2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法第27讲导函数的混合还原含解析

Page127讲导函数的混合还原知识与方法对于一个含有函数fx与其导函数f'x混合的不等式,多数同学对其意义感到困惑,导致解题思路受阻.解决此类问题,需要构造新函数,并根据题意判断新函数的导数符号,进而利用其单调性加以解决.因此,正确还原出原函数(即新函数),便成为破题的关键.本讲对这类问题进行梳理.对于含有f1.基础构造(1)对于结构f'x+(2)对于结构f'x-(3)对于结构式f'(x)g(x)+f(x)g(4)对于结构f'x2.变形构造(1)函数fx与x(1)对于xf'x(2)对于xf'x(3)一般地,对于mf'x+mfx(2)函数fx与e(1)对于f'x+f(2)对于f'x-(3)一般地,对于f'x+mfx,够着函数(3)函数发fx与lnx对于f'(1)若f(x)>0,则构造h(2)若f(x)<0,则构造h(4)函数fx与sinx或cosx(1)对于fx+f(2)对于fx-f(3)对于f'x-(4)对于f'x+f典型例题逆用则【例1】已知fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'xgA.-10C.-∞-【答案】A【解析】设hx=fxg所以当x<0时,h'(x)<0,即函数又因为fx,gx所以函数hx为R上的奇函数,则函数y=hx在因为f-1=0,所以h所以等式f(x)g(x)<0的解集为-10【例2】(多选)定义在0+∞上的函数fx的导函数为f'x且fA.f(B.f(C.f(D.f(【答案】ABC【解析】构造函数g(x)=f(x)x(x所以gx在0+∞即(化简得f(x1)+f(由于2x>1,故g(2x由于x1同理x2x1+x取fx=1,符合题意,但fx综上一定成立的有:ABC.方塞型【例3】已知定义在-∞0上的函数fx等式中一定成立的是（）A.f(-e)C.f(-e)【答案】C【解析】令gx=x因为当x<0时,2f(x)+x此时g'(x)>0,于是g所以g(-即e2f(-e)<e【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小.构造函数gx=x2fx,由2f(x)+xf联系已知条件和结论,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:(1)根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;(2)若是选择题,也可寻找符合题设的特殊函数.【例4】设函数fx是定义在-∞0上的可导函数,其导函数为0,则不等式(x+2019)【答案】-【解析】根据题意,令gx所以g因为x∈-∞0时,所以gx在-又不等式(x+2019可化为(x+2019)即g(x+2019)>g(-3)解得-2022所以该不等式的解集是-2022故答案为:(-2022,-2019).【点睛】本题根据题意,构造函数gx=x3f指数型【例5】定义在R上的函数fx满足:f(x)>1-f'(x),f(0)=0,fA.0+∞C.-∞0【答案】A【解析】由f(x)>1-f'(x)知f(x)+f'(x)>1,exf(x)+exf'(x)>e【例6】已知函数f'x是函数fx的导函数,f1=e22(其中A.-∞1 B.1+∞【答案】A【解析】令gx=2fxex+1-1,则g'(x)=2(即g(x)<g(1),故x<1,不等式2f(x)<ex+1【例7】已知定义域为R的函数fx的导函数为f'x,且满足f'(x)A.0+∞ B.-1+【答案】【解析】设Fx=fx+2e2x即函数Fx在定义域上单调递增,因为f0=所以不等式f(x)+2>e2x等价于不等式f(x)+2e2x>1,即F(x)>F(0)【点睛】求解这类问题要通过对问题的条件和结论进行对比、概括,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;求解这类不等式的关键点和难点就是构造函数.对数型【例8】已知定义在e+∞上的函数fx满足f(x)+xln⁡xf'(x)<0且fA.e2021 B.2021+∞ C.【答案】A【解析】因为定义在e,+∞上的函数fx满足f(x)+xln⁡则g'(x)=f所以gx在e,+∞所以g2021要求f(x)>0,因为ln⁡x>0,所以只需所以e⩽x<2021故选:A.【点睛】本题由已知条件构造函数gx结合原函数的性质和函数值,即可f(x)>0【例9】设函数fx是定义在区间12+∞上的函数,f'x是函数fA.1B.1C.0D.-【答案】C【解析】依题意,xf'(x)ln构造函数g(x)=f(x)ln⁡2x(x>1又ge2=fe2即g(e根据gx的定义域及单调性,可得12<ex2<e2【点睛】本题通过构造函数gx=f三角函数型【例10】设函数fx在R上的存在导数为f'x,当x∈0+∞A.f(5π6C.f(-5【答案】C【解析】令gx=fx当x∈0+∞时,g'(x)=所以g所以g所以g所以f-5π又g(4π3所以答案为:C.综合应用型【例11】设函数fx满足x2f'A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【答案】D【解析】x2f令hx=当x>2时,h'(x)当0<x<2时,h'(x)又h2=0,所以当x>0时,函数h即当x>0时,hx⩾0,所以f'x=hxx【例12】设函数fx在R上存在导函数f'x,对任意的实数x都有fx=f-x+2x,当xA.-12+C.-1+∞【答案】A【解析】设gx则gx所以gx=g-当x>0时,g而f'(x)>2x+1所以gx在0因为fa+1⩾f-a故选:A.【例13】设函数fx在R上存在导数f'x,对于任意的实数x,有fx+f-x=2x【答案】-【解析】解法1::特殊函数法取函数fx因为fx对称轴为x=1,所以f所以原不等式等价于2m+2⩾0,所以m∈解析2:构造函数法因为x⩽0时,f'构造函数gx=fx所以gx所以gx由(1)式可得gx在-∞0上单调递减,所以gx在0+∞上也单调递减,fx在R上可导可得g于是f2+m-f-m⩽2m+2⇔gm+2强化训练1.设fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,fx满足fA.-B.-C.-D.-【答案】C【解析】令hx=fxgx奇函数.(1)因为当x<0时,h'(x)=f上单调递增.因为h-3=f-3g-3=0,所以不等式f(x)g(x)<0等价于h(x)<h-单调递增,且h3=-h-3=0,所以h(x)故选:C.2.已知fx是定义在-∞+∞上的函数,f'A.f(x)>0B.f(x)<0C.fD.当x∈-∞1时,f(x)【答案】A【解析】设gx=x所以函数gx在R又因为g1=0,所以x>1时,g(x)所以x>1时,(x-1)f(x)所以x<1时,(x-1)f(x)所以f(x)>0故答案为:A3.已知定义域为R的偶函数fx的导函数为f'x,对任意x∈0+∞【答案】-【解析】因为fx是R上的偶函数,所以gx=因为对任意x∈(0,+所以g所以gx=x不等式g(2x)<g(1所以|2x|<|1-x|,即(2x)2解得-1<x<14.若fx是定义在D=-∞0∪0+(1)bf(a)>af(b),(2)bf(a)<af(b),(3)af(a)>bf(b)其中一定成立的是【答案】(1)【解析】由xf'(x)即xf'(x)所以y=fxx在-∞0和0+∞单调递增,因为b5.已知函数fx的定义域是R,f0=2,对任意x∈R,f(x)+【答案】0【解析】构造函数gx=ex⋅fx-ex,因为g'6.定义在R上的函数fx的导函数为f'x,f0=0,若对任意x∈A.-∞1 B.-∞0【答案】【解析】构造函数:gx因为对任意x∈R,都有所以g'所以函数gx在R由f(x)+ex<1化为:所以使得f(x)+ex<1成立的故选:D.7.已知函数fx的导函数f'x满足(x+xln⁡A.2f(1)>f(e) B.C.2f(1)<f(e) D.【答案】【解析】令gx由(x+xln⁡x)f'(x)所以g'故gx在1e+∞递减;则g(e)<g(1)故选:A.8.定义在0π2上的函数fxA.3B.f(1)C.2D.3【答案】A【解析】因为x∈0π由f(x)>f'即f'(x)sin⁡则g'所以函数gx在0所以f(π4)故选:A.9.已知函数fx的定义域为-π2π2,f'xA.-π2πC.π4π2【答案】C【解析】构造函数gx=fxcosx,因为f'即g(x)<g(π4),所以10.已知定义在0+∞上的连续函数fx满足:xfA.有极小值,无极大值B.有极大值,无极小值C.既有极小值又有极大值D.既无极小值也无极小值【答案】A【解析】令g(x)=f(x)x(x>0),则g'(x)=xf所以f'x在0所以f'x在即f'x在所以由极值的定义得:fx有极小值,无极大值.故选A11.设函数f'x是函数fxx∈R的导函数,若fxA.-∞2 B.12+【答案】B【解析】令Fx又当x>0时,f'(x)所以Fx在0由，可得，故为偶函数，不等式化为，所以，所以由函数单调性可知：，解得，故选：．12.设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，函数满足，则