2023-2024学年广东省惠州市惠东荣超中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省惠州市惠东荣超中学高二（上）开学数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z满足z=21−iA.1 B.2 C.3 2.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(13,−2A.−223 B.−133.某水果店老板为了了解葡萄的日销售情况，记录了过去10天葡萄的日销售量(单位：kg)，结果如下：43，35，52，65，40，54，49，38，62，57.一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的葡萄尽量新鲜，又能60%地满足顾客的需求(在100天中，大约有60天可以满足顾客的需求)A.49 B.51 C.53 D.554.如图所示的正方形O′A′C′B′A.42cm2

B.8c5.在△ABC中，若2aA.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.不能确定6.m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n B.若m//n，n//α，则m/7.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2高为23的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为(

)A.16 B.163 C.188.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若a2+c2+A.34 B.34 C.3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.现有一组数据：a1，a2，…，a2023(a1<a2<A.k=a1012

B.m=a1012

C.新数据：a1+2，a2+2，a3+2，…，a202310.若向量a，b满足|a|=|b|A.a⋅b=1 B.a与b的夹角为π3

C.a⊥(11.函数f(x)=AA.直线x=−2π3是函数f(x)图像的一条对称轴

B.函数f(x)的图像关于点(−π6+kπ12.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=BA=2，ACA.三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积为32+3

B.三棱柱A三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z满足z2+2z+3=14.陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径AB=6cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高C15.将曲线y=sinx上所有点向左平移φ(φ>016.某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，现测得∠DAB=75°，∠ABD=60°，AB=48

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)设向量a=(1)若向量a−λb与向量(2)若向量b+μc

与向量18.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC19.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=cos2x+23sinxcosx−20.(本小题12.0分)

我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样获得了某年100户家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0,2)、[2,4)、[4,6)、[6,8)、[8,10]21.(本小题12.0分)

如图，三棱锥V−ABC中，VA=VB=AB=AC=22.(本小题12.0分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB−sinC)2=sin2答案和解析1.【答案】D

【解析】解：z=21−i+i=2(1+i)2.【答案】B

【解析】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(13,−223)，

∴由任意角的三角函数的定义可得，cosα=13，3.【答案】C

【解析】解：将过去10天葡萄的日销售量从小到大排列：35，38，40，43，49，52，54，57，62，65，

由题意可知即求这10个数据的第60百分位数，

因为10×60%=6，

故这10个数据的第60百分位数为52+542=53，

即每天大约应进53千克葡萄．

故选：C．4.【答案】C

【解析】解：由于原几何图形的面积：直观图的面积=22：1，

又∵正方形O′A′C′B′的边长为2cm，

∴正方形O′A′C′B′的面积为4cm2，5.【答案】A

【解析】解：△ABC中，2acosB=c，

由正弦定理得2sinAcosB=sinC6.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交或异面，A错误；

对于B，m可能在平面α内，B错误；

对于C，m可能在平面β内，C错误；

对于D，垂直于同一直线的两个平面平行，D正确；

故选：D．

根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．

本题考查空间直线、平面间的位置关系，注意线面平行、垂直的性质以及判断方法，属于基础题．7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查棱台体积的求法，考查祖暅原理的应用，是基础题．

由已知求出正六棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解．【解答】

解：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，

∵正六棱台的上下底面边长分别为1和2，

则S1=6×12×1×1×8.【答案】A

【解析】解：由a2+c2+ac=b2，得cosB=a2+c2−b22ac=−12，

∵0°<B<180°，∴B=1209.【答案】AC【解析】解：对于A选项，因a1<a2<a3<⋯<a2023，

样本数据最中间的项为a1012，由中位数的定义可知，k=a1012，A正确；

对于B，不妨令an=n(n=1,2,…,2022)，a2023=2024，

则m=2022(1+2022)2+20242023=1011×2023+20242023>1012=a1012，B错误；10.【答案】BC【解析】解：选项A，由|a+b|=(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=2+2a⋅b=3，

可得a⋅b=12，故A错误；

选项B，又cos〈a,b〉=a⋅b|a11.【答案】BC【解析】解：由图象可知，A=1，且14T=7π12−π3，则函数f(x)的周期T=π，

所以ω=2πT=2，

又f(7π12)=−1，则2×7π12+φ=2kπ+3π2,k∈Z，

而|φ|<π2，

则k=0,φ=π3，12.【答案】BC【解析】解：对于A，因为在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=BA=2,AC=2,AA1=3，

所以三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积为(2+2+2)×3=62+6，所以A错误；

对于B，因为BC=BA=2,AC=2，所以BC2+BA2=AC2，

所以△ABC为以B为直角顶点的等腰直角三角形，

所以三棱柱ABC−A1B1C1的外接球半径r=12+(32)2=132，

所以外接球的表面积为13π，所以B正确；

对于C，因为B1C1//BC，B1C1⊄平面BCD，BC13.【答案】3

【解析】解：因为z2+2z+3=0，

由求根公式可得z=−1±2i，z−=14.【答案】60π【解析】解：由于圆锥的高为4，圆锥的底面直径为6，

所以圆锥的母线长为32+42=5，

故圆锥的表面积S侧=π⋅3⋅5=15π，

圆柱的侧面积S15.【答案】π

【解析】解：将曲线y=sinx上所有点向左平移φ(φ>0)个单位，可得y=sin(x+φ)，

因为y=sin(x+φ)与16.【答案】24【解析】解：根据题意可知，在△ABD中，∠DAB+∠ABD+∠ADB=180°，可得∠ADB=45°，

利用正弦定理可得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD，即A17.【答案】解：(1)∵a=(1,2)，b=(2,1)，c=(−2,1)，

向量a−λb=(【解析】本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．

(1)由题意利用两个向量平行的性质，求得λ的值．

(218.【答案】(1)证明：连接OE，∵O，E分别是AC，PC的中点，∴OE//PA，

又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，

∴PA//平面BDE．

(2)解：取OC中点F，连接EF，

∵E是PC【解析】(1)连接OE，由三角形中位线定理可得OE//PA，再由直线与平面的判定定理可判定PA//平面BDE；

(2)取O19.【答案】解：(1)∵f(x)=cos2x+23sinxcosx−sin2x=cos2x+3sin2x=2sin【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可得f(x)，由周期公式可得；

(2)根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解；

(20.【答案】解：(1)由频率分布图可知，全市家庭月均用水量平均数的估计值为：

x−=1×0.12+3×0.22+5×0.36+7×0.18+9×0.12=4.92(t)；

(【解析】(1)将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得乘积全部相加可得样本数据的平均数；

(2)设全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值为m，分析可知m21.【答案】解：(1)取线段AB的中点E