福建省泉州市普通高中毕业班2021-2022学年高考数学一模试卷含解析

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先5．保持卡面清洁，使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。目要求的。，则ABC的面积为（）333A．B．3C．33D．232g(x)e(1e)xa（aR，e为自然对数的底数）Rf(x)f(x)x2，2．设函数,定义在上的函数f(x)满足xxx|f(x)f'(x)xx0时，．若存在1f(1x)xyg(x)x的一个零点，则实数且当，且x为函数020a的取值范围为（）ee,B．(e,)C．e[,)A．,D．2213．已知(2mx)(1)3的展开式m中的常数项为8，则实数（）xA．2B．-2C．-3D．3Bx|xx20，那么等于（）Ax|x1，集合4．已知集合ABA．x|x2x|1x0x|x1D．x|1x2B．C．5．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）10B．311C．38A．3D．3,满足不等式组则点所在区域的面积是x2y10,()5C．44D．5A．1B．2”7．2021年部分省市将实行“的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、312政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为1A．81B．41C．61D．21,x0x8．已知函数f(x)数的取值范围为（），若函数F(x)f(x)kx在R上有3个零点，则实klnx,x0x11111(,)2eA．(0,)B．(0,)2eC．(,)D．2eee9．已知全集UR，集合M{x|3x1}N{x||x|1}，，则阴影部分表示的集合是（）A．[1,1]C．(,3)(1,)D．(3,1)10．一小商贩准备用50元钱在去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则(3,1]B．一批发市场购买甲、乙两种小商品，乙每件进价元，甲商品每卖出甲每件进价4元，7购买甲、乙两种商品的件数应分别为（）A．甲7件，乙3件B．甲9件，乙2件C．甲4件，乙5件D．甲2件，乙6件xy221（a0，b0）的FlC左、右焦点，过的直线交于A、B两点，1FF11．已知、分别为双曲线C：12a2b2OABF|AF||BF|，则O为坐标原点，若，C的离心率为（2C．6）12A．2B．5D．7是公比为q的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（）qaa1a3a12．已知数列n2112D．1或121C．或A．B．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为___________．14．已知抛物线C:y24x，点为抛物线C上一动点，过点作圆M:(x3)y4的切线，切点分别为PP22a1,x015．已知函数fx，若关于的方程fxfx0恰有四个不同的解，则实数的取值范xax2lnx6x,x0围是______.xy20,2xy50,，则zx3y的最大值为___________.x,y16．已知实数满约束条件y1,三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。n12n12对一切nN成立.17．（12分）已知数列a满足：21a2a2a2a23nn123n（1）求数列a的通项公式；n1（2）求数列的前项和.nSaan2nn18．（12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照0,20，20,40，40,60，60,80，80,100分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男女总计11050（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有的把握认为是否为2299%“文科方向”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文ED和方差.科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望2nadbc参考公式：K2，其中nabcd.abcdacbd参考临界值：PKk0.100.050.0250.0100.0050.00120k2.7063.8415.0246.6357.87910.828019．（12分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城农村居民有30人.经常阅读与居民居住地有关？镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为城镇居民农村居民合计经常阅读不经常阅读合计10030200（2）从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的期望.n(adbc)2附：K2nabcd.(ab)(cd)(ac)(bd)，其中PKk0.100.050.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00120k2.7063.84110.8280x2cos，.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴C1Ox20．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）ysin4cos.Csin2为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为2（1）求的普通方程和的直角坐标方程；C1C2FAFBA，两点，与交于M，两点，求的取值范围.FMFN（2）若过点F(10)的直线与交于，lCCNB12fx2xexax.21．（12分）已知函数处的切线方程（Ⅰ）已知x2是fx的一个极值点，求fx0,f0曲线在fxalnxaR根的个数x（Ⅱ）讨论关于的方程.22．（10分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，其短半轴长为1，一个焦点坐标为(1,0)，点A在椭圆C上，点B在OAOB．直线上，且y2（1）证明：直线AB与圆xy1相切；22（2）设AB与椭圆C的另一个交点为D，当AOB的面积最小时，求的长．OD参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】由余弦定理可得a2bab7，结合2a=b1可得a，，b再利用面积公式计算即可.2【详解】，a2b37abab22得7ab2abcosCa2b2ab，由由余弦定理，，解得222ab112absinC123333.所以，ABCS222故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2．D【解析】x2，由题意判断出函数Tx的奇偶性，再对函数Tx求导，判断其单调性，进而可求先构造函数Txfx12出结果.【详解】构造函数Txfx12x2，因为fxfxx2，所以TxTxfx1xfxfxx0，2x2fx1222所以Tx为奇函数，Tx在,0上单调递减，当x0时，T'xf'xx0，所以所以Tx在R上单调递减.，1因为存在xxfxf1xx20所以fx1f1xx，20001所以TxT1x1x211x2x，22200000TxT1x，化简得00所以x1x，即x12000，令hxgxxexexax12ygxx的一个零点，x0因为为函数所以hx在x1时有一个零点2因为当x121时，h'xeeee0，x2所以函数hx在x1时单调递减，2由选项知a0，ae012，aaea又因为haeeaeee0，e1所以要使在hxx时有一个零点，2he1ea01e只需使a，解得，222，故选ea的取值范围为,所以D.2【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.3．A【解析】11(1)x(2mx)先求(1)的展开式，再分类分析中用哪一项与3相乘，将所有结果为常数的相加，即为3x(2mx)(11)3展开式的常数项，从而求出m的值.x【详解】(11)3展开式的通项为TCr1(1)rCr(1)rx3rr，xr1x33(2mx)2当取时，常数项为2C2，03(2mx)当取时，常数项为mC(1)3mmx11323m8，则m2.由题知故选：A.【点睛】(2mx)本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对所取的项要进行分类讨论，属于基础题.4．A【解析】求出集合，然后进行并集的运算即可.B【详解】Ax|x1Bx|2x0，∵，∴ABx|x2.故选：A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.5．B由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：11212232224，消去的三棱锥的体积为，232210∴几何体的体积V433，故选B.点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.6．C【解析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图：1直线2xy2021的斜率为2，直所以两直线垂直，角三角形，易得B(1,0)，线xy的斜率为，故BCD为直2D(0,1)，5151BDBC55.4，BC5所以阴影部分面积C(0,2)，BDS22222BCD故选：C.【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.7．B【解析】CC12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一1224甲同学所有的选择方案共有科即可，共有C3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率P31，12413故选B．8．B【解析】fx根据分段函数，分当x0，，x0转化将问题为k的零点问题，用数形结合的方法研究.x【详解】fxfxgx，令gx1,g'x20，在当x0时，，0是增函数，k0时，k1xkxxxx3x22有一个零点，fx12lnx,hx，令hxlnxlnx当x0时，kxxxx322当x(0,e)时，，在(0,e)上单调递增，＞h'(x)0h(x)当x(e,)时，，在(e,)上单调递减，＜h'(x)0h(x)所以当xe时，取得最大值1h(x)，2e因为F(x)f(x)kx在R上有3个零点，fx所以当x0时，k有2个零点，x如图所示：1所以实数k的取值范围为(0,)2e1综上可得实数k的取值范围为，(0,)2e故选：B【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.9．D【解析】N先求出集合N的补集，再求出集合M与UN的交集，即为所求阴影部分表示的集合.U【详解】x1}，N{xx1由UR，N{x||x|1}，可得U或又M{x|3x1}MN{x3x1}.所以U故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.10．D【解析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.【详解】4x7y50,zx1.8y，yxz559xz经过时，最大A(2,6).z显然当y9故选：D.【点睛】yx本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.11．D【解析】作出图象，取AB中点E，连接EF，设FA＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c＝7a2，进而得221到e的值【详解】解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF，FA＝AE＝EB，21设FA＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，1所以x＝2a，则EF2＝23a，由勾股定理可得（4a）2+（23a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，c7则ea故选：D．【点睛】本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有a,b,c中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.12．D【解析】由a，，aa成等差数列得2a=a+a2，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.13231【详解】122a=a+a2aq=aq+a2q=q+1，∴，∴q=1或q=-2由题意，∴2312111故选：D．【点睛】q是解题的关键，对于等比数列的通项公式本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求也要熟练．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．13【解析】根据题意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件，故得到此时输出的b值为13.故答案为13.22,41连接PM,MA,MB，易得MAPA,MBPB,PMAB，可得四边形PAMB的面积为PMABPAMA，2从而可得AB2PAMA414，进而求出PM的取值范围，可求得AB的范围.2PMPM【详解】1如图，连接PM,MA,MB，易得MAPA,MBPB,PMAB，所以四边形PAMB的面积为PMAB，且四21边形PAMB的面积为三角形PAM面积的两倍，所以PMABPAMA，所以2AB2PAMA4PM44124，PMPMPM2当PM最小时，AB最小，设点P(x,y)，则PMx6x94xx2x9，(x3)y222241422，8min所以当x1时，PM22，则ABmin当点P(x,y)的横坐标x时，PM，此时AB4，因为AB随着PM的增大而增大，所以AB的取值范围为22,4.故答案为：22,4.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.设gxfxfx，判断gx为偶函数，考虑x>0时，gx的解析式和零点个数,利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到a的范围.设则gx,00,在当x0时，gx2lnx6x3x2a1，x由gx0得a2xlnx6x23xx，3记hx2xlnx6x23x3x，218x120xhx2lnx12x9x3，hx，2增，而h10，故函数hx在0,所以hx在0,1减，在1,增，h12，当x时，hx时，hx0，，当x0因此gx的图象为因此实数a的取值范围是2,0.【点睛】本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.16．8【解析】xy20,y1,zzx3y,表示直线x3yz0在轴上的截距，y3由图可知当x3yz0P(1,3)经过点时截距最大，故的最大值为8.z故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。n3n5an2S17．（1）；（）4n1n2nn【解析】n22a2a2a2a（1）先通过n1求得a1，再由得n1n222，和条件中的式123nn11123子作差可得答案；2nn21aa111（2）变形可得，通过裂项求和法可得答案.nn2【详解】2a22a23a2nan122①，（1）1n1123n当n1时，2a2，11a1，1当n2时，2a2a2a2a1n1n222②，23n123n1①②得：2nan2n，nan，n适合a1，1故an；n1（2）aa1111，nn22nn2nn2S111213111111nn22435n11112n1n212n3n5.4n1n2【点睛】本题考查法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.Sn6182518．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，，.5【解析】（1）由频率分布直方图可得分数在60,80、80,100之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算K2的值，结合参考临界值表可得到结论；~B3,p，求出分布列，根据公式p.（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率由题意求出期望和方差.【详解】（1）由频率分布直方图可得分数在60,80之间的学生人数为0.012520200＝50，在80,100之间的学生人数为0.007520200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向80文科方向30总计11090男女4050总计12080200200805030402216.4986.635，又K1208011090所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.802.2005”的概率为p（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向3i2（22依题意知，所以i），所以的分布列为i0,1,2,3155~B3,PiCi3501232754368P12512512512526np3Dnp1p32121825所以期望E，方差.5555【点睛】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.257.（2）E(X)1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关【解析】（1）根据题意19．（填写列联表，利用公式求出K2，比较K2与6.635的大小得结论；5数据可得经常阅读的人的概率是，则5X~B5,，根据二项分布的期望（2）由样本公式计算可得；77【详解】解：（1）由题意可得：城镇居民100农村居民30合计经常阅读13070不经常阅读合计403014060200200(100304030)1406013070则K228.4776.635，所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.55X~B5,，所以随（2）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且77525机变量X的期望为E(X)5.77【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的数学期望的计算，考查运算求解能力，属于基础题．20．(1)见解析;(2)0，1.8【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用cosx,siny即可得CC12x1tcosytsinx2的直角坐标方程；（2）设直线l的参数方程为y1，利用韦达定理、直线参（t为参数），代入22数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.x24x；y2试题解析：（1）曲线的普通方程为C1Cy1，曲线的直角坐标方程为222x1tcos（2）设直线l的参数方程为（t为参数）ytsin又直线l与曲线：C2y2sin0.4x存在两个点交，因此x11sin221sint2tcos10FAFBtt则12y1可得联立直线l与曲线：C1222244x可得t2sin24tcosFMFNttsin21240，则联立直线l与曲线：Cy221FAFB10,即FMFN1sin21sin2141141sin2418sin2sin221．（Ⅰ）e1xy20；（Ⅱ）见解析2【解析】（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f(x)的一个极值点，得f'(2)=0建立方程求出a的值，结合导数的几何意义进行求解即可；（Ⅱ）利用参数法分离法得到ahxx2ex，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形xlnxfx2xexax，则f'x1xexa，（Ⅰ）因为fx极值点，所以f'20，即212ea0，因为x2是的一个所以ae2，f02，f'0e21，22（Ⅱ）因为gxlnxxx0，则g'x1x0，1x2ealnxxxx所以gx0,1在上是减函数上是增函数，在1,，gxg110，故，x1ex2lnx1所以ahxxx2ex，所以h'xxxlnxlnxx22