对称性在微积分学中的应用20150711

（1）如果D关于y轴(x=0)对称,则有其中其中（2）如果D关于x轴(y=0)对称,则有二重积分的对称性其中同上.（3）如果D关于原点对称,则有推论:若D关于x轴和y轴都对称,则积分区域D关于直线y=x对称，即若(x,y)D,则(y,x)D.二重积分的轮换对称性：也就是表示D不等式x,y对调不等式不变,有(1)若D1,D2分别是D中关于直线y=x对称的两部分，则：简述为“你对称，我奇偶”.则2.二重积分的对称性（1）如果D关于y轴对称,则有其中其中（2）如果D关于x轴对称,则有其中同上.（4）如果D关于直线对称，则（3）如果D关于原点对称,则有称为关于积分变量的轮换对称性④若

D

关于直线y=x对称，则简述为“你对称，我奇偶”运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，D位于y=x轴右下方的部分为D1,则则补充：利用对称性化简三重积分计算关于z是偶函数关于z是奇函数三重积分的轮换对称性:1.(两字母轮换)

如果将x,y换为y,x积分域不变,则2.(三字母轮换)

如果将x,y,z换为y,z,x积分域不变,则注:关于对弧长的曲线积分的对称性①若L关于y轴对称其中L1是L的关于y轴对称的部分弧段②若L关于直线y=x对称(即x与y对调后L表达式不变)原理:积分值与被积变量用什么字母表示无关注关于对弧长的曲线积分的对称性①若

L关于xoy平面对称其中

是

的关于

xoy

平面对称的部分弧段如果以y代x,以z代y,以x代z后,1.(两字母轮换)

如果将x,y换为y,x,

2.(三字母轮换)表达式不变,则的表达式不变,则补充：利用对称性简化对面积的曲面积分计算关于z是偶函数关于z是奇函数对面积的的曲面积分的轮换对称性:1.(两字母轮换)

如果将x,y换为y,x积分域Σ不变,则2.(三字母轮换)

如果将x,y,z换为y,z,x积分域Σ

不变,则完全类似于三重积分的对称性利用对称性化简对坐标的曲线积分①若分段光滑曲线L关于y轴对称,且L在y轴右半部分和在y轴左半部分的方向相反其中L1是L的关于y轴对称的部分弧段注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴(y)对称就关于谁(y轴)的方向相反利用对称性化简对坐标的曲线积分②若分段光滑曲线L关于x轴对称,且L在x轴上半部分和在x轴下半部分的方向相反其中L1是L的关于x轴对称的部分弧段注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴(x)对称就关于谁(x轴)的方向相反注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相同例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2从点的一段.例1.计算其中L为沿抛物线解:从点的一段.注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相同（逆时针方向）.其中C:求解：oyx对坐标的曲面积分满足轮换对称性,不满足一般的对称性如果积分区域满足轮换对称性，则被积函数进行轮换后积分值不变,不过要同时轮换dxdy，dydz，dzdx补充：利用对称性简化第二类曲面积分的计算补充：利用对称性简化第二类曲面积分的计算轮换对称性在微分学中的应用1.(两字母轮换)

如果将x,y换为y,x函数的表达式不变,即函数,如果满足只需将上式中的将x,y换为y,x,就得到对变量y的偏导数:则称此函数关于自变量x,y具有轮换对称性轮换对称性在微分学中的应用2.(三字母轮换)

如果将x,y,z换为y,z,x函数的表达式不变函数,如果满足则称此函数关于自变量x,y,z具有轮换对称性只需将上式中的将x,y,z换为y,z,x就得到对变量y的偏导数:即只需将上式中的将y,z,x

换为z,x,y就得到对变量z的偏导数:例1.

求解法1解法2在点(1,2)处的偏导数.先求后代先代后求函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.上节例但是f(x,y)在点(0,0)并不连续!例1.可见：多元函数的可导既不是连续的充分条件，也不是连续的必要条件.例2.

证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程练习P69，6（1）解

:例4.设解:利用轮换对称性,可得注意:x,y,z

具有轮换对称性

例4.设解:利用轮换对称性,注意:x,y,z

具有轮换对称性

可得三重积分的计算：根据积分区域和被积函数的特点选择：合适的坐标系：直角坐标系，柱面坐标系，球面坐标系；在各种坐标系系下相应的先一后二(穿针法)与先二后一(截面法)；恰当的积分次序，从而正确地确定积分限；二重积分的计算：根据积分区域和被积函数的特点选择：合适的坐标系；恰当的积分次序，从而正确地确定积分限。*2在掌握基本运算的基础上，还应了解如何根据对称性及轮换对称性等方法来计算重积分.此外,还要会用对称性,交换积分次序,变量代换以及重积分性质来解决一些较难的问题(计算题及证明题).*1计算的难点：各种坐标系下积分限的确定

利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算各种积分例5.证:(1)若(2)若偶倍奇零利用对称性计算定积分证明解决：采用适当的换元证明令则所以所以，原命题成立。换元换限练习P2532.

分析

(1)积分区间相同；(2)被积函数不同.x轴(y=0)对称，利用对称性计算二重积分D位于x轴上方的部分为D1,

则在D上在闭区域上连续,设区域D关于

则证:(1)不妨假设积分区域是X-型的由积分区域D关于x轴对称性:证（2）积分区域由积分区域D关于x轴对称性:于是，f(x,y)关于x为奇函数：f(x,y)关于x为偶函数：命题:（1）如果D关于y轴(x=0)对称,则有其中D位于y轴右方的部分为证不妨假定D的右半部分D1为X型区域：由D关于y轴的对称性，D的左半部分D2为：则所以则命题:（1）如果D关于y轴(x=0)对称,则有其中其中（2）如果D关于x轴(y=0)对称,则有其中同上.（3）如果D关于原点对称,则有推论:若D关于x轴和y轴都对称,则积分区域D关于直线y=x对称，即若(x,y)D,则(y,x)D.二重积分的轮换对称性：也就是表示D不等式x,y对调不等式不变,有(1)若D1,D2分别是D中关于直线y=x对称的两部分，则：简述为“你对称，我奇偶”.则4.

则提示:如图,由对称性知在上是关于y的奇函数在上是关于

x

的偶函数AP1821(2)

关于关于

轴解:

积分区域如图所示，将区域分成设

是以为顶点的三角形区域，是区域在第一象限部分.四个小区域，由于区域轴对称，区域4.证明轴对称，故0809B

而故解：利用对称性简化计算因为D关于

x轴对称，3.

设其中解：利用对称性简化计算,因为D关于

y轴对称，3.设其中xyo解计算二重积分所围成的闭区域.例5.和解:D（画出积分区域草图）.其中D为

利用对称性简化计算,因为D关于

y轴对称，且1011B例5.

计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,当f(x,y,z)关于z为奇函数当f(x,y,z)关于z为偶函数f(x,y,z)关于z为奇函数：f(x,y,z)关于z为偶函数：命题4若空间区域Ω关于xOy面(z=0)对称，则证不妨假定Ω的上半部分Ω1为XY型区域：由Ω关于xOy坐标面的对称性，Ω的下半部分Ω2为：利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性计算对弧长的曲线积分命题5若曲线L关于y轴(x=0)对称，则当f(x,y)关于x为奇函数当f(x,y)关于x为偶函数f(x,y)关于x为奇函数：f(x,y)关于x为偶函数：证设L的右半部分L1由以下参数方程给出：由L关于y轴的对称性，L的左半部分L2的参数方程为：命题5’若曲线L关于x轴(y=0)对称，则当f(x,y)关于y为奇函数当f(x,y)关于y为偶函数f(x,y)关于y为奇函数：f(x,y