第四章-随机变量的数字特征

2015年考研概率统计强化讲义PAGE~PAGE44~第四章随机变量的数字特征一．考研内容提要1．随机变量的数学期望及性质（1）离散型随机变量及其函数数学期望的定义；（2）连续型随机变量及其函数数学期望的定义；（3）性质：（=1\*romani）线性性质：设、是随机变量，为常数，则；（=2\*romanii）若、相互独立，则2．随机变量的方差及性质（1）随机变量方差及标准差的定义；（2）性质（=1\*romani）设是常数，则，特别地（=2\*romanii）若、相互独立，则（可推广到有限的情形）3．重要分布随机变量的期望和方差（1）分布：，（2）二项分布：，（3）Poisson分布：，（4）几何分布：，（5）超几何分布：，（6）均匀分布：，（7）正态分布：，（8）指数分布：，4．二维随机变量的协方差、相关系数和不相关（1）协方差、相关系数和不相关的定义：（2）性质：（=1\*romani）协方差的性质：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤。（=2\*romanii）相关系数的性质：=1\*GB3①；=2\*GB3②若、相互独立，则；反之不然。=3\*GB3③5．矩的概念和关系6．正态分布的几个重要结果（1）设、相互独立，且都服从正态分布，则、的任一线性组合（不全为零）仍服从正态分布，且；（2）服从二维正态分布。则、不相关、相互独立；（3）服从二维正态分布对于任意不全为零常数，服从一维正态分布；（4）设、相互独立，且都服从正态分布，则服从二维正态分布；（5）若一多维随机变量是另一多维正态随机变量的线性变换，则该多维随机变量是多维正态随机变量。二．考研题型解析1．选择题(A)(B)(C)(D)解应选(D)。设分别表示所截成两段木棒的长度，则，即，从而，故选(D)。例11设连续型随机变量与相互独立，且方差存在，其概率密度分别为与。随机变量的概率密度为，随机变量。则（）。(A)(B)(C)(D)解应选(D)。由于因此又与相互独立，且方差存在，故由于，事实上假设，则，从而，即，不是不相关，这与，相互独立矛盾，因此，从而，故选(D)。2．填空题例1已知随机变量的概率密度函数为，则的期望为，方差为。解应填。例2设表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射击目标的概率为，则的数学期望。解应填。例3设随机变量，且已知，则。解应填。例4设随机变量服从参数为的指数分布，则。解应填。例5设一次试验成功的概率为，进行100次独立重复试验，当时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为。解应填，。例6设随机变量，且，则；。解应填 ，。例7设随机变量的概率密度为，已知，，则，，。解应填12，12，3。例8投掷枚骰子，则出现点数和的数学期望为。解应填。例9设，则。解应填。例10设和是两个相互独立同服从正态分布的随机变量，则随机变量的数学期望；方差。解应填，。因为和是两个相互独立同服从正态分布，因此，从而，，于是，又，所以。例11设随机变量服从标准正态分布，则。解应填。由于的概率密度为，因此例12设随机变量独立同分布，，则行列式的数学期望。解应填0。例13设随机变量的概率分布为，则。解由于，故，从而的分布律为即服从参数为1的Poisson分布，故，于是。例14设的联合分布律为0100.070.180.1510.080.320.20则，。解应填，。例15设二维随机变量服从，则。解由于，，因此相互独立，且，，从而。3.解答题例1设是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为，，又设，，（=1\*romani）写出二维随机变量的联合分布律；（=2\*romanii）求出随机变量的数学期望。解（=1\*romani）和的可能取值为。由于总有，故故的联合分布律为12310033（=2\*romanii）由（=1\*romani）中的联合分布律可得的边缘分布律123故的数学期望。例2设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间中的某一整数，商店每销售1单位商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时1单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小的进货量。解设进货量为，则利润为期望利润依题意，有，，解之得，故最小进货量为21单位。例3已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件不合格品，乙箱中仅有3件合格品，从甲箱中任取3产品放入乙箱后，求：（=1\*romani）乙箱中次品件数的数学期望；（=2\*romanii）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。解（=1\*romani）的可能取值为0，1，2，3，的概率分布为，即0123故（=2\*romanii）设表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式，有例4设二维随机变量的概率分布为0101且，求（=1\*romani）常数；（=2\*romanii）。解（=1\*romani），由，解得；再由，得。（=2\*romanii）由的概率分布可得的分布律分别为010101，，，故。例5箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个，现从箱中随机地取出2个球，记为取出的红球数，为取出的白球数。（=1\*romani）求随机变量的概率分布；（=2\*romanii）求。解（=1\*romani）的可能取值为0，1，的可能取值为0，1，2，，即的概率分布为01201（=2\*romanii）由的概率分布可得的分布律分别为0101201，，故例6设随机变量与的概率分布分别为且。（=1\*romani）求二维随机变量的概率分布；（=2\*romanii）求的概率分布；（=3\*romaniii）求与的相关系数。解（=1\*romani）由，得，所以故的概率分布为01001（=2\*romanii）的可能取值，由的概率分布可得的概率分布为（=3\*romaniii）由及的概率分布，得，，，，所以，从而。例7假设二维随机变量在区域上服从均匀分布，记，（=1\*romani）求和的联合分布；（=2\*romanii）求和的相关系数。解（=1\*romani）由于二维随机变量在区域上服从均匀分布，故其联合概率密度为 和的可能取值为0，1即的联合分布律为01001（=2\*romanii）由的联合分布律得的分布律分别为010101故从而所以例8设随机变量的概率密度为，令，为二维随机变量的分布函数，求(=1\*romani)的概率密度；（=2\*romanii）；（=3\*romaniii）。解(=1\*romani)先求的分布函数当时，；当时，；当时，；当时，。再求的概率密度时。；当时，；当时，当时，，故的概率密度为（=2\*romanii），故。（=3\*romaniii）例9设二维随机变量的概率分布为0100.200.10.2100.1其中为常数，，，记，求（=1\*romani）的值；（=2\*romanii）的概率分布；（=3\*romaniii）。解（=1\*romani）由联合概率分布律的性质知，，即由，得，即再由，即解以上关于的三个方程得（=2\*romanii）的可能取值为0120.20.10.30.30.1（=3\*romaniii）例10设是随机事件，且，令，求（=1\*romani）的联合分布律；（=2\*romanii）；（=3\*romaniii）分布。解（=1\*romani）的可能取值为0，1，由题设，，故，即的联合分布律为0101（=2\*romanii）因为都服从分布，所以，于是，又，故，，从而（=3\*romaniii）的可能取值为。即的分布律为012例11设随机变量的概率密度为，求（=1\*romani）；（=2\*romanii），问是否相关；（=3\*romaniii）问是否独立，为什么？解（=1\*romani）（=2\*romanii）由于，所以从而不相关。（=3\*romaniii）由于，但，即事件与不独立，故不独立。例12设随机变量，与的相关系数，令，求（=1\*romani）；（=2\*romanii）。解（=1\*romani）（=2\*romanii），从而。例13设随机变量与在以点为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量的方差。解设，依题设的联合概率密度为所以同理可得而所以于是例14设二维离散型随机变量的概率分布为12012（=1\*romani）求；（=2\*romanii）求。解（=1\*romani）由的概率分布得（=2\*romanii）由的概率分布可得，的概率分布分别为012012012所以，，，从而，又，故。例15设随机变量与相互独立，且都服从参数为1的指数分布，记，。（=1\*romani）求的概率密度；（=2\*rom