空间向量的基本定理(含答案)

空间向量的基本定理一、基础过关1．“a＝xb”是“向量a、b共线”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是 ()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|3．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是 ()A．a B．bC．a＋2b D．a＋2c4．设M是△ABC的重心，记eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AM,\s\up6(→))等于 ()A.eq\f(b－c,2) B.eq\f(c－b,2)C.eq\f(b－c,3) D.eq\f(c－b,3)5．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.6．在四面体O—ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．二、能力提升7．已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是 ()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、D8．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是 ()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝09．在以下3个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线．③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．10．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，试求实数k的值．11.如图所示，四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))是否共线．12.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量eq\o(A1B,\s\up6(→))、eq\o(B1C,\s\up6(→))、eq\o(EF,\s\up6(→))是共面向量．三、探究与拓展13.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)证明：A、E、C1、F四点共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z.

答案1．A2．C3．D4．D5.eq\f(2,15)6.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c7．A8．C9．210．解因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1－4e2，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，由共线向量定理得eq\f(1,2)＝eq\f(－4,k)，所以k＝－8.11．解∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))．∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→)).∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线．12．证明如图．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(B1B,\s\up6(→))－eq\o(A1B,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(B1C,\s\up6(→))－eq\o(A1B,\s\up6(→)).由向量共面的充要条件知，eq\o(A1B,\s\up6(→))、eq\o(B1C,\s\up6(→))、eq\o(EF,\s\up6(→))是共面向量．13．(1)证明因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，所以A、E、C1、F四点共面．(2)解因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→