2023-2024学年福建省福州市连江县黄如论中学高一（上）入学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州市连江县黄如论中学高一（上）入学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知全集U={1,2,3,4,5}，A∩B={2,4}，A∪B={1,2,3,4}，则(

)A.2∈A，2∉B B.3∈A，3∈B C.4∈A，4∉B D.5∉A，5∉B2.化简二次根式−8a3的结果为A.−2a−2a B.2a2a C.3.不等式3−x2x+1≥1的解集是(

)A.{x|−12<x≤3} B.{x|−12<x≤24.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是斜边AB的中点，点G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，那么GE的长为(

)A.1 B.2 C.3 D.5.直角三角形ABC中，AB是斜边，AC=15，高CH把AB分为AH和HB两段，HB=16，那么△ABC的面积是(

)A.120 B.144 C.150 D.2166.已知全集U=R，集合A={x|x≤−2或x≥3}，B={x|x<−1或x>4}，则集合(∁UA)∩B=A.{x|−2≤x<4} B.{x|−2<x<3}

C.{x|−2<x<−1} D.{x|x<−1或x>4}7.已知关于x的一元二次不等式x2−(a+1)x+a≤0的解中有且仅有4个正整数，则a的取值范围是(

)A.−3≤a<−2 B.−3<a≤−2 C.4<a≤5 D.4≤a<58.已知−1≤x+y≤4，2≤x−6y≤3，则z=6x−8y的取值范围是(

)A.1≤z≤20 B.0≤z≤22 C.1≤z≤22 D.2≤z≤209.将下列多项式因式分解，结果中含有因式(x+2)的是(

)A.2x2+4x B.3x2−1210.若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(

)A.若ab≠0且a<b，则1a>1b B.若0<a<1，则a2<a

C.若a>b>0且11.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，则下列结论中，正确结论的序号是A.a>0

B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<−4}

C.不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|x<−12.下列结论正确的是(

)A.设a>0，则a3+1a2的最小值是2a

B.当x>1时，x+1x的最小值是2

C.当x>0时，二、非选择题（共40分）13.已知A={x∈N|0≤x<3}，则集合A的真子集的个数为______．14.不等式组|1−2x|≤5|2x−3|>1的解集为______．15.已知函数y=ax2+4x+3，若关于x的不等式ax2+4x+3>0的解为b<x<1，则a=______，16.已知△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，AB边上的高CD=26，则△ABC内切圆的半径为______．17.集合A={x|ax−1=0}，B={x|x2−3x+2=0}，且A∪B=B，则a的值是______18.已知x1，x2是一元二次方程x2+mx+5=0的两个实数根，若x1，x2满足x119.已知集合A={x|a−1<x<2a+4}，B={x|x2−4x−12<0}，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围为______20.用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积为______．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因为全集U={1,2,3,4,5}，A∩B={2,4}，A∪B={1,2,3,4}，

则2∈A，2∈B，故A错，3∉A∩B，故B错，4∈A∩B，则C错误，5∉A∩B，故D正确，

故选：D．

根据交集、并集的定义可接．

本题考查交集、并集的定义，属于基础题．2.【答案】A

【解析】解：因为−8a3≥0，所以a≤0，所以−8a3=2|a|−2a=−2a3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题．

由题意可得(3x−2)(2x+1)≤02x+1≠0【解答】

解：3−x2x+1≥1⇔3−x2x+1−1≥0⇔2−3x2x+1≥0⇔3x−22x+1≤0⇔(3x−2)(2x+1)≤04.【答案】B

【解析】解：连接BG并延长交AC于F点，

∵G点是△ABC的重心，∴GF=13BF，

∵EG⊥AC，∴EG//BC，∴GFBF=GEBC=13，

∵BC=6cm，5.【答案】C

【解析】解：由射影定理得，AC2=AH⋅AB，

则152=AH×(AH+16)，解得AH=−25(舍去)，或AH=9，

∴AB=AH+HB=25，

由勾股定理得，CH=AC2−AH2=12，

∴△ABC的面积=6.【答案】C

【解析】解：由题意可知，∁UA={x|−2<x<3}，

∵B={x|x<−1或x>4}，

∴(∁UA)⋂B={x|−2<x<−1}．

故选：C7.【答案】D

【解析】解：由x2−(a+1)x+a≤0，得(x−a)(x−1)≤0，

因为关于x的一元二次不等式x2−(a+1)x+a≤0的解集中有且仅有4个正整数，

所以a>1，不等式的解为1≤x≤a，且4≤a<5，

故选：D．

先求解不等式，根据解集中正整数的个数确定8.【答案】B

【解析】解：已知−1≤x+y≤4，2≤x−6y≤3，

设z=6x−8y=λ(x+y)+μ(x−6y)，可得到λ+μ=6,λ−6μ=−8, 解得λ=4,μ=2,

故z=6x−8y=4(x+y)+2(x−6y)．

∵−1≤x+y≤4，∴−4≤4(x+y)≤16，∵2≤x−6y≤3，∴4≤2(x−6y)≤6，

∴0≤z≤22．

故选：B．

设z=6x−8y=λ(x+y)+μ(x−6y)，推出z=4(x+y)+2(x−6y).结合已知条件，转化求解即可．9.【答案】ABD

【解析】解：A.原式=2x(x+2)，符合题意；

B.原式=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)，符合题意；

C.原式=(x−2)(x+3)，不符合题意；

D.原式=(x−2+4)2=(x+2)2，符合题意．10.【答案】BCD

【解析】解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误，

对于B，结论等价于a(a−1)<0，成立，故B正确，

对于C，结论等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确，

对于D，结论等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确．

故选：11.【答案】AD

【解析】解：已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}，

则a>0−ba=3+4ca=3×4，

即b=−7a，c=12a，a>0，

对于选项A，由上可知，选项A正确；

对于选项B，bx+c>0等价于−7ax+12a>0，又a>0，即x<127，即选项B错误；

对于选项C，cx2−bx+a<0等价于12ax2+7ax+a<0，即12x2+7x+1<0，解得：−13<x<−14，即选项C错误；

对于选项D，a+b+c=a−7a+12a=6a>0，即选项12.【答案】CD

【解析】解：于选项A：∵2a不是定值，∴2a不是a3+1a2的最小值，故选项A错误；

对于选项B：当x>0时，由基本不等式可得x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，

但x>1，故取不到等号，故2不是x+1x的最小值，故选项B错误；

对于选项C：当x>0时，由基本不等式可得x+1x≥2x⋅1x13.【答案】7

【解析】解：由题意得，集合A中含有0，1，2三个元素，所以集合A的真子集个数为23−1=7．

故答案为：7．

根据题意得到集合A中元素的个数，然后求真子集的个数即可．14.【答案】{x|2<x≤3或−2≤x<1}

【解析】解：由不等式组|1−2x|≤5|2x−3|>1可得−2≤x≤3x>2或x<1，

解得2<x≤3或−2≤x<1，

故原不等式组的解集为{x|2<x≤3或−2≤x<1}．

故答案为：{x|2<x≤3或−2≤x<1}．15.【答案】−7

−3【解析】解：由关于x的不等式ax2+4x+3>0的解为b<x<1，

可得对应方程ax2+4x+3=0的两个根为1和b，

将x=1代入方程可得a+4+3=0，解得a=−7，

所以原不等式可化为−7x2+4x+3>0，即(7x+3)(x−1)<0，解得−37<x<1，

所以b=−37．

故答案为：−7；−316.【答案】2【解析】解：设内切圆的半径是r，

∵S△ABC=12AB⋅CD=12(AB+BC+AC)⋅r，

∴12×6×26=117.【答案】0或1或12【解析】【分析】

本题以方程的解集为例，考查了集合包含关系的判断及应用，属于基础题．在解决一个集合是另一个集合子集的问题时，应注意不能忽略空集这一特殊情况而致错．

解一元二次方程，可得集合B={x|x=1或x=2}，再由A∪B=B得到集合A是集合B的子集，最后分析集合A的元素，可得a的值是0或1或12．

【解答】

解：对于集合B，解方程可得B={x|x=1或x=2}，

∵A={x|ax−1=0}，且A∪B=B，

∴集合A是集合B的子集，

①a=0时，集合A为空集，满足题意；

②a≠0时，集合A化简为A={x|x=1a}，

所以1a=1或1a=2，

解之得：a=1或a=12，

综上所述，可得a的值是0或1或18.【答案】−9【解析】解：因为一元二次方程x2+mx+5=0有两个实数根x1，x2，所以Δ=m2−4×5≥0，即m2≥20．

由一元二次方程根与系数关系，可得x1+x2=−m，x1x2=5>0，则x1，x2同号．

①当x1，x2都为负数时，可得x1+x2=−mx1=−2x2−3，解得x1=−2m+3x2=m−3，

所以(−2m+3)(m−3)=5，即2m2−9m+14=0，此时Δ=92−4×2×14<0，方程无解；

②当x1，x219.【答案】(−∞,−3]⋃[7,+∞)

【解析】解：因为B={x|x2−4x−12<0}=(−2,6)，

①当A=⌀时，a−1≥2a+4，解得a≤−5，符合题意，

②当A≠⌀时，则a−1<2a+42a+4≤−2或a−1<2a+4a−1≥6，

解得−5<a≤−3或a≥7，

综上所述，实数a