2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第25讲弦中点结论与端点弦结论含解析

第25讲弦中点结论与端点弦结论弦中点结论所谓弦中点问题就是直线和椭圆相交的弦的中点问题,我们在解决这一类问题的时候,常用的方法是点差法,这是需要掌握的.但进一步地推导,我们可以得出一个关于弦中点的二级结论,即是的中点),我们在解小题时可以直接用,而在解大题时,则需要先证明了才能用,下面进行一个具体的推导：推导:以椭圆方程为例,设直线与椭圆交于两点,是的中点,则用平方差公式进行分解,则可得到两个量之间的联系,.直线的斜率的中点的坐标为对于双曲线来说,也是类似的推导方式,可得.用弦中点结论求离心率【例1】已知椭圆,点为左焦点,点为下顶点,平行于的直线交椭圆于两点,且的中点为点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D. 【解析】(1)一般方法:设点,点,又因为的中点为点,则.∵在椭圆上,∴.两式相减得.∴.∴,平方可得,∴,故选A.(2)弦中点结论法:∵.带入弦中点结论【例2】已知椭圆的方程为),斜率为的直线与椭圆相交于,两点,且线段的中点为点,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D. 【解析】(1)一般方法设，则两式作差得,又,线段的中点为,即∴该椭圆的离心率为.故选C.(2)弦中点结论法∵,带入弦中点结论用弦中点结论求方程【例1】直线与曲线交于两点,且线段的中点为,求直线的方程.【解析】点差法设点,点.∵是上的点，联立,作差得,而线段的中点为,∴.从而直线斜率.直线的方程为,即.用弦中点结论法验证答案.∵,带入弦中点结论.直线的方程为,即.【例2】已知椭圆,点是椭圆上的两个点,点是线段的中点,求.【解析】法一:方程联立法当直线斜率不存在时,线段的中点在轴上,不符合题意.故可设直线的方程为,并设.联立方程,消去得,.由点是线段的中点知,,∴,解得.∴.∴.法二:点差法当直线斜率不存在时,线段的中点在轴上,不符合题意.设点,点.将其代入椭圆方程得，由点是线段的中点知,,直线斜率为,直线方程为.联立,消去得,用弦中点结论法验证答案.∵,带入弦中点结论.∴直线方程为,和椭圆方程联立即可求出弦长.端点弦结论我们把椭圆上的点到端点的弦，称之为端点弦，我们在解题的时候，经常会碰到圆锥曲线上的点到两个端点斜率乘积的问题，这类问题可归结为端点弦问题．如，椭圆上任一点到两顶点(同一轴上的)连线的斜率乘积为定值：．一、椭圆的端点弦结论结论一：椭圆长轴左、右两顶点分别为．椭圆上不同于点的任一动点，则．证明：∵点在椭圆上，∴，则．∴(定值)．同理可证椭圆短轴两顶点分别为．椭圆上不同于的一动点．同理可证椭圆：长轴两顶点为．椭圆上不同于的任一动点，．同理可证椭圆：短轴两顶点为．椭圆上不同于的任一动点，则为定值．二、双曲线的端点弦结论结论二：双曲线两顶点分别为，双曲线上不同于上一动点，则．证明：∵点在双曲线1上，得，则．∴(定值)．同理可证双曲线：上一动，点，两顶点分别为，．．我们把思路反过来，如果一个动点到两个定点的连线的斜率乘积为定值，那么这个动点的轨迹方程是什么呢?很显然是一个椭圆或者双曲线，这就是圆锥曲线的第三定义，总结起来为：平面直角坐标系内一动点到两个定点的连线的斜率之积为不等于0和的常数的轨迹为椭圆(不含两定点)或者是双曲线(不含两定点)．当斜率乘积为负分数时为椭圆(不含两定点)，当斜率积为正数时为双曲线(不含两定点)．特殊地，当斜率乘积为1时是等轴双曲线．第三定义求轨迹方程问题【例1】在平面直角坐标系中，已知点，设直线的斜率分别为，且，记点的轨迹为，求的方程．【解析】设点，则，．整理得．∵斜率存在，∴，∴的方程：． 端点弦结论应用【例1】若分别是椭圆1长轴的左、右端点，为椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围．【解析】由题意得点，点，设，则．∴．∵在椭圆上，∴，∴，∴．∵，∴，即．用端点弦结论验证答案：由端点弦结论得，∴．∵，∴，即．【例2】如下图所示，若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足．连接，交椭圆于点，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点．若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．【解析】由㭪圆方程得，可设．，∴直线方程为：．联立．由韦达定理可知．代入直线可得