2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第30讲怎样求二面角含解析

Page1第30讲怎样求二面角一、知识与方法1二面角的定义在二面角的棱上任取一点,以这点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角来度量,二面角的范围是.2求二面角的基本解题思路先找平面角,转化为求线线角,或通过两个半平面的法向量的夹角,再求夹角的补角.二、典型例题【例】1（1）已知点E，分别在正方体的棱，上，且,则面与面所成的二面角的正切值等于（2）在三棱雉中,均为等边三角形,且,则二面角的余弦值为.A.B.C.D.【分析】二面角的求解，最为基本的方法有定义法、垂面法、三垂线定理法.解题目标都是作出其平面角，将空间二面角化为平面线线角问题来求解。解题的步骤是“一作,二证,三求”.第(1)问,是无棱二面角问题,可通过补成有棭二面角来解,或者运用向量坐标法（正方体很容易建立空间直角坐标系）和面积射影公式来解。第（2）问，可直接运用定义法解.【解析】(1)如图所示,延长相交于点.联结.设正方体的棱长为3,则.作于,连接,则为所求二面角的平面角.(2)如图3-34所示,取的中点的中点联结,设,由条件可知,又故是二面角的平面角,在中,由.得.二面角的余弦值为,故选.【例2】如图所示,直四棱柱的底面是菱形,分别是,的中点.(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值【分析】第（1）问，可以用立体几何法，即证明直线与平面内的一条直线平行，从而证明直线与平面平行；也可以运用空间向量证明.第（2）问，可以运用三垂线法或射影面积法；也可以建立空间直角坐标系，利用两平面法向量夹角的余弦值求二面角的正弦值.【解析】（1）【证法一】如图3-36所示,联结.分别为的中点,且又为的中点，由题设知,可得,故.因此四边形为平行四边形,,又平面,平面【证法二】由已知可得以为坐标原点,的方向为轴的正方向,的方向为轴的正方向,的方向为轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则.因此.又∵平面平面,平面.(2)【解法一】（向量坐标法)由已知可得.以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则,设为平面的一个法向量,则可取.设为平面的一个法向量,则可取.于是二面角的正弦值为.【解法二】（定义法)由题意有平面为等边三角形,又平面,即平面作,垂足为,如图所示,则.又平面在中,联结.由三垂线定理可知,.为二面角的平面角.在中,由,解得.又，，故二面角的正弦值为【解法三】（射影面积法）如图3-39所示，取的中点，连接.作，垂足为，联结.易证得平面.又平面.∴是在平面上的射影。设二面角的平面角大小为,则.易求得.易知是等边三角形,.由勾股定理逆定理得.在中,由射影定理得.二面角的正弦值为.三、易错警示【例1】直三棱柱的侧棱,底面是以为直角,且的等腰直角三角形.求二面角的余弦值.错解:如图所示.过点作于点,联结$CE$,则是二面角的平面角.于是.为直三棱柱,,则平面.,在中,因此,所求二面角的余弦值为.【评析及正解】上述解法中对二面角的平面角的作图和判断都是错误的，作出,但不能证明事实上,当时,因而$CE$与不垂直.显然,不是二面角的平面角,而通过平面角求二面角的关键是正确作出二面角的平面角.正确的解法如下：【解析】如图所示,过点作于点,过点作于点,联结.平面,于是.又知,则平面.是二面角的平面角.容易求出.在中,因此,所求二面角的余弦值为.【例2】如图所示.边长为2的正方形$ABCD$所在平面与半圆弧所在平面垂直,是上异于(1)证明：平面平面;（2）当三棱锥的体积最大时,求平面与面【错解】（1）略（2）以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.当三棱雉体积最大时,为的中点.由題设得设是平面的法向量,则即可取是平面的法向量,因此.平面与平面$MCD$所成二面角的余弦值是.【或错解】为:取法向荲,则.平面$MAB$与平面$MCD$所成二面角的余弦值是.【评析及正解】上述错解一是将求二面角的正弦值误认为是求二面角的余弦值，二是没有注意到该二面角是一个锐角，而直接利用了两个向量所夹的钝角的余弦值.正确的解法如下：【解析】(1)由题设知,平面平面,交线为.平面平面,故为上异于的点,且$DC$为直径,又平面,而平面$AMD$,故平面平面(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向.建立如图3-43所示的空间直角坐标系.当三棱雉体积最大时,为的中点.由题设得,1),设是平面$MAB$的法向量,则即是平面$MCD$的法向量,因此,即平面与平面所成二面角的正弦值是.四、难题攻略【例】如图所示,四棱雉中,侧面为等边三角形且垂直于底面是的中点，（1）证明直线平面;（2）点在棱上,且直线与底面所成角为,求二面角的余弦值.【分析】第(1)问,取的中点,连接，利用条件证明四边形为平行四边形，进而得到，证出直线平面.第（2）问，可考虑用向量坐标法，以A为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系.分别求出平面与平面的法向量，进而求出二面角的余弦值。用向量法求二面角的大小时，需要注意的是，二面角是锐角还是钝角由图形决定。由图形知二面角是锐角时,若分别是二面角两个半平面的法向量，二面角的大小为,则,由图形知二面角钝是角时,则.当图形不能确定时,要根据向量的坐标在图形中覌察向量的方向,从而确定二面角与向量的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部,另一个平面的怯向量指二面角的外部)还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部),这是利用向量法求二面角的难点,也是易错点,【解析】(1)【证法一】(立体几何法)如图所示,取的中点,联结.是的中点,,由,得又,四边形是平行四边形,,又平面平面$PAB$,故平面.【证法二】(纯向量法),又平面,故直线平面.(2)【解法一】定义法取的中点,联结,则平面,平面平面过点作,垂足,则平面,联结,则为直线与底面所成角.设,则.在中,,在中,,即,得.过点作,垂足为联结.则为二面角的平面角.故二面角的余弦值为【解法二】(向量坐标法)由已知得以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,则设则与底面所成的角为,而是底面的法向量.即①又在棱上,设,则.②由①②解得（舍去）或,从而,设是平面$ABM$的法向量,则即可取.于是因此二面角的余弦值为.五、强化训练1.如图所示.已知四棱锥,底面为菱形,平面分别是的中点。（1）证明.（2）若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，如图所示.∵为的中点，∴，又，因此.∵平面，平面，∴，而平面，平面，且，