2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第07讲向量法解决中点中线问题与第8讲已知图形解三角形含解析

第7讲向量法解决中点、中线问题向量法:在中,角的对边分别为,已知点是边的中点,则通常会利用向量,平方后解决中线相关的问题,即【例1】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为.已知点是边的中点,若,求.【解析】点是边的中点,,.将代入上式,整理得.解得(舍去).由余弦定理得【例2】已知的三个角的对边分别为,点为边的中点,,求面积的最大值.【解析】即,当且仅当时,等号成立.当且仅当时,取等号.面积的最大值为.【例3】的角所对的边分别为.已知,点为边的中点,且,求的最大值.【解析】第8讲已知图形解三角形这一类题目求解的核心在于找到三角形,判定是否满足“知三求三”.所谓“知三求三”就是已知三角形中的三个量来求解其他三个量,如果不满足上述条件,就需要找图形中的边角关系,来列方程求解,“知三求三”的情况如下.1.AAS/ASA:已知两角与一边,由及,可先求出角及,再求出.2.SAS:已知两边及其夹角,由,先求出,再求出角.3.SSS:已知三边,由余弦定理可求出角.4.ASS:已知两边及其中一边的对角,由正弦定理可求出另一边的对角,由,可求出角,再由可求出.通过求角时,可能有一解或两解或无解的情况.在中,已知和角时,解的情况如下表所示.注意:上表中为锐角时,,无解;为钝角或直角时,均无解.求值【例1】如下图所示,在中,点在边上,.(1)求.(2)若的面积为,求.【解析】(1)在中,设,,又,由余弦定理得。,即，解得..此时为等边三角形,.(2),解得.则.如下图所示,作交于.由(1)知,在等边中,,,在Rt中,.在中,由正弦定理得,.【例2】如下图所示,在中,角,的对边分别是,,点在线段上,满足.(1)求角的大小.(2)若,求的值.【解析】(1)由正弦定理得,,.又...,解得.(2),为等边三角形.设,则,在中,由余弦定理得9,解得.基本不等式求最值【例1】如下图所示,在中,角,对应的边分别为,点在边上,且.(1)若,求的长.(2)若,求面积的最大值.【解析】(1),.在中,设,由余弦定理得.在和中,由余弦定理得整理得.由(1)(2)式得.(2),,由面积的最大值为.【例2】如下图所示,在平面四边形中,的平分线与交于点,且.(1)求及的长.(2)若,求四边形周长的最大值.【解析】(1)在中,由正弦定理得.又,则,.,,.在中,根据余弦定理得.(2)令.在中,由余弦定理得,即有,即,当且仅当时,等号成立.四边形周长的最大值为.【例3】如下图所示,四边形的四个顶点共圆,,.(1)求和的值.(2)求四边形的周长的最大值.【解析】(1)在中,,.利用余弦定理得,解得或(舍去).在中,,.由正弦定理得,即,解得..(2)由四边形的四个顶点共圆可知,,即.又由(1)题知,,即为中最小的角,则在中,利用余弦定理得,整理得.由不等式的基本性质得,即.解得,当且仅当时,等号成立.四边形的周长的最大值为:函数法典型例题【例1】在如下图所示的四边形中,已知,,设点到的距离为.(1)求用表示的解析式.(2)求的最大值.【解析】(1)由已知得在中,由正弦定理得又(2)在中,由正弦定理得, ,于是当时取得最大值【例2】如下图所示,已知在中,角所对的边分别为,满足.(1)求角B的大小.(2),在直线的右侧取点,使得.当角为何值时,四边形面积最大?【解析】(1)法一:在中,由正弦定理得.....法二:在中,由余弦定理得,整理得...(2)由(1)题知,.为等边三角形.设角,则在中,由余弦定理得,,.四边形的面积.,.当即时,.当角时,四边形的面积取得最大值,最大值为.【例3】如下图所示,在四边形中,2,记.当为何值时,的面积有最小值?并求出最小值.【解析】四边形的内角和为在中在中当时,取最小值.章末总结恭喜成功打通第二关,攻克了解三角形这一板块的内容,又成功拿下一个小