2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第41讲放缩法含解析

第41讲放缩法在前面的几个章节中已经涉及了一部分放缩法的运用,在导数里放缩法具有广泛用途,比如说直接利用放缩法证明不等式,利用放缩法找零点或者隐零点区间,利用放缩法判定导函数的正负号,进而判定函数单调性等.那放缩法到底是什么?放缩法本质上是一种近似估算,利用它达到简化计算的目的,其理论依据是高等数学里面的泰勒展开,这在后面的章节会具体讲解,本节先从高中数学的视角来讲解不等式放缩.那么如何利用放缩法解决导数问题呢?放缩法的核心在于利用不等式,对函数进行放大或缩小,从而达到简化函数进而简化计算的目的.下面一些关于不等式的常用结论,请在做题过程中慢慢体会.1.能够利用的不等式通常分为三类:(1)常用不等式,就是常用对数不等式、常用指数不等式和基本不等式,以及相关的变形.(2)已证不等式,通常就是第一小问证明出来的不等式会被用在第二小问题来进行放缩.(3)变形不等式,常用不等式的变形或者在解题过程中积累下来的不等式.2.在利用不等式放缩的时候需要注意“一向,二等,三证明”.一向.就是不等式放缩时要注意不等号的方向要一致,需要同向才能放缩.二等.就是要注意等号成立的条件,如果多次放缩还要注意等号能否同时成立.三证明.就是在运用了不等式放缩之后,一定要对不等式进行证明,除基本不等式之外,其他必须证明,也就是我们常说的“欲用不等式,必证不等式”.3.运用不等式放缩时通常可以分为以下几类:(1)直接放缩.就是直接利用常用不等式或者函数单调性放缩即可求解.(2)去参数放缩.利用函数的单调性和参数取值范围,把参数去掉来实现放缩.(3)去项放缩.是通过舍弃一些项来实现放缩简化.(4)系数放缩.对函数进行因式分解,在可预见不等式性质的前提下,把某一个因式作为另一个因式的系数进行放缩.基本放缩公式总结下面一些常用的不等式,可用于放缩法证明不等式或者赋值法找零点,其原理会在后面泰勒展开那里具体讲【解析】,这里不过多证明.注意:如果考试的时候使用了下面的不等式,一定要用构造函数的方式证明出来,所谓“欲用不等式,必证不等式”.第一组:对数放缩(1)放缩成一次函数.(2)放缩成双撇函数....(3)放缩成二次函数.(4)放缩成类反比【例】函数,.0),.第二组:指数放缩(1)放缩成一次函数.(2)放缩成类反比【例】函数.(3)放缩成二次函数第三组:指对放缩.第四组:三角函数放缩.第五组:以直线为切线的函数.下面举例说明如何运用不等式放缩来证明不等式.【例】设,若对任意的恒成立,求的取值范围.先参变分离:.放缩法:由可得.这里直接利用指数不等式整体代换放缩,即可求出,极大地简化了计算,这也是放缩法的魅力所在,我们一定要铭记不等式放缩的“三注意”：一向,二等,三证明.常用不等式及其变形方法总结不等式一：常用指数不等式【例1】证明:指数不等式:.【解析】证明：令,则.令得.令得.在单调递减,在上单调递增.,即..(1)记忆:可以利用图像辅助记忆,即指数函数的图像在一次函数的上方.(2)取等条件:时可以取到等号.(3)变形:对于指数不等式变形通常是利用整体代换，(4)变方向:当时要改变不等号方向通常不等号两边取倒数,不等式二:常用对数不等式【例2】证明:对数不等式:.【解析】证明：令,则.令得,令得.在单调递增,在上单调递减.,即..(1)记忆:可以利用图像辅助记忆,即指数函数的图像在一次函数的下方.(2)取等条件:时可以取到等号.(3)变形:对于对数不等式变形通常是利用整体代换,.(4)变方向:通常不等号两边同时乘负号,.常用不等式直接放缩对于一些无参不等式的证明,特别是同时包含指数函数、对数函数的不等式,我们通常需要用常用指数不等式和常用对数不等式放缩为幂函数,从而实现函数简化,进而方便计算和求解.【例1】证明:.【解析】证明：由常用指数不等式,整体代换可得,当且仅当时,取等号.由常用对数不等式,整体代换可得,当且仅当时,取等号.(1)式与(2)式取等号的条件不同,.【例2】证明:.【解析】证明：由得,即,故,当且仅当时,取等号.又.由于(1)(2)式等号不能同时成立,两式相加得,两边同乘得.【例3】设.证明:当时,.【解析】证明：当时，,故..记,则.当时,,在内是减函数.又.,即.当时,.去参数放缩所谓去参数放缩,就是在给出了参数取值范围来证明不等式恒成立的题目中,把参数按取值范围放缩为常数.例如:已知参数,证明恒成立,按去参数放缩可得,只需要证明即可.【例1】已知函数,证明:当时,.【解析】证明:当时,.设,则.当时,.当时,是的最小值点.当时,.当时,.【例2】已知函数,证明:当时,.【解析】证明；当时,令,则.当时,单调递减.当时,单调递增..因此.【例3】已知函数，当时,证明:.【解析】证明：当，时，,故只需证明当时,当时,函数,在上为增函数,且,.故在上有唯一实数根,且.当时,.当时,.从而当时,取得最小值.由得.故.综上,当时,.去项放缩所谓去项放缩,就是直接去掉不等式两边的一些不影响不等式恒成立的确定项,从而去除参数或者简化不等式,进而快速得到证明.说白了,就是简单粗暴地扔掉一些累赘,自然就简单了.比如要证明,如果能够得到,则把直接扔掉,若成立,则不等式恒成立.【例1】已知函数,若,证明:.【解析】证.明：由得,去项放缩:根据,可直接放缩去掉含参项,令,则,当时,.当时,设。,则.故函数在上单调递增.又当时,.当时,.函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.,即.故.【例2】已知函数,当时,证明：.【解析】证明：要证明,即证.当时,.去项放缩:只需证.设,则.设,则.在上是增函数.又,存在,使得即.当时,.当时,.因此在上是减函数,在上是增函数,有极小值,也是最小值,且最小值为因此,即.综上,当时,.【例3】已知函数.(1)设是的导函数,讨论函数的单调性.(2)当时,求证:.【解析】(1)由已知.设..①当时,在上恒成立,在上单调递增.②当时令得,得.在上单调递减.在(上单调递增.综上所述,当时,在上是增函数.当时,在单调递减,在上单调递增.(2)(证明)由（1）题知,①当时.在上单调递增.又,当时,;当时,.则在上单调递减,在上单调递增..②当时,.由(1)题