物理05振动与波动基础6 7

1第五章振动和波动基础5.1简谐振动*5.2阻尼振动*5.3受迫振动共振5.4平行简谐振动的合成5.5垂直简谐振动的合成5.6波的基本概念5.7机械波的波函数5.8波的能量和强度5.9波的衍射5.10波的干涉5.11驻波5.12声波和声速5.13多普勒效应25.6波的基本概念3波动是一种常见的运动形式将石子投入水中水面激起波纹由中心向四周传播波动水面上飘浮一片树叶树叶随波上下起伏水面各点做振动，不随波向外运动向外传播的是什么？水面各点的振动状态能量例如：4波(Wave)向外传播的是波源的振动状态和能量有传播速度、伴随能量的传播能产生反射、折射、干涉及衍射等波动特有的现象波动的特征波动是振动状态的传播过程波动可以分成两大类：机械波(mechanicalwave)电磁波(electromagneticwave)5当任一质元在外界作用下偏离平衡位置时，邻近质元作用的弹性回复力就会使它发生振动；同时，这些邻近质元又受到该质元及其它邻近质元的弹性力作用，也会振动起来。在宏观上，可将气体、液体或固体当作连续弹性媒质，其体内各个相邻的质元间以弹性力维系着。于是振动相互耦合，由近及远、由此及彼地传播开去。这种机械振动在物质中的传播称为机械波。机械波是机械振动在弹性媒质中的传播。5.6.1波动的产生和传播（以机械波为例）形成机械波的两个条件：波源（激发波动的振动系统）弹性媒质（但电磁波可以在真空中传播）6根据各点的振动方向与波的传播方向的关系，可以把波分为两类：横波——振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波——振动方向与传播方向相同，如声波混和波——横波与纵波的混和，如水波5.6.2波的分类709-4-横波.swf809-4-纵波.swf91、波动传播的是振动状态媒质中各点都在自己的平衡位置附近振动不是随波前进各点振动频率＝波源频率注意103、振动状态在空间的传播需要时间振动状态传播的速度：波速。机械波的波速决定于媒质的性质。由于振动状态由振动的相位决定，波动也可以说是振动相位的传播，波速也称为相速。2、振动是具有能量的，波动过程伴随着能量的传播任一质点既要从前面的质点接受能量，同时又要把能量传给后面的质点。注意11描述波动传播的几个常用概念波面：同一时刻不同波线振动相位相同的点的轨迹。波前（波阵面）：某时刻处于最前面的波面。波线（波射线）：波的传播方向的射线。在一般各向同性的媒质中，波线垂直于波面12波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面135.6.3波形曲线回忆：什么是振动曲线？波形曲线：t时刻的波形XYOx0波峰波谷145.6.4描述波的特征量一个振动周期内，波向前传播的距离：

l波源做一次完全振动，波动便沿波线传出一个完整波形。所以l

就是一个完整波形的长度。同一时刻波线上相位差为2p的两点之间的距离XYOx015波的周期T：波传播一个波长的时间，或一个完整波形通过波线上某点所需的时间。＝波源的振动周期波的频率：波的周期的倒数。表示单位时间内波动前进的距离中所包含的完整波长数，或单位时间内通过波线上某点的完整波形数。＝波源的频率波动方程是时间t

和位置x

的周期函数。T反映了波的时间周期性，波长l反映了波的空间周期性。波速V=

l/T165.7机械波的波函数如何定量地描述一个传播中的波动（行波）呢？需要寻找数学函数式，能描述出媒质中任意位置的质点在任意时刻的振动状态，即能描述出媒质中各质点的位移随质点位置和时间的变化关系。

波函数（波动方程）17引入坐标系后，波函数可写为y=f(x,t)已知波形曲线y=f(x)和速度V，则可知y=f(x–Vt)或y=f(x+

Vt)已知某点的振动方程y=f(t)，则可知185.7.2简谐波简谐波：当波源做简谐振动时所产生的波动。简谐波是最简单的，复杂的波动是由多个简谐波合成的。以平面简谐波为例，讨论平面简谐波的波动方程。19设一平面简谐波在理想介质中沿X轴正向以速度V

传播。

X轴即为某一波线。设原点O的振动表达式为在OX轴上任意一点B的振动如何？y表示该处质点偏离平衡位置的位移x为B点在X

轴的坐标20B点的振动方程：O点振动状态传到B点需用平面波，媒质无吸收。

各点的振幅都相等，为AB点的振动圆频率应与O点相同，为w。y表示该处质点偏离平衡位置的位移t时刻B处质点的振动状态等于时刻O处质点的振动状态相位：21沿

x

轴正向传播的平面简谐波的波动方程沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动为

B点的振动落后于原点振动的时间沿

x

轴负向传播的平面简谐波的波动方程22引入角频率ω和波数k23波动方程的物理意义1、如果给定x，即x=x0x0处质点的振动初相为x0处质点落后于原点的位相则y=y(t)

为x0处质点的振动方程tTT同一波线上任意两点的振动位相差242、如果给定t，即t=t0

则y=y(x)表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布，即给定了t0

时刻的波形曲线同一质点在相邻两时刻的振动位相差XYOx0253.如x,t

均变化y=y(x,t)t时刻的波形方程t+t时刻的波形方程t时刻、x处的某个振动状态经过

t，传播了

x的距离表示了波线上各点在不同时刻的位移，或者说，包括了不同时刻的波形，反映了波的传播过程，即行进中的波长。在时间

t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离

x2609-4-波动表达式的物理意义.swf275.7.3波动方程与波速沿x方向传播的一维平面波的波动微分方程求t的二阶导数求x的二阶导数以y

表示：28在理想的、无吸收的各向同性媒质中传播的三维波动，应满足：沿x方向传播的一维平面波波动微分方程或写作：其中：拉普拉斯算符波动微分方程29例题+1：已知波动方程y=5cos

(2.5t－0.01x)，

求波长、周期和波速。解:方法一(比较系数法)将波动方程改写为与比较得：302.周期:相位传播一个波长所需时间t1时刻x1点处的相位，在(t1+T)时刻传到x2(=x1+l)点π(2.5t1－0.01x1)=π[2.5(t1+T)－0.01(x1+λ)T=0.8s3.波速:振动相位传播的速度t1时刻x1点的相位，经过Dt=t2－t1时间传到x2处y=5cosp(2.5t－0.01x)1.波长是指同一时刻t,波线上相位差为2p的两点间的距离p(2.5t－0.01x1)－p(2.5t－0.01x2)=2p方法二（由物理定义）31例题+2

有一个一维简谐波的波源，频率为250Hz，波长为0.1m，振幅为0.02m，求：(1)波的传播速度；(2)距波源1.0m处一点的振动方程及振动速度设简谐波的波动方程为(1)波速由公式得：此刻该点的振动速度：(2)距波源1m处的振动方程为：解：频率32例题+3

一横波沿x

轴正方向传播，波速为100m/s，且沿x

轴每一米长度内含50个波长，振幅为0.03m，设t=0时，位于坐标原点的质点通过平衡位置正方向运动，求波动方程。解：设波动方程的表达式为：已知条件：t=0时波源处的质点通过平衡位置向正方向运动，初相位为该波动方程为：33波既是振动状态的传播，也伴随着振动能量的传播。机械波在弹性媒质中传播时，媒质中各质点都在振动，因而具有动能，同时媒质也因质点的振动位移不同步而产生形变，因而具有势能。媒质中各点振动时，既要从前面的质点吸收能量，又要把能量传给后面的质点。

能量流动5.8波的能量和强度34有一平面简谐纵波质量为在x处取一体积元质点的振动速度体积元内媒质质点动能为弹性势能：总能量：5.8.1波的能量35说明1、在波动的传播过程中，媒质中任一体积元内的动能和势能是相等的，而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。2、在波传动过程中，任意体积元的能量随时间变化（不断接收和放出能量）。36能量密度

单位体积介质中所具有的波的能量。平均能量密度

一个周期内能量密度的平均值。5.8.3能量密度37wk、w

p均随t周期性变化(1)固定xwk=wp

(2)固定twk、w

p随x周期分布y=0处

wkwp最大y最大处

wkwp为0o

y

xwkwpt=t0u(1/4)

2A2oyTtwkwpx=x0=λ/4(1/4)

2A2理解能量密度的物理意义

38能流:单位时间内通过媒质中某面积的波的能量。平均能流：单位时间内通过媒质中某面积的平均能量能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。5.8.3能流和能流密度39例题试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。三、平面波和球面波的振幅，球面简谐波的波动方程证明：所以,平面波振幅相等。对平面波在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等40所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为A/r由于球面简谐波振幅与距波源中心的距离r成反比，与平面波类似，球面简谐波的波函数：对球面波(通过两球面的平均能流应该相等)A0为离波源中心单位距离处波的振幅41例题有一波在介质中传播，其波速u=103m/s，振幅A=1×10-4m，频率γ＝103Hz。若介质的密度为800kg/m3，求：(1)该波的能流密度；(2)1分钟内垂直通过一面积S=4×10－4m2的总能量（1）由能流密度I的表达式，可求得：（2）在60秒内垂直通过面积S的能量为解:42439-6电磁波一、电磁波的产生和特性二、电磁波的能量三、电磁波谱441、通过任意闭合面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。3、电场强度沿任意闭曲线的线积分等于以该曲线为边界的任意曲面的磁通量对时间变化量的负值。2、通过任意闭合面的磁通量恒等于零。4、稳恒磁场沿任意闭合曲线的线积分等于穿过以该曲线为边界的曲面的全电流。麦克斯韦提出了“涡旋电场”和“位移电流”的假说，将电磁场的基本规律写成麦克斯韦方程组，并预言了电磁波的存在：45麦克斯韦方程组的微分形式46利用矢量分析，考虑在没有自由电荷和没有传导电流的均匀介质中的电场E

和磁场H，可得：对比波动微分方程(p25,9-38)：变化电场和变化磁场必然以波的形式存在。波速为注意：变化电场和变化磁场不是独立存在的，而是受麦克斯韦方程组约束。47普通LC回路：(1)振荡频率低，辐射功率小(S∝w4)(2)电磁场仅局限于电容器和自感线圈内波源－产生电磁振荡一、电磁波的产生和特性不能有效地发射电磁波(1)提高回路振荡频率(2)实现回路的开放解决途径：48从LC振荡电路到振荡电偶极子：减小电容器极板面积，增大两极间距离，减小自感线圈匝数。49距离为l

的等量异号电荷的电量做q=q0coswt

的谐振动，则电矩为：谐振动！50振荡电偶极子辐射球面电磁波v

沿r

方向E

沿经线振荡H沿纬线振荡振荡电偶极子在各向同性介质中所辐射的电磁波，在远离电偶极子的空间内P

点的电场强度E

和磁场强度H的大小：

球面波的波动方程距离振荡电偶极子极远处的小范围内，电磁波可以看作是平面波处理。51总结电磁波的性质（在同性媒质中传播）：1、电磁波的传播速度为即v只与媒质的介电常数和磁导率有关真空中实验测得真空中光速光是一种电磁波真空中的光速与介质中的波速之比c/v

为介质折射率n，故有：522、E、H均作周期性变化，且两个量同相，则在空间任意一点，E、H

满足下式:3、E、H、v

相互重直，构成正交右旋关系。电磁波是横波，4、振荡电偶极子所辐射的电磁波的频率等于电偶极子振荡