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第2讲求前项和经过前面的学习,我们基本上可以求出数列的通项公式了,接下来就要讲解数列前项和的求解方法.数列求和的方法相对来说比较固定,能够总结出题型然后运用相应的解法即可,重点需要掌握的是错位相减、裂项相消和分组求和,大家也一定要注意适用的题型结构.错位相减法通项公式特征:数列通项公式是“”的形式,具备“等差等比”的特点,考虑利用错位相减法求出,具体方法步骤如下.【例】已知,求前项和.(1)先将写成前项和的形式:.(2)等式两边同时乘以等比部分的公比,得到一个新的等式,与原等式上下排列.,乘完公比后,对比原式项的次数,新等式的每项向后挪了一位.(3)然后两式相减:,除了首项与末项,中间部分呈等比数列求和特点,代人公式求和,再解出即可.设为数列的前项和,求.【解析】所以(1)式一(2)式得【例2】已知数列满足.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.【解析】(1)当时,,解得.当时,①,②①式-②式得,解得,易知也符合前式.综上所述,.(2)依题意得.下面先求数列的前项和.,(1)式－(2)式得,即,化简可得..裂项相消法通项公式特征:的表达式能够拆成形如的形式,在求和时可以进行相邻项(或相隔几项)的相消,从而结果只存在有限几项,最终达到求和目的,其中通项公式为分式和根式的情况居多.裂项相消法求数列和的常见类型:(1)等差型:,其中数列是公差为的等差数列.(2)无理型:.（3）指数型:.(4)对数型:.如以为例,求前项和.(1)裂项:考虑这里.(2)求和:设的前项和为.,求和的关键在于确定剩下的项,通过观察可发现正项中没有消去,负项中没有消去..一般来说,裂开的项中有个正项,个负项,且由于消项的过程中是成对消掉,所以剩余项中正负的个数应该相同.设,求数列的前项和.【解析】 【例2】设,求数列的前项和.【解析】∴数列的前项和为【例3】若数列求数列的前项和.【解析】 【例4】已知，求数列的前n项和.【解析】 分组求和法分组求和:如果通项公式是前几种可求和形式相加或者相减,那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和,然后再将结果相加.令,求数列的前项和.【解析】【例2】已知:正项数列的前项和为.(1)求数列的通项公式.(2)令,求数列的前项和.【解析】(1)当时,,,(1)式加(2)式得,化简得,即数列是公差为1的等差数列.令,数列为正项数列,得,.(2),设为数列的前项和, 倒序相加法题型结构:已知函数,求与函数相关的数列的和,其中.一般解题步骤:第一步:倒序.把的顺序倒过来,即 第二步:找到前后对应项之和,通常为常数,即.第三步:把上述两式相加求和,再除以2即可.函数对任意的都有,数列满足,求数列的通项公式.【解析】(1)式加(
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