAPB的值为最小；2〔3〕拟建的恩施到张家界高速大路Y3〕所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30kmX旁和YP、QPAB、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．YBPABPAXBAQAP X图〔1〕

图〔2〕

O P X图〔3〕【关键词】勾股定理、对称、设计方案【答案】:10〔1BBC⊥AP,C,PC＝40,AP＝10,∴AC＝302在Rt△ABC中，AB＝50AC＝30 ∴BC＝402CP2CP2BC2

402S2S1

104025024110〔2BBC⊥AAC，那么A′C＝5040250241∴BA”＝

10由轴对称知：PA＝PA”412∴S＝BA”＝10412∴S﹥S1 2(2)10〔2〕，在大路上任找一点M,MA,MB,MA”MA＝MA”∴MB+MA＝MB+MA”﹥A”B2∴S＝BA”为最小2〔3A作关于XA”,B作关于YB”，A”B”,XP,YQ,P,Q即为所求5A”、B”X轴、YG,510021002502

505∴所求四边形的周长为50505YBB”Q AP XA”〔2023年甘肃庆阳〕〔814Rt△OAB斜边OByOB＝4．〔1〕画出△OABO90°后得到的三角形；〔2OBOBB轨迹所围成的封闭图形的面积〕．14【关键词】平面直角坐标系；旋转【答案】8分解：〔1〕画图正确〔如图〕；〔2〕所扫过局部图形是扇形，它的面积是：90360

π424π．年河南〕如以以下图，∠BAC＝∠ABD,AC＝BDOAD、BCEABOEAB的位置关系,并给出证明．【关键词】等腰三角形的性质与判定【答案】OE⊥AB．证明：在△BAC和△ABD中，AC＝BD，∠BAC＝∠ABD，AB＝BA．∴△BAC≌△ABD．∴∠OBA＝∠OAB,∴OA＝OB．又∵AE＝BE,∴OE⊥AB．〔2023ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，EAB的中点，CE⊥BD。求证：BE＝AD；求证：ACED的垂直平分线；△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。〔4〕【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形1〕∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，∴∠1＝∠2∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝AC∴△BAD≌△CBE∴AD＝BE〔2〕∵EAB中点，∴EB＝EA由〔1〕AD＝BE得：AE＝AD∵AD∥BC∴∠7＝∠ACB＝45°∵∠6＝45°∴∠6＝∠7由等腰三角形的性质，得：EM＝MD，AM⊥DE。即，ACED的垂直平分线。〔3〕△DBC是等腰三角〔CD＝BD〕理由如下：由〔2〕得：CD＝CE由〔1〕得：CE＝BD∴CD＝BD∴△DBC是等腰三角形。〔2023年疆〕如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．〔1〕画出拼成的这个图形的示意图．〔2〕证明勾股定理．ccb bccccca accb bca a【关键词】勾股定理的验证【答案】方法一解：〔1〕如图baabaababccccbaba〔2〕证明：大正方形的面积表示为(a b)2,大正方形的面积也可表示为1 c24 ab,(ab)2c24 ab，a2b22abc22ab，1 2 2a2b2c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．方法二解：〔1〕如图〔2〕证明：大正方形的面积表示为：c2，

1ab4(ba)2,21c2 ab4(ba)2，c22abb22aba2，12c2a2b2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．9有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6现8m后等腰三角形绿地的周长．【关键词】勾股定理的应用【答案】在Rt△ABC中，ACB9ACBC6由勾股定理有：AB10Rt△AC扩大成等腰△AB1ABAD10CDCB6,得△ABD的周长为52ABBD10时，可求CD4,AD45

,得△ABD的5周长为2045

③如图ABADBD那么CDx由25,得△ABD80m．3 3A A AD C D C D C图1 图2 图3〔2023白银市〕13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，DAB边上一点，求证：〔1〕△ACE≌△BCD；〔2AD2DB2DE2．【关键词】全等三角形的判定、勾股定理:〔1ACBECD，ACDBCDACDACE．即∵BCAC,DCEC，∴△ACE≌△BCD〔2ACB是等腰直角三角形，∴BBAC45．∴DAECAEBAC454590．∴AD2AE2DE2．由〔1AE＝DB，〔2023年衡阳市〕如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．〔1〕求证：DA⊥AE；〔2ABDE是否相等？并证明你的结论．【关键词】等腰三角形、矩形DEDEC A F【答案】解：〔1〕证明：2AD平分BACBAD＝1BAC22AE平分BAFBAE＝1BAF2BACBAF180 BADBAE＝1(BACBAF)1180902 2DAE90DAAE〔2〕AB＝DE，理由是：ABAC

ADBCADB90AD平分BAC 四边形AEBD是矩形ABDEBEAEAEB90DAE90〔山东省临沂市〕如图，A，Bl〔l为东西走向〕两旁的两个村庄，AlAC＝1km，B村到大路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45 方向上．〔1A，B两村之间的距离；〔2〕为便利村民出行，方案在大路边建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距P的位置〔保存清楚的作图痕迹，并简要写明作法〕．ADADCl东B解：〔1AB与CD的交点为O，依据题意可得AB45°．△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．22AO ，BO2 ．222A，BABAOBO2

2

〔km〕．22B作直线lACE．易证四边形CDBE是矩形，22CEBD2．2在Rt△AEB中，由A45°BEEA3．23233232

3 〔km〕22

km．A NlO DlC PM B〔2〕作图正确，痕迹清楚．1

AB的长为半径作弧，两弧交于两点M，N，MN；②直线MN交l于点P，点P即为所求． 〔7分BC上(大路视为直线)，交通治理部门规定60千米50／时即3米／秒米处设置了一个监测点A8所示的直角坐标系中，点Ay轴上，BCx轴上，点BA60CA45°y轴上，AO为其中的一段．B和点C的坐标；一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒通过计算推断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：3 1.7)C处向西行驶，一辆小汽车在高等级大路上由A2速行驶过程中的最近距离是多少?中，OA＝100,∠BAO＝60°3．RtΔAOC中,∠CAO＝45°OC＝OA＝100,所以B(-100 3,0),C〔100，0〕〔2〕BC＝BO+CO＝100 3+100,100 3100181518>50,3所以这辆车超速了。〔3〕高大货车行驶到某一时刻行驶了x2x米，且两车的距离为y (100x)2(1002x)2＝5(x60)22023当x＝60时，y有最小值是202320 5米，答：两四相距的最近距离为20 5米．〔2023AB为一边的等边△ABC要求：用尺规作图，并写出、求作，保存作图痕迹，不写作法和结论〕A 19题图 B：求作：【关键词】等边三角形,尺规作图【答案】AB．求作：等边△ABC．1AC、BC1分〕CA B〔2023年重庆〕：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥ACFBCGABEAEAC．〔1BGFG；〔2ADDC2AB的长．FFGCE【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法1〕证明：ABC9DE⊥AC于点F，ABCAFE．ACAE，EAFCAB，ABAF．AG，AG＝AG,AB＝AF，Rt△ABG≌Rt△AFG．BGFG．〔2〕解：∵AD＝DC,DF⊥AC，1 1AF2AC2AE．E3．FADE3，AF 3．ABAF 3．DFG CE＝90°，DAB1△ACE≌△BCD2〕AD2DB2DE2．【关键词】全等三角形、勾股定理【答案】证明:〔1ACBECD，即ACE．∵BCAC,DCEC，∴△ACE≌△BCD．〔2ACB是等腰直角三角形，∴BBAC45．∴DAECAEBAC454590．AD2AE2DE2．由〔1AE＝DB，DB2DE2DB2DE2．20．(2023年湖州)P为△ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA12，那么点P叫做△ABC的费马点．〔1〕假设点P为锐角△ABC的费马点，且ABC6PAPC4，那么PB的值为 ；〔2〕如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACBBB′．BB′过△ABCPBB′＝PAPBPC．ACBACB【关键词】阅读理解题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合题3【答案】〔1〕2 ．3〔2〕AEPAEPCB证明：在B上取点P，使BPC12，APPBPEPC，连结CE．BPC12，EPC6，△ACBPCCPCE6CE＝12△ACBACBAC＝60，PCAACEACEECB＝60，PCAECB′，APCBCE12PAEB，APBAPCBPC12，P为△ABC的费马点，BB过△ABCPBB＝EBPBPEPAPBPC．以0为圆心B为半径作半圆与C边和B边分别交于点D点E连结． ’BD＝3DE的长；E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．【关键词】直角三角形、圆的性质，相像的判定，切线的性质，等腰三角形的判定1〕∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵DB为直径，∴∠DEB＝∠C＝90°，又∵∠B＝∠B ，∴△DBE∽△ABCDE BD DE 3ACAB 即359∴DE＝5。〔2OE，∵EF为半圆O的切线，∴∠DEO+∠DEF＝90°，∵∠AEF+∠DEF＝90°，∴∠AEF＝∠DEO，∵△DBE∽△ABC，∴∠A＝∠EDB，又∵∠EDO＝∠DEO，∴∠AEF＝∠A，∴△FAE是等腰三角形。OE，∵EF为半圆O的切线，∴∠AEF+∠OEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OE＝OB∴∠OEB＝∠B，∴∠AEF＝∠A∴△FAE是等腰三角形。A村到大路lAC＝1km，BlBD＝2km，BA村的南偏东45方向上．〔1A，B两村之间的距离；〔2〕为便利村民出行，方案在大路边建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距P的位置〔保存清楚的作图痕迹，并简要写明作法〕．北ADADClB【关键词】等腰直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图1AB与CD的交点为OAB45°．△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．2222AO ，BO2 ．222222

2

〔km〕．B作直线lACE．易证四边形CDBE是矩形，CEBD2．在Rt△AEB中，由A45°BEEA3．3232AB 32322A，B两村的距离为3 km．2〔2〕作图正确，痕迹清楚．ACACONDPMBA，B1AB的长为2半径作弧，两弧交于两点M，N，MN；MN交lPP即为所求．1．〔2023年中山〕如以以下图，△ABC是等边三角形，DAC的中点，延长BC到E，使CECD，〔1〕用尺规作图的方法，过DDMBE，垂足是M〔不写作法，保存作图痕迹〕；〔2BMEM．【关键词】等腰三角形，等边三角形【答案】解：〔1〕作图见以以下图，ADMB C E〔2〕△ABCDAC的中点，BD平分ABC〔三线合一〕，ABC2DBE．CECD，CEDCDE．又ACBCEDCDE，ACB2E．又ABCACB，2DBC2E，DBCE，BDDE．又DMBE，BMEM．36现在要将绿地扩大成等腰三角形，且扩大局部是以8m为直角边的直角三角形，求扩大后等腰三角形绿地的周长．【关键词】等腰三角形，勾股定理【答案】在Rt△ABC中，ACB9ACBC6由勾股定理有：AB10，扩大局部为Rt△AC扩大成等腰△AB种状况．1ABAD10时，可求CDCB6得△ABD32m．52ABBD10时，可求CD45

，得△A