高中数学一学案：2.1.2　函数的表示方法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2．1。2函数的表示方法学习目标1.理解函数的三种表示方法.2.能根据需要选择恰当的函数表示方法.3。了解分段函数，并能进行简单应用．知识点一解析法思考一次函数如何表示？梳理用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．知识点二图象法思考要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？梳理用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．知识点三列表法思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1，2，3,…，100。第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？怎样表示这种对应关系？梳理用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．三种表示法的优缺点：知识点四分段函数思考某市规定出租车收费标准:起步价（不超过2km)为5元．超过2km时，前2km依然按5元收费，超过2km部分，每千米收1.5元．按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应?收费额y元是行驶里程xkm的函数吗？当x∈［0，2］时的计费方法与x∈(2，＋∞）时计费方法一样吗?梳理在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．类型一解析式的求法例1根据下列条件，求f（x）的解析式．(1）f(f（x))＝2x－1,其中f(x)为一次函数;（2)f(x＋eq\f（1,x）)＝x2＋eq\f（1,x2)；（3）f（x)＋2f（－x)＝x2＋2x。反思与感悟(1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．(2）如果已知f（g（x）)的表达式,想求f(x)的解析式，可以设t＝g（x)，然后把f(g（x))中每一个x都换成t的表达式．（3）如果条件是一个关于f(x）、f(－x）的方程,我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f（x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)．跟踪训练1根据下列条件，求f（x）的解析式．(1)f（x)是一次函数，且满足3f(x＋1）－f(x)＝2x＋9；（2)f(x＋1）＝x2＋4x＋1；(3）2f(eq\f(1，x)）＋f(x）＝x(x≠0）．类型二列表法及函数表示法的选择例2下表是某校高一（1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．测试序号成绩姓名第1次第2次第3次第4次第5次第6次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88。278.385。480。375。782。6（1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系;（2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．反思与感悟函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．跟踪训练2若函数f(x）如下表所示：x0123f（x)3210则f（f(1))＝________.类型三分段函数命题角度1建立分段函数模型例3如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2eq\r(2)cm，当垂直于底边BC(垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．反思与感悟当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．跟踪训练3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)5公里以内(含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算）．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．命题角度2研究分段函数的性质例4已知函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤2，，x2＋2,x>2。))(1)求f(f(eq\f（3，2）））；(2)若f（x0）＝8，求x0的值；(3）解不等式f(x)〉8。反思与感悟已知函数值求变量x取值的步骤(1）先对x的取值范围分类讨论．(2）然后代入到不同的解析式中．（3）通过解方程求出x的解．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．（5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集,再把各区间内的符合要求的x的值并起来．跟踪训练4已知f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2，－1≤x≤1，，1，x〉1或x<－1。))（1)画出f(x)的图象；（2)若f（x)≥eq\f(1,4），求x的取值范围；(3)求f(x）的值域．1．已知函数f(x）由下表给出，则f（f(3)）＝________.x1234f(x)32412。如果二次函数的图象开口向上顶点坐标为（1,－1)，且过点（0,0)，则此二次函数的解析式为______________．3．已知正方形的边长为x,它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为________．4．如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为________．5．已知函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋4，x≤0,,x2－2x,0〈x≤4,，－x＋2，x>4。））（1)求f（f(f（5）))的值；（2）画出函数f(x）的图象．1．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法,与用什么字母表示无关）,应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．2．如何用函数图象常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．3．对分段函数的理解(1）分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况,以决定这些点的虚实情况．

答案精析问题导学知识点一思考y＝kx＋b(k≠0)．知识点二思考一图胜千言．知识点三思考对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．知识点四思考因为任一行驶里程x都对应唯一的收费额y，故y是x的函数;但由于起步价的规定，x∈［0，2]时,y＝5，x∈(2，＋∞）时，y＝5＋（x－2）×1。5。计费方法不一样．题型探究例1解(1)由题意,设f(x）＝ax＋b(a≠0)，∵f(f(x)）＝af(x）＋b＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，由恒等式性质，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝2，，ab＋b＝－1，））∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\r（2),,b＝1－\r（2)）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\r（2)，，b＝1＋\r（2).))∴所求函数解析式为f（x)＝eq\r(2）x＋1－eq\r（2）或f（x)＝－eq\r（2）x＋1＋eq\r（2)。(2）∵f（x＋eq\f(1，x)）＝x2＋eq\f(1，x2)＝（x＋eq\f(1,x）)2－2，∴f（x）＝x2－2。又x≠0，∴x＋eq\f(1,x）≥2或x＋eq\f(1，x)≤－2，∴f（x)中的x与f（x＋eq\f(1，x））中的x＋eq\f（1,x)取值范围相同,∴f(x）＝x2－2，x∈（－∞，－2］∪[2,＋∞）．(3）∵f(x)＋2f（－x）＝x2＋2x，将x换成－x，得f(－x）＋2f(x)＝x2－2x，∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x）＝x2－6x,∴f（x）＝eq\f(1,3）x2－2x。跟踪训练1解(1）由题意，设f(x)＝ax＋b（a≠0）,∵3f(x＋1）－f(x）＝2x＋9，∴3a（x＋1）＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9,由恒等式性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2a＝2，，3a＋2b＝9，)）∴a＝1，b＝3。∴所求函数解析式为f（x)＝x＋3。(2)设x＋1＝t，则x＝t－1,f(t)＝(t－1）2＋4（t－1)＋1，即f（t）＝t2＋2t－2。∴所求函数解析式为f（x)＝x2＋2x－2。(3)∵f(x)＋2f(eq\f（1,x））＝x,将原式中的x与eq\f（1，x）互换，得f（eq\f（1,x))＋2f（x）＝eq\f(1,x）.于是得关于f(x）的方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（fx＋2f\f（1,x）＝x，,f\f（1,x)＋2fx＝\f(1，x），）)解得f(x）＝eq\f（2,3x）－eq\f(x,3）(x≠0)．例2解（1）不能用解析法表示，用图象法表示为宜．在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下:(2）王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动,而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．跟踪训练21例3解过点A，D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°，AB＝2eq\r(2）cm,所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm,又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm。(1）当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝eq\f（1,2）x2；(2)当点F在GH上,即x∈（2,5］时,y＝eq\f（x＋x－2，2）×2＝2x－2;(3)当点F在HC上，即x∈（5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1，2）(7＋3)×2－eq\f（1,2)(7－x）2＝－eq\f(1,2)(x－7）2＋10.综合（1）（2)（3），得函数的解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）x2，x∈[0，2］，,2x－2,x∈2，5]，，－\f(1，2)x－72＋10，x∈5，7］.）)

图象如图所示：跟踪训练3解设票价为y元，里程为x公里，定义域为（0,20]．由题意得函数的解析式为y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2，0〈x≤5，，3，5<x≤10，,4，10〈x≤15，，5，15<x≤20。））函数图象如图所示：例4解（1)∵eq\f（3，2）≤2，∴f(eq\f（3，2）)＝2×eq\f(3，2)＝3,∴f（f(eq\f(3，2）))＝f(3）．∵3＞2，∴f(3)＝32＋2＝11,即f（f（eq\f(3,2)））＝11。(2)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；当x0〉2时,由xeq\o\al（2,0）＋2＝8,得x0＝eq\r（6）或x0＝－eq\r(6)(舍去）,故x0＝eq\r(6).（3)f(x)〉8等价于eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,2x〉8，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x〉2，，x2＋2〉8,)）②解①得x∈∅，解②得x>eq\r（6）.综合①②，f(x)〉8的解集为{x｜x>eq\r（6)｝．跟踪训练4解（1)利用描点法，作出f（x)的图象，如图所示．(2）由于f（±eq\f（1,2）)＝eq\f(1,4），结合此函数图象可知，使f（x）≥eq\f(1，4)的x的取值范围是(－∞，－eq\f（1,2）］∪[eq\f(1，2），＋∞)．（3)由图象知，当－1≤x≤1时,f（x）＝x2的值域为[0,1］，当x>1或x<－1时，f（x)＝1.所以f(x）的值域为[0，1］．当堂训练1．12。f（x)＝（x－1）2－13.y＝eq