山东省济南市2023-2024学年度上学期九年级期中复习与检测数学试卷（含答案）

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2023-2024学年度第一学期山东省济南市九年级期中数学复习试卷（解答卷）

（第2章一元二次方程～第六章反比例函数）

选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）

1．若，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】B

2．如图所示几何体的左视图是（）

A．B．C．D．

【答案】C

3．方程（+3）=+3的解为（）

A．B．C．1=0，2=3D．1=1，2=3

【答案】B

4．为落实教育部办公厅、中共上都宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】B

如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，

则△DEF与△BAF的面积之比为（）

A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25

【答案】C

6．已知都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（）

A．B．C．D．

【答案】C

7.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，

树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（）

A．3mB．4m

C．4.5mD．5m

【答案】D

8.函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）

A．B．C．D．

【答案】B

如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；

动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，

那么经过（）秒时与相似．

A．2秒B．4秒C．或秒D．2或4秒

【答案】C

如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，

连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：

①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．

其中一定正确的是（）

A．①②③④B．①④C．②③④D．①②

【答案】D

填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）

11．已知是关于x的方程的一个根，则．

【答案】12

12.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，

摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，

摸到黄球的频率0.4，则估计盒子中大约有红球个．

【答案】12

如图，中，，分别交边、与、两点，

若与的面积比为，则的比值为．

【答案】

14.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．

小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，

他将（小雪）、（寒露）、（秋分）、（立秋）四张纪念邮票

（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，

正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法，

则小李两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率____________

【答案】

如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），

△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为．

【答案】（3，1）

如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，

点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为

【答案】秒或4秒

解答题（本大题共有10个小题，共86分）

17．如图，BD、AC相交于点P，∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的长度．

解：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，

∴△ADP∽△BCP，

∴，

∵PB＝3，PC＝1，PD＝2．

∴PA＝6．

18．解方程：

(1)；

(2)．

解：（1）

∴

（2），

，

∴或，

∴．

小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的纸牌，每组三张，牌面数字分别是3，4，5．

他们将卡片背面朝上，分组充分洗匀后，从每组纸牌中各摸出一张，称为一次游戏．

当摸出的两张纸牌的牌面数字之和大于8，则小明获胜；

当摸出的两张纸牌的牌面数字之和小于8，则小亮获胜．

（1）请你用列表法或画树状图法求出小明获胜的概率；

（2）这个游戏公平吗？请说明理由．

解：（1）画树状图如下：

共有9种等可能的情况，其中和小于8的有3种，和大于8的有3种．

∴（小明胜），

画表格如下：

（2）由（1）知，（小亮胜）．

∵（小明胜）=（小亮胜），

∴这个游戏公平．

20.如图，已知和是直立在地面上的两根立柱．，

某一时刻在阳光下的投影．

(1)请你在图中画出此时在阳光下的投影；

(2)在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，请你计算的长．

解：（1）如图所示，即为所求．

（2）解：，，

，

．

，某一时刻在阳光下的投影，，

则，

解得：，

答：的长为．

21.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，

交AD的延长线于点E，交DC于点N．

（1）求证：△ABM∽△EFA；

（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，

∴∠AMB=∠EAF，

又∵EF⊥AM，

∴∠AFE=90°，

∴∠B=∠AFE，

∴△ABM∽△EFA；

（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，

∴AM==13，AD=12，

∵F是AM的中点，

∴AF=AM=6.5，

∵△ABM∽△EFA，

∴，

即，

∴AE=16.9，

∴DE=AE－AD=4.9．

22.为弘扬优秀传统文化，我区某校开展了“文化润心学思践行”传统文化知识竞赛，

张老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成不完整的统计图表．

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：

(1)下表中的m＝______，n＝______；

组别成绩x（分）频数

A75.5≤x<80.56

B80.5≤x<85.514

C85.5≤x<90.5m

D90.5≤x<95.5n

E95.5≤x<100.54

(2)请补全频数分布直方图；

(3)已知该校有1500名学生参赛，请估计竞赛成绩在分以上的学生有多少人？

(4)现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的传统文化知识竞赛，E组中的小明和小红是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小明和小红的概率．

解：（1）抽取的学生人数为：（人，

，

，

故答案为：18，8；

（2）补全频数分布直方图如下：

（3），

即估计竞赛成绩在分以上的学生有240人；

（4）将“小明”和“小红”分别记为：、，另两个同学分别记为：、

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小明和小红的结果有2种，

恰好抽到小丽和小洁的概率为：．

23．在中，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点O的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（）．设运动时间为t秒，求：

(1)用含t的代数式表示，；

(2)当t为多少时，的长度等于？

(3)当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？

解：（1）由运动知，AP=4tcm，CQ=2tcm，

AC=20cm，CP=(20-4t)cm，

点P在AC上运动，

4t≤20，即t≤5，

点Q在BC运动，

2t≤15，

t≤7.5，

0≤t≤5，

故答案为：CQ=2tcm，CP=(20-4t)cm，0≤t≤5；

（2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，

，

，

解得：或(舍去)，

故答案为：2；

（3）以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，且∠C=∠C=90°，

∴①△CPQ∽△CAB，

，

，

t=3，

②△CPQ∽△CBA，

，

，

，

即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，

故答案为：3或．

24．2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．

某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，

从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．

(1)若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；

(2)冬奥会闭幕后需求有所下降，需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降价15元，每天多卖出3套，商店想使每天利润达到2000元，每套价格应为多少元？

解：（1）设每次上涨的百分率为x，根据题意得：，

解得：，（不合题意，舍去），

答：每次上涨的百分率为20%；

（2）设每套价格降价为a元

根据题意得：，

售价：元

答：商店使每天利润达到2000元，每套价格应为196元．

25.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，

点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．

（1）求反比例函数的关系式；

（2）若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上时，

求线段OD扫过图形的面积．

在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，

若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，如图1所示．

∵点D的坐标为（4，3），

∴OF＝4，DF＝3，

∴OD＝＝5．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD＝OD＝5，

∴点A坐标为（4，8）．

∵点A在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝4×8＝32，

∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）.

将OD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y＝的图象D′点处，

过点D′做x轴的垂线，垂足为F′，

如图2所示．∵DF＝3，

∴D′F′＝3，

∴点D′的纵坐标为3，

∵点D′在反比例函数y＝的图象上，

∴3＝，解得：x＝，

∴点D′坐标为（，3），

∴DD′＝﹣4＝．

又∵OD扫过图形为平行四边形，

∴平行四边形面积＝×3＝20．

存在．作点B关于x轴的对称点B′，

连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图3所示．

∵OB＝OD＝5，∴点B的坐标为（0，5），

∴点B′的坐标为（0，﹣5）．

设直线AB′的关系式为y＝kx+b（k≠0），

将A（4，8），B′（0，﹣5）代入y＝kx+b

得：，

解得：，

∴直线AB′的关系式为y＝x﹣5．

当y＝0时，x﹣5＝0，

解得：x＝，

∴PA+PB最小时，点P的坐标为（，0）．

[问题背景]

（1）如图①，已知，求证：．

[尝试应用]

如图②，在和中，，，

与相交于点，点在边上，．

①填空：______；

②求的值．

解：（1）证明：∵，

∴，，

∴，

即，

∴；

（2）①∵，

∴，

∴

∵

∴

∴

②连接，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

由①得，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）

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2023-2024学年度第一学期山东省济南市九年级期中数学复习试卷

（第2章一元二次方程～第六章反比例函数）

选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）

1．若，则等于（）

A．B．C．D．

2．如图所示几何体的左视图是（）

A．B．C．D．

3．方程（+3）=+3的解为（）

A．B．C．1=0，2=3D．1=1，2=3

4．为落实教育部办公厅、中共上都宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（）

A．B．C．D．

如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，

则△DEF与△BAF的面积之比为（）

A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25

6．已知都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（）

A．B．C．D．

7.如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，

树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（）

A．3mB．4m

C．4.5mD．5m

8.函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）

A．B．C．D．

如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；

动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，

那么经过（）秒时与相似．

A．2秒B．4秒C．或秒D．2或4秒

10.如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，

连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：

①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．

其中一定正确的是（）

A．①②③④B．①④C．②③④D．①②

填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）

11．已知是关于x的方程的一个根，则．

12.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，

摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，

摸到黄球的频率0.4，则估计盒子中大约有红球个．

如图，中，，分别交边、与、两点，

若与的面积比为，则的比值为．

14.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．

小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，

他将（小雪）、（寒露）、（秋分）、（立秋）四张纪念邮票

（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，

正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法，

则小李两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率____________

如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），

△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为．

如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，

点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为

解答题（本大题共有10个小题，共86分）

17．如图，BD、AC相交于点P，∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的长度．

18．解方程：

(1)；

(2)．

小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的纸牌，每组三张，牌面数字分别是3，4，5．

他们将卡片背面朝上，分组充分洗匀后，从每组纸牌中各摸出一张，称为一次游戏．

当摸出的两张纸牌的牌面数字之和大于8，则小明获胜；

当摸出的两张纸牌的牌面数字之和小于8，则小亮获胜．

（1）请你用列表法或画树状图法求出小明获胜的概率；

（2）这个游戏公平吗？请说明理由．

20.如图，已知和是直立在地面上的两根立柱．，

某一时刻在阳光下的投影．

(1)请你在图中画出此时在阳光下的投影；

(2)在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，请你计算的长．

21.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，

交AD的延长线于点E，交DC于点N．

（1）求证：△ABM∽△EFA；

（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．

22.为弘扬优秀传统文化，我区某校开展了“文化润心学思践行”传统文化知识竞赛，

张老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成不完整的统计图表．

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：

(1)下表中的m＝______，n＝______；

组别成绩x（分）频数

A75.5≤x<80.56

B80.5≤x<85.514

C85.5≤x<90.5m

D90.5≤x<95.5n

E95.5≤x<100.54

(2)请补全频数分布直方图；

(3)已知该校有1500名学生参赛，请估计竞赛成绩在分以上的学生有多少人？

(4)现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的传