数学人教A版（2023）必修第一册1.5.1全称量词与存在量词课件（共28张ppt）

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1.5.1全称量词与存在量词

教学目标

理解全称量词、存在的定义，全称量词命题、存在量词命题的定义

01

会用数学符号语言描述全称量词命题与存在量词命题（重点）

02

掌握全称量词命题与存在量词命题真假的判断（重点、难点）

03

全称量词与存在量词

学科素养

全称量词、存在的定义，全称量词命题、存在量词命题的定义

数学抽象

直观想象

全称量词命题与存在量词命题真假的判断

逻辑推理

全称量词命题与存在量词命题的应用

数学运算

数据分析

数学建模

全称量词与存在量词

思考

下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？

(1)x＞3；

(2)2x＋1是整数；

(3)对所有的x∈R，x＞3；

(4)对任意一个x∈R，2x＋1是整数．

不是命题

是命题

因为(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；

(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，

从而使(3)(4)成为可以判断真假的陈述句.

知识点

全称量词与全称量词命题

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，

用符号“”表示．

1.全称量词的概念

常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．

2.全称量词命题的概念

含有全称量词的命题叫做全称命题

3.全称量词命题的记法

通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)、…等表示，变量x的取值范围用M表示.

那么，全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：“x∈M，p(x)”.

A

读作：“对任意x属于M，有p(x)成立”

经典例题

经典例题

经典例题

总结

全称量词命题真假的判断

对于全称量词命题“x∈M，p(x)”：

(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；

(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例)

经典例题

总结

存在量词与存在量词命题

问题下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4),它们之间有什么关系？

(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3；(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.

语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，

从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题.

【解析】容易判断，(1)(2)不是命题.

语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；

要点存在量词和存在量词命题

存在量词__________、__________、__________、__________

符号表示

存在量词命题含有____________的命题

形式“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“________________”

存在一个

至少有一个

有些

有的

存在量词

x∈M，p(x)

状元随笔全称量词命题与存在量词命题的区别

(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．

(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．

思考：全称量词命题中是否一定含有全称量词？

存在量词命题中是否一定含有存在量词？

思路点拨：理解存在量词的“存在”“有一个”属性．存在量词命题的真假取决于“找得到”和“找不到”．

【例】[教材改编题]判断下列存在量词命题的真假：

(1)有一个实数x，使x2＋2x－3＝0；

(2)存在一个x∈R，使＝0；

(3)有些平行四边形是正方形．

【解】

(1)x＝－3，x＝1是方程x2＋2x－3＝0的根，真命题.

(2)要使分数有意义，分母不能为0，即x－1≠0，则不存在

x∈R，使＝0成立，假命题.

(3)邻边相等且垂直的平行四边形为正方形，真命题．

【方法规律】

判断存在量词命题真假的方法：要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)成立；但是要判断一个存在量词命题为假时，必须证明对给定集合中的每一个元素x，命题p(x)均不成立，即“找得到”和“找不到”．

【变式训练】

判断下列存在量词命题的真假：

(1)有些菱形是正方形；

(2)至少有一个整数n，使n2＋1是4的倍数．

【解】

(1)对角线相等的菱形是正方形，故有些菱形是正方形，真命题.

(2)假设有一个整数n，n2＋1是4的倍数．因为n2＋1是4的倍数，所以n2＋1是偶数，故n2为奇数，所以n为奇数．设n＝2k＋1，k∈N，则n2＋1＝4k2＋4k＋2，故n2＋1除以4的余数为2，与题设矛盾．故不存在整数n，使得n2＋1是4的倍数