2022年南京大学基础数学拔尖班二次选拔考试试题答案解析

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年南京大学数学拔尖班二次选拔考试试题2022年8月26日本试卷5答题，满分100分，考试时间120分钟1.(25分)设是平面上的直线,它将平面分为两部分,分别记为和

(1)若请严格证明:连接的直线段一定和交于一点.

(2)设是平面上不在上的一列点,其中，当时,以直线段连接和,这样得到一条连接和的折线段.证明:该折线段一定和相交.2.(25分)当为实数时,不超过的最大整数称为的整数部分.

(1)证明:和具有相同的整数部分.

(2)求的整数部分.3.(20分)设的三个复根为.定义

(1)若是整数,证明：是整数。

(2)设,求的值。4.(30分)设是一个非空集合，是一个映射.

定义1.(i)如果对任意且都有，则称是单射；

(ii)如果对任意，都存在使得，则称是满射；

(iii)如果既是单射又是满射,则称是双射。

定义2.对任意非负整数，归纳定义映射如下:对任意，规定定义3.存在正整数使得存在正整数使得以及存在整数使得。

(1)如果，证明：是双射.

(2)如果是有限集合,证明:当且仅当是双射.

(3)设映射与映射可交换,即对任意,都有.如果且对任意，集合是有限集合,证明:2022年南京大学

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