数学-南通市通州区2012届高三重点热点专项检测(数学)

2012届通州区高三重点热点专项检测数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．已知集合，B1，若AB，则锐角▲．A{1,cos}{0,,1}2z12．若,，且为纯虚数，则实数a的值为▲．za2iz34i12z23．某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m4．命题p：函数ytanx在R上单调递增，命题q：ABC中，AB是sinAsinB命题．（填“真”“假”）▲．的充要条件，则pq是▲开始5．平面向量a与b的夹角为120，a(0,2)，|b|1，输入pab则▲．n1,S06．执行如图的程序框图，若输出n5，则整数p的最小值是▲．NSpY7．设f(x)x23x1,x≥0，若f(a)3，则实数a2x7,x0SS2n1输出n的取值范围是▲．结束28．将函数ysin(2x)的图像向左平移至少▲nn13个单位，可得一个偶函数的图像．9．设函数f(x)11，若a,b,c成等差数列（公差不为零），则f(a)f(c)▲．xb10．设a、b①若a⊥b，a⊥α，bα，则b∥α；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或aα；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．其中正确命题的序号有11．在ABC中，AB3AC，AD是A的平分线，且ADmAC，则实数m的取值范围是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；▲．是▲．212．设函数f(x)sinxm(xR,mR)最大值为g(m)，则g(m)的最小值为3sinx1▲．13．已知，：4x2ya250Cy2与：xy(2b10)x2by22a,bRCx212xxyy交于不同两点，且，则实数的值b2b210b1600A(x,y),B(x,y)21212yyxx1121212为▲．14．已知等比数列满足，0q1，且对任意正整数，)仍是该ak2{a}a1ka(an12kk1数列中的某一项，则公比的取值集合为▲．q二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量a(sin,2)与互相垂直，其中．(0,)b(1,cos)2（1）求sin和cos（2）若sin(的值；10,(0,)，求cos的值．)10216．（本小题满分14分）已知矩形PA所在平面，PAAD2AB，为线段PD上一点，为线段PCABCDEGP的中点．（1）当E为PD的中点时，求证：BDCE；E（2）当PE2ED时，求证：BG//平面AEC．GADBC17．（本小题满某创业投资公司拟投资开发某奖励方案：奖金y（单位：奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的（1）x2；（2）y4lgx3．试问这两分14分）种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收现准备制定一个对科研课题组的万元）随投资收益x（单20%．现益．位：万元）的增加而增加，且有两个奖励方案的函数模型：个函数模y150型是否符合该公司要求，并说明理由．218．（本小题满分16分）x2y21(ab0)已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为22，且右PC:a2b2焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆的方程；C（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆P4,0A,BCxPBC于另一点，证明直线与轴相交于定点；EAExQ（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值QCM,NOMON范围．19．（本小题满分16分）alnx函数f(x)x，其中为常数．ax（1）证明：对任意，函数图像恒过定点；aRyf(x)（2）当时，不等式a1在上有解，求实数的取值范围；x(0,)bf(x)2b≤0（3）若对任意时，函数在定义域上恒单调递增，求的最小值．am,0yf(x)m320．（本小题满分16分）na1nn1数列中，，，且(n≥2)．{a}na1a7an113（1）求a及{a}的通项公式；2n（2）设a是{a}中的任意一项，是否存在r,pN(rpk)，使a,a,a成等比knkpr数列？如存在，试分别写出p和r关于k的一个表达式，并给出证明；．．17．（3）证明：对一切nN，na26i1i2012届高三重点热点专项检测数学附加题21．本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C两个小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B．选修4—1：矩阵与变换1已知二阶矩阵A有特征值1及对应的一个特征向量和特征值2及对应e11121的一个特征向量e，试求矩阵A．20C．选修4—4：极坐标与参数方程将参数方程xcossin,(为参数)化为普通方程．ysin2422．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．由数字1，2，3，4组成五位数，从中任取一个．aaaaa51234（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数，至少存在另一个正整数j1j5k(1k5，且kj)，使得aa”的概率；jk（2）记为组成该数的相同数字的个数的最大值，求的概率分布列和数学期望．23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．求证：对于任意的正整数，n(23)n必可表示成ss1的形式，其中.sN2012届高三重点热点专项检测数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题a41．2．3．2204．真5．6．87．a|a0或，每小题5分，共70分．8333535311．12．13．14．(0,){21}2348．9．210．①②③④12二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）∵，∴2cos0，absin又sin2cos21，且，(0,)2∴，5．25…………6分sincos55（2）∵，，(0,)2(0,)2∴(,)，又sin(10，)1022∴310，…………1分0cos()10∴coscos()coscos()sinsin()53101025102．2…………14分551016．（1）过点E作EQAD于Q，连结CQ，CDBC2tanQCDDQ，CD2，2则tanDBC2所以DBCQCD，又QDCBCD90RtDBCRtQCD，则易得BDCQ．∵PA平面ABCD，∴PABD，又PA//EQ，BDEQ，又CQEQQ，∴BD平面ECQ，BDCE.…………7分，∴∴∴5（2）取PE的中点F，连接GF，BF，∵G为PC的中点，∴GF//CE，又平面ACE，平面ACE，GF∴GF//平面ACE，连接CEO，连接BD交AC与点OE．∵E为DF的中点，∴BF//OE，又平面ACE，平面ACEBFOE∴BF//平面ACE，∵FBFGF，∴平面BGF//平面AEC.又，∴BG//平面AEC．BG平面BGF…………14分17．解：设奖励函数模型为y＝f(x)，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件：当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤x恒成立．15①对于函数模型x2：f(x)150当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则f(1000)100022029．f(x)max1503所以f(x)≤9恒成立．…………3分f(x)f(x)因为函数x12在[10，上是减函数，1000]所以x11501021．5150xmax1从而f(x)≤x不恒成立．5故该函数模型不符合公司要求．…………7分②对于函数模型f(x)＝4lgx－3：当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，所以f(x)≤9恒成立．则f(1000)4lg100039．…………9分f(x)max设g(x)＝4lgx－3x，则g(x)4lge1.5x51≤2lge1lge14lge2当x≥10时，0，g(x)x555所以g(x)在[10，1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0，所以4lgx－3x＜0，即4lgx－3＜x，所以f(x)≤x恒成立．15故该函数模型符合公司5要求．5…………14分ac22a218．解：（1）由题意知，解得，a2cb2c故椭圆C的方程为x1．2y2…………4分42（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为．yk(x4)yk(x4),由y21.得(2k21)x216kx32k240．①2x242设点B(x,y)，E(x,y)，则A(x,y)．112211yy1(xx)．x直线AE的方程为2yy2x221y(xx)令y0，得221yy．xx22yk(x4)1将yk(x4)，代入，112262xx4(xx)整理，得1．②x212xx81232k24代入②xx2k211216k2由①得1，xx122k2整理，得．x1所以直线与轴相交于定点．…………1分0AExQ(1,0)（3）当过点直线的斜率存在时，QMN设直线的方程为，，．M(x,y)N(x,y)MNym(x1)MMNNym(x1),由得240．(21)x24mx2mm22x2y21.244m22m212m243m2∴，，．2m21m242m21xxxxyy2m21MNMNMN2m243m2171则．OMONxxyy2m212m21222m21MNMN4≤7111．2因为，所以m02222m211所以．OMON[4,)2当过点直线的斜率不存在时，其方程为．QMNx166解得，)．M(1,)N(1,22此时1．2OMON1所以的取值范围是．…………16分OMON[4,]219．解：（1）令，得，且f，lnx0x1(1)1∴函数yf(x)图像恒过定点．(1,1)…………2分（2）当时，a1f(x)xlnx，x∴f(x)11lnx，即x2lnx1，f(x)x2x2令f(x)0，得．x1xf(x)f(x)(0，1)－101＋∞）（，＋极小值∴f(x)f(1)1，min∵在x(0,）上有解，f(x)2b≤01∴2b≥f(x)，即21，∴实数b的取值范围为．…9分(,]b≥min2aalnxx2f(x)x2alnxa，令g(x)xalnxa，x2（3），即f(x)12由题意可知，对任意a[m,0)，在恒成立，f(x)≥0x(0,)即在x(0,)恒成立．h(x)x2alnxa≥0∵h(x)2xa2x2a，令h(x)0，得（舍）或a．2ax2xx列表如下：7x(0，a)a（a，＋∞）2220h(x)－＋h(x)极小值a≥0(x)h(a)lna3∴h，解得．a2e≥32min22∴m的最小值为2e3．1）2a1，故a4．20．解：（a2…16分…1分312a1aa11)n时，nn(n≥2n1nnn1n1n1∴an11a1na1，∴为常数列．………4分………6分nn1nn1a141∴n，所以a3n2(n≥2)．n121n又a1也满足上式，1∴{a}的通项公式为a3n2(nN)．nn（2）当p4k2，10时满足a,a,ar成等比数列．r16kkp证明如下：aa，16(3k2)，4(3k2)aap4k2r16k10显然a,a,a成等比数列．…………10分kpr（3）证明：k≥2时，1111(11…12分)，a2(3k2)2(3k4)(3k1)33k43k1k∴当n≥2时，1111111111nn13n43n1a2ia2i32558i1i211117．…………15分…16分32n361又n1时，7，∴对一切nN1，17．n1a216a2i6i1附加题参考答案bacd21B．解：设矩阵A，其中，,,,Rabcd1ab101因为是矩阵A的属于的特征向量，则有①，111c1d10ab10②，„6分又因为是矩阵A的属于的特征向量，则有21202c1d001ab0,c1d0,由①②得„„„„„8分2a0,c0,821解得a2,b1,c0,d1,因此，„„„„„10分A01xcossin21C．解：(1)，(2)ysin2将式平方得1sin2(3)，(1)x2将（2）式代入（3）式得，„„„„„8分10分1）由数字1,2,3,4组成的五位数共有个数，满足条件的数分为x1y2所以所求的普通方程为.x≤2)„„„„„yx1(2≤222．解：