数学解题的教学

数学解题的教学一、解题教学概述数学解题教学包括数学例题教学和数学习题教学。例题教学是以教师为主导，引导学生将已学习的概念、命题应用于解决数学问题所提供的一种示范性活动；习题教学则是以学生为主体，依照或模仿例题，自己将已学习的数学知识应用于解决数学问题的实践性活动。数学解题教学是数学教学中的一项重要内容

1．解题教学的意义和功能

(1)因为数学概念、定理、公式、法则是一系列包摄程度较高的观念，具有一类数学对象的共同属性，因而可用于解决一系列的数学问题。通过解题活动，学生不仅可以加深对所学知识的理解，而且还能达到训练逻辑思维的目的，根据不同的教学目标编拟不同类型的题目，能够培养学生的思维品质，提高智能和发展能力。(2)数学概念、公式、法则、定理等是为了解决问题才产生和发展的，而用它们去解决问题却需要一定的技能，这种技能只有通过解题活动才能掌握，因此，解题教学能够帮助学生形成解决问题的技能。

(3)初学数学概念、定理、公式及法则时很容易造成对知识理解不深入，甚至产生错误的理解，而这些错误能充分地在解题活动中暴露出来，通过解题教学，教师能及时纠正和澄清学生的错误观念，使他们能正确和完整地掌握知识。(4)通过解题教学以及对学生的解题作业分析，可以测试学生的数学认知水平，了解和评估学生的数学能力状况，为教材分析和教法调整提供有用的参考数据.2．解题教学的基本要求(1)要使学生明确解题的目标和要求。解答数学题，有一定的具体要求，这就是：正确、迅速、表达清楚、简练。解题的正确性要求学生在解题过程中对列式、运算、推理、作图等都应准确无误，做到言必有据，理由充足和合乎逻辑。解题的迅速性指解题方法合理，能在规定时间内完成解题作业，这是解题者技能技巧熟练程度的体现。解题表达清楚、简练，要求解题的思路清晰、层次分明、书写规范。(2)要使学生熟悉解题步骤。解答数学题一般分为四个步骤：审明题意、探索解法、整理叙述和检查验算。教学中要培养学生认真审题的习惯，明辨条件和结论，挖掘隐含条件，能用数学语言表达自己的思维活动，运用联想、变通、归纳等方法去寻求合理的解题途径，用正确的表达方式书写解题结果，最后要检验结果是否正确，推理是否合乎逻辑，步骤是否完整，做到及时查缺补漏、纠正错误。

(3)要使学生掌握解题思想和方法。解决数学问题的过程中包含着丰富的数学思想和方法。数学思想方法可以指导学生形成正确的数学观念，从本质上把握数学知识体系的发生和发展过程，掌握不仅对于数学学习有用，而且具有一般意义的科学方法。因此，在解题教学中，要注重教会学生研究分析问题、思考和发现问题的方法，侧重启发学生的创造性思维，从掌握一般的、必要的解题模式、原则和方法入手，使学生逐步领会和理解数学思想方法。(4)要使学生养成解题后反思的习惯。当题目解答完后，还应当对解答过程进行回顾和反思，包括考虑：解题方法是否最好，是否还有其他解法，解决该题目所用的方法是否具有一般的意义，题目本身是否可以演变或引申出一些新的数学问题等。在解题教学中，教师应首先有这种意识，加强对学生的训练，长此以往，学生就会养成这种回顾、反思和探究问题的习惯。

二、解题教学的原则和方法解题教学应激发学生学习的主动性，让学生参与解题活动，在解题活动中提高数学能力，同时还要培养学生的探索精神和创新意识。具体地说，在解题教学中应遵循如下一些原则。1．解题教学要有明确的目的性例题和习题的选配，应有明确的目的性，或者用来阐明某一概念；或者用来揭示某一法则、性质的应用；或者用来强调书写规范和解题格式；或者用来突出某种解题方法等。因此，教师在备课时必须认真钻研例、习题，明确目的，在教学中做到有的放矢。例如，计算(x+3)(x+5)和(x-2)(x+4)时，学生很容易求得结果，但选这两个例题的目的主要不在于检验学生是否掌握了多项式的乘法法则，而是通过该例的解题结果，让学生从特殊到一般地去发现进而推得公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。

又如整系数一元二次方程2kx2+(8k+1)x＋8k=0有两个不相等的实数根，试确定k的最小值。

，对于一元二次方程实根的讨论，学生往往忽视二次项系数不为零的条件，为此，教师可以有目的地选这样的例题：这一条件推出k的最小值是零，忽视了此时二次项系数为零，造成解答

2．解题教学要有正确的示范性

所谓示范性，就是要让学生通过例题教学后，能够遵循和模仿基本的解题方法，掌握基本的解题模式和解题技能，同时能用正确的格式表述解答过程。例如，解方程组

其教学的示范性应突出两方面；一是化归策略，化分式方程为整式方程；二是突出换元方法。3．解题教学要有积极的启发性

解题教学中应遵循启发原则，引导学生积极思维，充分发挥学生的主体作用，切忌由教师包办代替。例如，可以采用层层设问启发。首先，让学生回忆解无理方程的一般方法：通过平方，化无理方程为整式方程。并让学生自己动手去解答。其次，教师引导学生分析以上解法，发现解答过程过于烦琐，计算量大，于是引导学生寻新的解法。经启发后学生发现采用换元法会使问题变得简单些，令可求得原方程的根为最后，再启发学生超越常规性思路，看能否从方程本身的结构特点上另寻求解题方法？问题考察的着眼点变了，学生又获得了新的启示，于是产

上述各种解法，都是在教师层层设问的启发下，学生通过积极思维而获得的，它不仅很好地解决了这一道题目，而且获得了解决一类问题的通法。在具体的教学中，要注意所设的问题和引导的方式必须是学生力所能及和易于接受的，所以在选例时，应当使问题的难度呈现出阶梯形式，由浅入深地展开教学内容，使解题教学真正达到启迪学生思维、训练解题技能和发展数学能力的目的。例如，为了使学生掌握“面积法”的证题思想，教师从三角形的面积公式入手，先引导学生归纳出三个结论：①两个三角形的底、高分别对应相等，则它们的面积相等。②两个三角形的面积相等，高对应相等，则它们的底边对应相等。③两个三角形面积相等且底相等，则它们的高对应相等。

然后构造难度成阶梯状的四个小题，启发学生逐步解决，形成一种由浅入深的思维引导过程。题1：如图7-8，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AB，垂足为F，DE⊥AC，垂足为E，DF=DE。求证：AB=AC。(考虑△ABD与△ACD的面积相等)

题2：如图7-9，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，DF⊥AB，DE⊥AC，F、E分别是垂足。试证DF+DE等于△ABC一腰上的高。(考虑△ABD面积+△ACD面积=△ABC面积)

题3：正三角形内任意一点到三边的距离之和等于该三角形的高。(如图7-10，考虑△BCP面积+△CAP面积+△ABP面积=△ABC面积)题4：如图7-11，在△ABC的三边上的高分别为ha，hb，hc，三

(考虑△ABC面积=△DBC面积+△DCA面积+△DAB面积)

4．解题教学要有适度的变通性在解题教学中，要使学生掌握一些必要的解题方法和模式，同时又要防止学生的思维定势，僵化地理解这些方法和模式。在学生获得某种基本的、常规的解题方法之后，教师应经常结合例、习题，将其进行适度的变通，通过改变原题目的条件、结论或解题方法，对题目进行横向或纵向延拓，从而加深学生对知识和方法的理解，培养思维的灵活性。一题多变是题目结构的变式，表现为题设、结论、图形或形式的变化，而题目的实质不变，以便从不同角度、不同方面揭示题目的实质。例如，证明等腰梯形判定定理“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”，除了采用课本上给出的“轴对称”方法外，还可以引导学生通过作如图7-12的几种辅助线方法去得到不同的证明。

例如，如图7-13，PA切圆于A，PA=PB，BCD是圆的割线，DP交圆于E，BE交圆于F，连结CF，求证：CF∥BP。

可将问题进行变化。①如果A、P、B三点共线，其余条件不变，那么CF∥BP是否仍然成立？②如果B点在圆内，割线BCD变为弦CBD，其余条件不变，那么CF∥BP是否仍然成立？③如果把CF∥BP作为条件，而PA=PB作为结论，所得的命题是否成立？5．解题教学要突出数学思想方法

数学问题解决中，蕴含着丰富的数学思想和方法，如转化思想、分类思想、化归思想、类比思想、数形结合思想等，这些思想中又包含着许多具体的数学方法，如换元法、消元法、割补法、参数法等等。在解题教学中，教师应帮助学生领会伴随着问题解决中的数学思想，使他们掌握必要的数学方法和解题策略。

2。若x∈(-∞，1]时，f(x)有意义，求a的取值范围。分析当x∈(-∞，1]时，f(x)有意义

该题目的解答体现了化归思想，教学中应当突出这一思想，并使学生掌握一定的化归策略和方法

三、应用问题的教法分析

应用问题指用数学理论或方法去解决现实生活中的一些实际问题。在中学数学教材中，主要包括列方程或不等式解应用题；解排列组合应用问题等。而列方程解应用题是初中数学的一个重要内容，也是学生初步接触数学模型方法、培养学生把实际问题转化为数学问题，并运用数学工具解决问题的能力的一个开端，因此这一内容是初中数学教学的重点和难点。下面就初中数学中的应用问题解题教学进行分析。列方程解应用问题的一般过程为：审题——设元——列方程——解方程——检验。每一个环节，学生都会表现出不同的心理特征，教学中应采用相应的措施和方法去进行处理。

(1)培养学生认真、仔细审题的好习惯。审题就是学生对思维对象的识记、理解，是解题的开端，为了使学生能充分理解题意，从问题中抽象出数量关系。在教学之前，教师应给学生复习一些有关的预备知识，如比例、分数的基本性质，几何形体的面积、体积公式，常见的数量与物理量之间的关系，单位换算等。同时，可以补充一些有关普通语言与数学语言互化的题型，为列方程作好预备工作。审题时教师要逐字逐句分析，使学生弄清题中所涉及的量，哪些是已知，哪些是未知的，所需求出的量是什么？从整体结构中分离出条件、关系和所求目标，设立合适的未知元。(2)使学生掌握列方程的一些方法。列方程是解应用题的关键，这一过程要求对已知量、未知量之间的数量关系进行正确的分析与综合，用数学语言准确地表述为方程式。由于所需的知识量较大，而且伴随着判断和推理的思维过程，所以学生往往会感到困难。教学中应从初中学生以形象思维为主的思维特点出发，采用一些宜于学生接受的、直观形象的分析方法，突破列方程这一难点。一般常用的方法有译式法、列表法、线示法和图解法等。译式法就是设立合理的未知元，将题目中关键性的语言、语句译成代数式，通过等量关系得出方程。列表法则是将题目的条件、关系及已知量、未知量列出恰当表格，便于分析关系，从而寻求等量关系列出方程。线示法：对于有关行程的问题，可采用线示法，即用线段表示题中的有关量及关系，直观、形象地找到等量关系。而有的问题，则可用图形或图示方法去揭示题中的数量关系。例5

全班45名学生中，有40人报名参加数学竞赛，有37人报名参加物理竞赛，现知该班中，同时参加这两个竞赛的人数是两种竞赛都不参加的人数的9倍，试求：报名参加两个竞赛以及两个竞赛都不参加的人数各是多少？

4人。4人。

(3)注意一题多解。教学中要注意引导学生从不同角度去对同一问题进行分析，探讨和寻求多种解题途径，以培养学生思维的广阔性。例6甲乙两个工程队合做一项工程，12天可以完工，如果甲队单独做5天后，乙队也来参加，两队再合做9天才完工，问两队单独完成这项工程各需多少天？分析若设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项

若设完成这项工程，甲、乙两队各需要x天、y天，则得方程组

若设甲队单独完成这项工程需要x天，每天完成的工程量为y，则

若设甲队单独完成这项工程需要x天，乙队每天完成的工程量为y，

若没甲队单独完成这项工程需要x天，每天完成的工程量为y，乙队单独完成这项工程需要z天，则得方程组(4)及时小结，归纳必要的解题模式。解应用问题，要根据具体的数量关系分析，用不