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3专题提升练一1.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为22的正方形,平面PAC⊥底面ABCD,PA=PC=22.(1)求证:PB=PD;(2)若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点为点Q,则在线段BC上是否存在一点H,使得DQ⊥PH?若存在,求BH的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)记AC∩BD=O,连接PO,因为底面ABCD是边长为22的正方形,所以OA=OC=OB=OD=2.因为PA=PC,所以PO⊥AC,因为平面PAC⊥底面ABCD,且平面PAC∩底面ABCD=AC,PO⊂平面PAC,所以PO⊥底面ABCD.因为BD⊂底面ABCD,所以PO⊥BD,所以PB=PD.(2)存在.以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,由(1)可知OP=2.则P(0,0,2),A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(-2,0,0),M(0,-1,1),N(0,1,1),所以=(2,-1,1),=(0,2,0).设平面DMN的法向量为n=(x,y,z),因为·n=0,·n=0,所以2令x=1,可得n=(1,0,-2).记=λ=(2λ,0,-2λ),可得Q(2λ,0,2-2λ),所以=(2λ+2,0,2-2λ),由·n=0可得2λ+2-4+4λ=0,解得λ=13所以=(83,0,43)记=t=(-2t,2t,0),可得H(2-2t,2t,0),所以=(2-2t,2t,-2),若DQ⊥PH,则·=0⇒83(2-2t)+43×(-2)=0,解得t=12,所以BH=2故在线段BC上存在一点H,使得DQ⊥PH,此时BH=2.2.如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由【解析】(1)连接BD,交AC于点O,连接SO,则SO⊥平面ABCD.以O为原点,OB,OC,OS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设底面边长为a(a>0),则SO=62a所以S(0,0,62a),D(-22a,0,0),C(0,22a,0),B(所以=(0,22a,0),=(-22a,0,-62a因为·=0,所以OC⊥SD,即AC⊥SD.(2)存在.是平面PAC的一个法向量,且=(22a,0,62a=(0,-22a,62a=(-22a,22a,0)设=t(0<t<1),则=+=+t=(-22a,22a(1-t),62at).

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