高中数学第三章三角恒等变换本章复习教案苏教版必修4课件

第三章三角恒等变知识网教学分学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何与三角函数的一三维目通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思培养学生学会思考问题的方法，培养他们勇于探索创新的精神，磨练学生的意志．重点难教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用课时安排21导入新思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们又一起探究学习了第3章三角恒等变换的有关知识并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法提高了我们的思维能力出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？分析三角函数式的特点对提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新知识巩本章的公式关系见下表和和差正、余弦公和差正切公二倍角公万能公cos(α－βcosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝sin2ααcosαcosβsinαsinβsin(α＋β)＝tan(α＋βtanα＋tanβ1－tanαtan(α－βtanα－tanβ1＋tanα2sinαtan2cos2α＝cosα＝2cos2α2sinα 2cosα2sinαcosβtanα cosαsin(α－βsinαcosβ－cosαsinβ运算能力教师与学生一起归纳总结常见的变换有()公式变换tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(－tanαtanβtanαtanβ＝－tanαtanα

tanα α，＝tantan α＋cos2α＝2cos2αcos2α＝2sin2α(2)α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β＝ π π－π＝

)π ππ－α； ＝ (还需熟练； ＝ ( 如：sinx±cosx＝2sin(x±)，sinx±3cosx＝2sin(x±3)等(2应用示例()化简(2)已知

sin2αcosα－sinα的值为锐角，且

＝

sin2α2(1(2解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－ tan30°－A＋tan60°－A1－tan30°－Atan60°－A，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)sn 2cos2α2snαcosαsn 2cos2α2snαcosα

(2)

2snαcosα

＝2cosαcos2α

α＝cosαsn2α＋cos2α2cosα.∵tan＝

＝

2sn2αcosα－sn2 sn2α 归等数学思想方法．2α、ββ的值．

)，且3s

β＝sn(2α

)，tan2

2α，求α＋活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予当的点拨把所求的角用含已知其值的角的式子表示由所求的函数值结合该函数的单调构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得解：∵3sin[(α＋β

＝sin[(α＋β

，3sin(α＋β)cosα－3cos(αβ)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，sin(α＋β)cosα＝2cos(αβ)sinα2tanα

、β

＋βπ.∴cos(α＋β)≠0，cosα≠0.∴tan(α＋β<α<α由tan

＝－tan2α2

tan2

＝，即得2tanα＝.代入tan(α＋β)＝2tanα，得tan(α

β π)＝0<＋2，∴＋点评：例题已知

思路2θ－sinθcosθ－sin2θ＝0tanθ和sin(2θπ)的值．

∈(2

也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解解：∵2cos2θ－sinθcosθ－sin2θ∴cosθ≠0.∴上式两边同除以cos2θtan2θ＋tanθ解得n

π)，∴舍去nθ＝1＝－22

sθ (2s2θ sθ＋ sin2θ＋ sθ＋ sin2θ＋s2θ2

＋

sin ＝

—

＝nθ＋ ＝－＋n2θ＋1 点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程ìïsinθ＝－2sθîïísin2θ＋s2θ 解得sinθ、sθ的值，再代入得解，也是一种不错的思î变式训已知函数f(x)＝sin2x＋2sinx s2x，x∈，求(1)f(xx取值集合(2)函数f(x)的单调增区间1－

1＋解：(1)方法一

πs2x＝2＋2sin(2x＋2 22x＋＝2k＋2，即x＝k＋(k∈时，f(x)取得最大值πππ因此，f(x)取得最大值时自变量x的取值集合是xx＝k＋，k∈方法二：∵f(x)＝(sin2x＋s2x)＋sin2x＋2＋s2＋ ＋2 2∴当2x＋＝2k2，即x＝k＋(k∈时，f(x)取得最大值πππ因此，f(x)取得最大值时自变量x的取值集合是xx＝k＋，k∈π(2)f(x)＝2＋2sin(2x＋ π 由题意，得2k－2≤2x＋≤2k＋2(k∈)，即k ≤x≤k＋(k∈，k＋](k∈因此，f(x)的单调增区间是kπ－ ，k＋](k∈知能训课本复习题作课本复习题5、6、7.设计感备课资一、三角函数式的化简、求值与证化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系要认真分析，合理转化，避免盲目性．求值可分为给角求值给值求值给值求角三部分给角求值的关键是正确地选用公式二、备用习．函数＝ 的最小正周期是( ． ．．函数＝ 的最大值是 ． ．－∈(．若 π θ＝， θ θ的值为∈(．函数 的单调递减区间是—，k．k π ．kπ＋π，kπ＋π—，kπ．kπ．k —，k

．kπ＋π，kπ＋π．求函数

1－sinx的值域6．化简(x＝cos2x＋cos2(60°＋xcos2(120°＋x

2sinx．解

1－sinx

1－sinx

＝2sinx(1＋sinx12 12∴y＝2sin 212令t＝sinx，则t∈[－11 1∴当t∈[－11时，y∈[，421＋cos2x1＋cos 1＋cos6．解：(x 1＝＋[cos2x－cos(60°－2x2 ＝＋[cos2x－ sin2x－ 2

(设计者：郑吉2导入新1(直接导入思路2问题导入教师开始就提出以下问题让学生探究(1不查表求

β＜α＜π，cos(α cos20°cos80°的值．(2已知2

＝，sin(＋β＝－，求sin2α的值．学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课．知识巩教师打出幻灯，根据上节复习的知识方法，请解答以下一组考试题．设α、β为钝角， α β

0，则α＋β的值π ππ或α已知＝( α－ α，00，＝( α＋ α，且∥则 α－α．－．∈( ．已知 π α＝， ( π等于∈( ． ．若α、

β ，(α－β＝－， (α＋β的—等 ——．已 (π＋θ (π－θ＝，且－π — θ θ－θ的值活动：由学生自己独立完成，对找不到思路的学生教师可给予适时的点拨，上述都是00、00年的高考或模拟题．从中可看出，三角函数的化简、求值及恒等式的证明答案 注意选用α＋β的余弦． 倍角公式化单角来解决．π— 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决π— β 先确定角的范围

，可得 πα

α

2π，cos(α＋β ＝－1

—2)－(2

)＝，＋．解：由n(π＋θ)＋nπ－θ)＝sinπ

sinπ

sinπ ＋ ＋ ＝cosθ＝π∵－π

π2—22

cos2θ2∴cosθ＝－2.应用示

，sinθ＝－1，sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ

2³2－2 π

思路1cos(－x)＝

， 1＋ (决问题的突破口．如转化为已知一个 －x)的三角函数值，求这个角的其余三角函数(( (

2sinxcosx－sinxcosxsin2x解 1＋

1－1＋＝sin2x1－1＋

－x)＝cos(

－2x)n(

2 ＝2cos(－x)－1 π ，∴－1

π－x－π.又∵cos(

－x)＝－

－x)＝，n(－x)＝－.∴原式2

－1)³(－ 1点评：在解答某些三角函数的求值问题时，要能够合理地利用公式，引导学生观察角1变式训变式训已知cosα－sα 2(11s2cosαπ的值(2若函数＝ 的图象关于直线＝对称，且(－1＝20，试求 值解：(1由已知cosα－sα ，得cos(α 2π又因为s2α＝－cosπ(＝1－2cos2(α ＝π2所以1s2cosαπ＝(2由题意，函数 的图象关于直线＝对称因此＋＝－所以 ＝ ＝(＋＝(－＝(－1＝2已知s22α＋s2

∈(0，

，求sα α的值活动：本题是2002鼓励学生一题多解解答本题常出现的失误有：(1记错三角公式如“cos2α＝2s－1”(2sα的四次方程，造成运算烦琐，或不能得到结果(用一个算式去除等式两边时，未先确认这个算式不等于零，推理不严密(恒等变形中，移项时符号出错或合并同类项时系数出错，导解题结果错误．可以此来检查学生的掌握程度．解：方法一：由倍角公式，s2α＝2sαcosα，cos2α＝2cos2α－1，s2αcos2α＋2sαcos2α－2cos2α＝0❑2cos2α(2s2α＋sα－10❑

π)，∴sinα＋1≠0，cos2α∈(0，－1＝0＝＝＝. ∈(0，－1＝0＝＝＝. 方法二：由题设得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，即(sin2α＋2cosα－cosα ∈(0，2)，∴sin2＋2cos≠0.∴sin2

－1＝0，即＝＝＝. －1＝0，即＝＝＝. 方法三：由题设得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，将其看成关于sin2α的一二次方程sin2α

－cosα±cos2α＋

－cosα±3cosα，∴sin2α＝－2cosαsin2α＝cosα

∈(0，2

(以下同方法二点评：本题是考查三角函数的综合题，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关变式训变式训已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，απ，π)，•b(＝2求2sin2α－cosαπ的值α2解：∵＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝2cos2α－1＋2sin2α＝1－sinα＝2∴sinα＝.又∵α2，π)，∴cosα＝－.∴cos(α＋)＝103ππ22sin2α－απ³³3∴ ＋α＝2—＝－103已知函数＝2asin2为－1，求常数a、b的值．

π－23asincosa＋b(a≠0)的定义域为02，值a＝asin＋cosxy＝asin＋cos＝a2＋sin(＋φ)，其中anφ＝，需引起学生的高度重视．首先通的影响，可让学生独立探究，教师适时点拨．a解(x)＝a(1－cos2x)－asin2x＋a＝－a(cos2x＋＋＝－2asin(2x)＋2a＋＋ ∵x∈[0，2]，∴2x＋∈[

]．∴－2

因此，由(x)的值域为[－1]，可ìa

ìaíí íí－2a³－ ＋2a ï－2a³

＋2a＋＝－

或 已知a，是两个向量，且 cosx)，＝(cos2x，sinx)，x∈，定义：y•(1)求yxy＝(x)(2)若，π]，求函数y＝(x)x解 cosx)，• ＋π)2 ＋π12单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈ππ(2)由，ππ——π2π—12πcos(2x－∴f(x)∴f(x)in＝，此时＝ππ＝，此时2＝＋，例已知n( π ＋，

思路απ nα的值；(2

sin2α 2sinα－学生给予指导点拨解：()由n(

παπ＋nα

，解之，得nα＋sin2α

)＝－ 2sinαcosα

—n

2sinα－

sinα ＝2cosα∵παπ，且nα＝－，∴cosα＝－ ∵解答过程简洁流变变式训cosπ已知α为第二象限角sinα＝，2的值sin2α＋π解：∵sin(2α＋π)＝sinπ＋(2π＋2α)＝cos(2π＋2α)＝cos2α22cosπcoscosα＋sinππ∴原式＝2α＋π＝2